2025-2026学年福建省厦门市第一中学高一（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省厦门市第一中学高一（下）期中数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的（ ）倍.
A. 9B. 27C. 81D. 729
2.如图所示，已知正方形O'A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则其原图形的周长为（ ）
A. 8B. 2C. 4D. 2+2
3.已知平面α，直线m，n满足m⊈α，n⫋α，则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.复数的值是（ ）
A. -1B. 1C. -iD. i
5.已知向量=（1，），||=3，且向量在向量上的投影向量为，则|-|=（ ）
A. 1B. 2C. D.
6.如图，O1和O分别为圆台上下底面中心，且，在轴截面ABB1A1中，ΔA1B1O为正三角形.若|AB|=4，则圆台的表面积为（ ）
A. 9π
B. 10π
C. 11π
D. 12π
7.已知△ABC中，AB=AC，D是AC的中点，BD=3，则△ABC面积的最大值为（ ）
A. B. 3C. D. 6
8.如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB=10，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则的最大值是（ ）
A. 9
B. 16
C. 25
D. 36
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，下列说法正确的是（ ）
A. A1D和BC1异面
B. BB1和DD1共面
C. 平面A1BD∥平面CC1D1
D. 平面A1BD与平面CB1D1相交
10.一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时24nmile的速度继续沿正北方向匀航行，40分钟后到达B处，此时测得货轮与灯塔S相距8nmile,则灯塔S可能在B处的（ ）
A. 北偏东15°方向B. 南偏东15°方向C. 北偏东75°方向D. 南偏东75°方向
11.满足下列条件的四面体存在的是（ ）
A. 1条棱长为，其余5条棱长均为1B. 1条棱长为1，其余5条棱长均为
C. 2条棱长为，其余4条棱长均为1D. 2条棱长为1，其余4条棱长均为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知i是虚数单位，2+i是关于x的方程x2+ax+b=0（其中a,b∈R）的一个根，则a+b= .
13.某校学生兴趣小组想要测量校内一座雕像的高度，他们选取与雕像底部O在同一平面内的三个在一条直线上的测量基点A，B，C，且在A，B，C处测得雕像顶点P的仰角分别为，，，AB=BC=10米，则雕像高OP为 米.
14.蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性.小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则x+y= ；若，则= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在复平面内，复数z对应的点为Z(m2-3m+2，m2-4m+3)(m∈R).
（1）若z为纯虚数，求m的值；
（2）设O为坐标原点，A为虚轴负半轴上任意一点，若向量与的夹角为锐角，求m的取值范围.
16.(本小题15分)
如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，H，G，E分别为AD，AB，BC的中点.
（Ⅰ）求证：C1E平面B1D1HG；
（Ⅱ）求点B到平面C1DE的距离.
17.(本小题15分)
现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1（如图所示），O1，O分别是上、下底面的中心，且满足O1O=4PO1=8.
（1）若AB=6，求该几何体的体积.
（2）若正四棱锥的侧面是正三角形
①求正四棱锥P-A1B1C1D1的侧面积.
②若Q，N分别是线段A1B1，PB1上的动点，求AQ+QN+NC1的最小值.
18.(本小题17分)
在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质四棱锥模型E-ABCD，△ABD为正三角形，BC=CD=2，∠BCD=120°，M为线段AE的中点.
（1）求证：DM∥平面BCE；
（2）过点M，D，C的平面α交EB于点N，沿平面α将木质四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，请你完成以下两件事情：
①在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图上画线要保留辅助线，并写出作图步骤）；
②在木质四棱锥模型中确定N点的位置，求出的值.
19.(本小题17分)
在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,平面内一点K到三边BC，CA，AB的距离da，db，dc满足，称点K为△ABC的“莱莫恩点”.
（1）若在△ABC中，a=5，b=3，c=4，求常数k的值；
（2）求证：；
（3）若，试判断△ABC的形状，并说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】BC
11.【答案】BCD
12.【答案】1
13.【答案】
14.【答案】7
-2

15.【答案】解：（1）复数z对应的点为Z(m2-3m+2，m2-4m+3)(m∈R)，
则z=m2-3m+2+(m2-4m+3)i,
∵z为纯虚数，∴，解得m=2；
（2）设A(0，t)(t＜0)，则，
又，
由，夹角为锐角得：，且与不共线，
∴，
解得1＜m＜3且m≠2，
故m的取值范围为(1，2)∪(2，3)．
16.【答案】解：（Ⅰ）证明：连接HE，
因为四边形ABCD是正方形，且H，E分别为AD，BC的中点，
所以HECD且HE=CD，又C1D1CD且C1D1=CD，所以HEC1D1且HE=C1D1，
所以四边形C1D1HE为平行四边形，所以C1ED1H，
又C1E⊄平面B1D1HG，D1H⊂平面B1D1HG，
所以C1E​​​​​​​平面B1D1HG；
（Ⅱ）在△C1DE中，，，，
得，
，
，
​​​​​​​又，
设点B到平面C1DE的距离为h，
，，
，从而，
即点B到平面C1DE的距离为．
17.【答案】312 ①；②
18.【答案】（1）证明：取F为AB的中点，连接DF，MF，
如图所示，
因为F，M分别为AB，AE的中点，故MF∥EB，
因为MF⊄平面EBC，EB⊂平面EBC，
所以MF∥平面EBC，
又因为△ADB为正三角形，所以∠DBA=60°，
DF⊥AB，
又△BCD为等腰三角形，∠BCD=120°，所以∠DBC=30°，
所以∠ABC=90°，即BC⊥AB，
所以DF∥BC，又DF⊄平面EBC，BC⊂平面EBC，
所以DF∥平面EBC，
又DM∩MF=F，DM，MF⊂平面DMF，
故平面DMF∥平面EBC，
又因为DM⊂平面EBC，
故DM∥平面BEC；
（2）解：①延长DC，AB相交于点P，连接PM交BE于点N，连接CN，MN，
即CN，MN为木料上画的线；如图所示：
②过点N作NQ∥AE交AB于点Q，
因为DM∥平面ECB，DM⊂平面PDM，
平面PDM∩平面ECB=CN，
所以DM∥CN，此时D，M，N，C四点共面，
由（1）可知，BC=CD=2，∠PCB=60°，CB⊥BP，
得∠CPB=30°，PC=4，
故，又因为NQ∥AE，
所以，
则有．
故．
19.【答案】 由（1）可知，点K到三边的距离分别为da=ka，db=kb，dc=kc，
则，
如图，延长AK交BC于点D，根据面积法可知，
所以，

另一方面，因为△KBC与△ABC同底，所以K，A到BC的距离之比等于三角形面积之比，
即，所以，
所以 △ABC为等腰三角形或直角三角形，理由如下：
由可知，
由（2）知，所以，
展开得，
又因为，所以，
因为b，c＞0，所以有以下两种情况：
当b2-c2=0时，即b=c，此时△ABC为等腰三角形；当时，即AB⊥AC，此时△ABC为直角三角形，
综上所述，△ABC为等腰三角形或直角三角形