福建省厦门第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷含答案（word版）

这是一份福建省厦门第一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷含答案（word版），共3页。试卷主要包含了 复数 12+32i3 的值是等内容，欢迎下载使用。
满分:150 分 考试时间:120 分钟命题:张帆 审核:周翔
注意事项:
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号. 回答非选择题时, 将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若球的表面积扩大到原来的 9 倍, 那么该球的体积扩大到原来的多少倍
A. 9 B. 27 C. 81 D. 729
2. 如图所示，已知正方形 O′A′B′C′ 的边长为 1，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形的周长为
A. 4 B. 8C. 22 D. 2+23
3. 已知平面 α ,直线 m,n 满足 m⊄α,n⊂α ,则 “ m//n ” 是 “ m//α ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 复数 12+32i3 的值是
A. -1 B. 1 C. -i D. i
5. 已知向量 a=1,3,b=3 ，且向量 a 在向量 b 上的投影向量为 13b ，则 a−b=
A. 1 B. 2 C. 7 D. 19
(第 6 题图)
6. 如图, O1 和 O 分别为圆台上下底面中心,且 O1O=3 ,在轴截面 ABB1A1 中, △A1B1O 为正三角形. 若 AB=4 ,则圆台的表面积为
A. 6π B. 9π C. 10π D. 11π
7. 在 △ABC 中, AB=AC,D 是 AC 中点,中线 BD=3 ,则 △ABC 面积的最大值是
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
(第 8 题图)
8. 如图,点 C 在以 AB 为直径的圆上,其中 AB=10 ,过 A 向点 C 处的切线作垂线, 垂足为 P ,则 AC⋅PB 的最大值是
A. 9 B. 16 C. 25 D. 36
二、多项选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 如图,正四棱台 ABCD−A1B1C1D1 中,下列说法正确的是
A. A1D 和 BC1 异面
B. BB1 和 DD1 共面
C. 平面 A1BD// 平面 CC1D1
D. 平面 A1BD 与平面 CB1D1 相交
10. 一货轮在 A 处,测得灯塔 S 在它的北偏东 30∘ 方向,之后它以每小时 24nmile 的速度继续沿正北方向匀速航行,40 分钟后到达 B 处,此时测得货轮与灯塔 S 相距 82nmile ,则灯塔 S 可能在 B 处的
A. 北偏东 15∘ 方向 B. 南偏东 15∘ 方向
C. 北偏东 75∘ 方向 D. 南偏东 75∘ 方向
11. 满足下列条件的四面体存在的是
A. 1 条棱长为 3 ，其余 5 条棱长均为 1 B. 1 条棱长为 1, 其余 5 条棱长均为 1
C. 2 条棱长为 3 ，其余 4 条棱长均为 1 D. 2 条棱长为 1,其余 4 条棱长均为 3
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 i 是虚数单位,3-2i是关于 x 的方程 x2+ax+b=0 (其中 a,b∈R ) 的一个根,则 a+b= _____▲_____.
13. 某校学生兴趣小组想要测量校内一座雕像的高度,他们选取与雕像底部 O 在同一平面内的三个在一条直线上的测量基点 A,B,C ，且在 A,B,C 处测得雕像顶点 P 的仰角分别为 π6 ， π4 ， π3,AB=BC=10 米，则雕像高 OP 为_____▲ 米.
14. 蜜蜂将巢造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择, 旨在最大化资源的利用, 同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性,小明作出它的部分平面图 (三个全等的正六边形),若 AL=xAB+yAF ,则 x+y= _____；若 AB=2 ，则 AL⋅ID= __________
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在复平面内,复数 z 对应的点为 Zm2−3m+2,m2−4m+3m∈R .
(1)若 z 为纯虚数，求 m 的值；
(2)设 O 为坐标原点， A 为虚轴负半轴上任意一点，若向量 OA 与 OZ 的夹角为锐角，求 m 的取值范围.
16. 如图,在正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=2,AA1=3,H,G,E 分别为 AD,AB,BC 的中点.
(1)求证: C1E// 平面 B1D1HG ；
(2)求点 B 到平面 C1DE 的距离.
17. 现有一几何体由上,下两部分组成,上部是正四棱锥 P−A1B1C1D1 ,下部是正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 (如图所示), O1,O 分别是上、下底面的中心,且满足 O1O=4PO1=8 .
(1)若 AB=6 ，求该几何体的体积.
(2)若正四棱锥的侧面是正三角形
① 求正四棱锥 P−A1B1C1D1 的侧面积.
②若 Q,N 分别是线段 A1B1,PB1 上的动点,求 AQ+QN+NC1 的最小值.
18. 在通用技术课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质四棱锥模型 E−ABCD,△ABD 为正三角形, BC=CD=2,∠BCD=120∘,M 为线段 AE 的中点.
(1)求证: DM// 平面 BCE ；
(2)过点 M,D,C 的平面 α 交 EB 于点 N ，沿平面 α 将木质四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割, 请你完成以下两件事情:
①在木料表面应该怎样画线?(在答题卡的图上画线要保留辅助线，并写出作图步骤) ②在木质四棱锥模型中确定 N 点的位置，求 BNBE 的值.
19. 在平面几何中,三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点,其定义如下: 记 △ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,三角形内一点 K 到三边 BC,CA,AB 的距离 da,db,dc 满足 daa=dbb=dcc=k ,称点 K 为 △ABC 的“莱莫恩点”.
(1)若在 △ABC 中， a=5 ， b=3 ， c=4 ，求常数 k 的值；
(2)求证: AK=b2AB+c2ACa2+b2+c2 ；
(3)若 AK⊥BC ，试判断 △ABC 的形状，并说明理由.