2025--2026学年辽宁省实验中学高一下册期中阶段测试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年辽宁省实验中学高一下册期中阶段测试数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数，则（ ）
A. 2B. C. 10D.
2. 在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）.
A. 7B. 10C. 7πD. 10π
6. 已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 向量与向量垂直
10. 已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（ ）
A. 圆锥的体积为
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C. 圆锥截面的面积的最大值为
D. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为
11. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A. 点C与点G到平面AEF的距离相等B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 异面直线A1G与EF所成角的余弦值为D. 平面AEF截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________．
13. 已知平面向量，平面向量满足，的最大值和最小值分别为m、n，则的值是__________.
14. 如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面内一点（包括边界），若平面，则长度的范围为___________．
四、解答题：本题共5小题．第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足．
（1）求A，
（2）若的周长为20，面积为，求a．
16. 如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为．
（1）求证：平面平面PAD；
（2）求证：；
17. 如图，在中，，，，，.
（1）判断并证明直线与的位置关系；
（2）若，求的值．
18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求角的大小；
（2）若为的角平分线，且，，求角平分线的长度；
（3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
19. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上.
（1）若为中点，求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论.
数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，则（ ）
A. 2B. C. 10D.
答案：D
解析：
思路：利用复数的除法运算求得复数，利用复数的模的意义可求得的值.
解答过程：因为，
所以.
故选：D.
2. 在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：根据已知找到异面直线所成角的平面角，再根据已知求其大小即可.
解答过程：由长方体结构知且，则为平行四边形，故，
所以直线和直线所成角，即为或其补角，而，，，
所以，则.
故选：C
3. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：利用正弦定理求出，即可求出．
解答过程：由正弦定理得，所以，
因为，所以，所以，
则，
故选：B．
4. 已知，，是三个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：
思路：根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
解答过程：由，，若，由面面平行的性质知：，
所以“”是“”的充分条件；
由，，若，则或与相交，
所以“”是“”的不必要条件．
则“”是“”的充分不必要条件.
5. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是两个等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（ ）.
A. 7B. 10C. 7πD. 10π
答案：A
解析：
思路：利用祖暅原理将不规则几何体体积转化为正四棱台体积.
解答过程：正四棱台的上底面边长为，故上底面积；
下底面边长为，故下底面积，棱台高
所以.
6. 已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
解答过程：由，可得，
以及，又因为，
所以，
得，
从而，
同理，
而，
故.
7. 在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，三棱锥与四棱锥的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
思路：利用线面平行的性质定理可确定Q点位置，再利用等体积转换法，可知只需表示出即可得出比值.
解答过程：如图所示，连接对角线交于点，连接.
因为正四棱锥的底面是正方形，所以是的中点.
因为平面，⊂平面，且平面平面，由线面平行的性质得.
因此是的中位线，故是的中点，即.
设正四棱锥的底面积为，高为h，则总体积，
因为 的面积是正方形面积的一半，即 ，
因为是中点，所以到底面的距离为.
所以，所以 .
8. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
思路：利用三角恒等变换及正弦定理将进行化简，可求出的值，再利用边化角将化成角，然后利用辅助角公式及角的范围即可得到答案.
解答过程：由题知，
即
由正弦定理化简得
即
故选.
方法提示：方法点睛：边角互化的方法
（1）边化角：利用正弦定理（为外接圆半径）得，，；
（2）角化边：
①利用正弦定理：，，
②利用余弦定理：
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于任意两个非零向量和，下列命题中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 向量与向量垂直
答案：AD
解析：
解答过程：对于A，，A正确；
对于B，
，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，
所以向量与向量垂直，D正确.
10. 已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（ ）
A. 圆锥的体积为
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为
C. 圆锥截面的面积的最大值为
D. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为
答案：AC
解析：
思路：对于A：直接求出圆锥的体积即可判断；对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；对于C：先判断出圆锥截面为轴截面时，其面积最大，然后可判断；对于D：利用圆锥的侧面展开图可求解判断.
解答过程：对于A：因为圆锥的底面半径为1，高为，所以体积，故A正确；
对于B：设圆锥的母线为l，则，
设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得：，即，解得：，故B错误；
对于C：显然当圆锥截面为轴截面时，其面积最大，此时，故C正确；
对于D：由B可得该圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，
所以从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为4，故D错误；
故选：AC
11. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）
A. 点C与点G到平面AEF的距离相等B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 异面直线A1G与EF所成角的余弦值为D. 平面AEF截正方体所得的截面面积为
答案：BCD
解析：
思路：连接AD1，FD1，GF，BC1，证得EF//AD1，结合点到面的距离与点到线的距离关系判断A，利用线面平行的判定判断B，结合平面几何的关系与异面直线与所成角是或其补角判断C，梯形的面积计算判断D即可.
解答过程：正方体中，连接AD1，FD1，GF，BC1，设，如图：
对A，根据，，可得，又为中位线可得，，故，点C与点G到直线EF的距离不相等，故点C与点G到平面AEF的距离也不相等，故A错误；
对B，因点E，F是BC，CC1中点，则EF//BC1，而正方体的对角面ABC1D1是矩形，则AD1//BC1//EF，
连GF，因G是棱BB1中点，则GF//B1C1//A1D1，且，即四边形A1GFD1是平行四边形，A1G//D1F，
平面AEF，平面AEF，于是A1G//平面AEF，故B正确；
对C，因EF//AD1，A1G//D1F，则异面直线与所成角是或其补角，
作于M，显然，即四边形AEFD1是等腰梯形，，
，，故C正确；
对D，，平面截正方体所得的截面是等腰梯形AEFD1，其面积，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____________．
答案：##
解析：
思路：由圆锥侧面展开图的面积公式结合条件即可求得底面半径，再由锥体体积公式进行计算即可.
解答过程：易知圆锥的母线长，设圆锥的底面半径为，
则，，则高．
则圆锥的体积，
故答案为.
13. 已知平面向量，平面向量满足，的最大值和最小值分别为m、n，则的值是__________.
答案：2
解析：
思路：将向量与平面中的点对应，得到点的轨迹是以线段为直径的圆，并说明在圆外，然后利用圆上一点到圆外一点的距离最值即可得到.
解答过程：取平面上一点为原点，取三点使得，
则可以写成 ，
即，所以，故点的轨迹是以线段为直径的圆，
该圆的直径为，
半径，因为，所以在圆外，设圆心到原点的距离为，
则点到原点的距离也即的最大值和最小值分别是和，
所以.
方法提示：对于给定向量相关的约束条件求最值的问题，可以将其转为几何问题从而利用几何性质进行判断计算.
14. 如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面内一点（包括边界），若平面，则长度的范围为___________．
答案：
解析：
思路：由面面平行的判定定理和性质定理确定F的位置，由此可求EF长度的范围.
解答过程：过作，交于点，交于，则易知底面，

∵平面，又易得平面，，且平面，
平面平面，又平面，平面，
又平面平面，平面 ∴
∵为中点,为中点，则为中点,
即在线段上,
，，
，，
则线段长度的取值范围为：，
故答案为.
四、解答题：本题共5小题．第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第19题满分17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足．
（1）求A，
（2）若的周长为20，面积为，求a．
答案：（1）；
（2）.
解析：
思路：（1）利用正弦定理边化角求解.
（2）根据给定条件，利用三角形面积公式、余弦定理列式求解.
（1）在中，由及正弦定理，得，
而，即，则，即，
又，所以.
（2）由的面积为，得，解得，
由的周长为20，得，即，
由余弦定理得，即，
于是，解得，
所以.
16. 如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为．
（1）求证：平面平面PAD；
（2）求证：；
答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
解析：
思路：（1）根据线线平行证明线面平行，根据线面平行证明面面平行；
（2）根据线面平行的性质证明线线平行.
（1）因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形，
所以，
又平面平面，
则平面，
同理平面平面，
可得平面，
又平面，
所以平面平面．
（2）因为底面ABCD为平行四边形，所以，
又平面平面，
所以平面，
又平面，平面平面，
所以．
17. 如图，在中，，，，，.
（1）判断并证明直线与的位置关系；
（2）若，求的值．
答案：（1）直线与平行，证明见解析
（2）解析：
思路：（1）将用和表示，利用向量共线定理即可判断出直线与平行；
（2）将用和表示，利用得到的值，再根据向量夹角公式求得.
（1）设，则，
可知，
因为，，
所以，
又因为，所以，
故，同时根据可得
，从而有，则直线与平行．
（2）可知，
由得，
整理得，则，
又，所以．
18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
（1）求角的大小；
（2）若为的角平分线，且，，求角平分线的长度；
（3）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.
答案：（1）
（2） （3）
解析：
思路：（1）利用正弦定理角化边，结合余弦定理求出，然后可得角；
（2）根据给定条件，利用三角形面积公式建立方程求解；
（3）利用正弦定理，结合角的范围求出的范围，然后由面积公式可得.
（1），，
，，
由余弦定理得，
又，；
（2）由的角平分线将的面积分为两部分，
则，，
于是，
即，解得，
所以的长为；
（3）由三角形面积公式得，
由正弦定理得
，
三角形为锐角三角形，，得，，
，，，.
19. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上.
（1）若为中点，求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）若，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论.
答案：（1）证明见解析
（2） （3）存在，证明见解析.
解析：
思路：（1）连接交于点，先证明，再由线面垂直判定定理证明结论；
（2）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值；
（3）取中点，的中点为，根据线面平面判定定理证明平面，平面，再根据面面平行判定定理证明平面平面，由此证明平面.
（1）连接交于点，连接，
因为是正方形，所以为中点，
所以在中，为中位线，，
又平面，平面，平面；
（2）取的中点，因为为中点，
所以在中，为中位线，所以，，
所以为异面直线与所成角（或其补角），
在中，，，，
由余弦定理可得，又，
所以为锐角，
所以异面直线与所成角的余弦值为；
（3）当是棱中点时，平面
证明如下：取中点，连接，，则，
平面，平面，
平面，
在中，为中点，为中点，
平面，平面，所以平面；
，所以平面平面；
平面，平面