初中 数学 人教版（2024） 八年级上册综合与实践 最短路径问题 课件

最短路径问题(1)人教版八年级数学上册学习目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题；2.能将实际问题中的元素抽象为数学中的“点”与“线”；3.利用轴对称或平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短” 问题.在探索最短路径的过程中，体会轴对称或平移的“桥梁”作用， 感悟“转化思想”.学习重难点学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.学习难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化线段和最小问题.复习回顾1. 如图1，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？②最短，因为两点之间，线段最短2. 如图2，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中， 哪条最短？为什么？PC最短，因为垂线段最短 像“两点的所有连线中，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等问题称为最短路径问题预备知识3.如图，已知点A和直线l，求作点A关于l的对称点A′.思考 问题1：如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？∵两点之间，线段最短.∴连接AB，交直线l于点C.化折为直点C为所求点.还需要证明这个点是唯一的证明 如图，点C是直线l的动点，证明：当点C是直线l与AB的交点时，AC＋BC的值最小.证明：在直线l上另外任意取一点C'，连接AC'，BC'.∵两点之间，线段最短.∴AC'＋BC'＞AB＝AC＋BC.分析：只需证明直线l上除点C外任意一点到点A，点B的距离的和都大于AC＋BC. 在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.溯源将军饮马问题2：[将军饮马问题]如图，将军从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地 开会，应该怎样走才能使路程最短？l探究问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？思考：如果能在另一侧找到一个点B'，使得对于直线上任意一点C，都 有BC＝B'C.思考：这个点B'是否存在，若存在，与点B有什么关系？探究问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？如图，作点B关于l的对称点B'，利用轴对称的性质，可得BC＝B'C.故有AC＋BC＝AC＋B'C.同侧转化异侧探究问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？如图，做点B关于l的对称点B'，连接AB'，AB'与直线l的交点C.点C为所求点.探究证明：点C是直线l的动点，点B与点B'关于直线l对称，当点C是直线l与 AB'的交点时，AC＋BC的值最小？证明：在直线l上另外任意取一点C'，连接AC'，BC'.只需证明AC'＋BC'＞AC＋BC.连接B'C'.∵两点之间，线段最短，∴AC'＋B'C'＞AC＋B'C.∵点B与点B'关于直线l对称，∴BC'＝B'C'，BC＝B'C.∴AC'＋BC'＞AC＋BC.总结问题3：点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时，AC＋BC的值最小？①将实际问题抽象成数学问题，用数 学语言表达.②利用轴对称转移线段，将问题转化 为已解决的问题，即两点之间，线 段最短.③用符号语言证明结论.课堂小结1.将军饮马问题：如图，点C是直线l的动点，当点C在直线l什么位置时， AC＋BC的值最小？依据：两点之间，线段最短.（化折为直）方法：利用轴对称实现线段的转移.将困难 问题转化为容易解决的问题.注意：区分哪些是定点，哪些是 动点，简化问题.4. 如图，在直线l上分别找出点P，使PA＋PB最小.解：如图所示：例题讲解5.如图，牧童在A处放牛，他的家在B处，l为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮一次水，饮水的地点(用点P表示)选在何处，牧童所走的路程最短？解：如图所示：巩固练习6. 如图：(1)画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；(2)在y轴上找出点P，使得PA＋PC最小，并写出点P的坐标.解：(1)如图，△A′B′C′ 即为所求作；(2) 如图，P点即为所 求点，P(0，3).例题讲解巩固练习7. 如图：(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)在x轴上找出点P，使得△ABP的周长最小，并写出点P的坐标.解：(1)如图，△A1B1C1 即为所求作；(2) 如图，P点即为 所求点，P(－3，0).拓展探究问题3：如图，将军从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到A处.将军怎样走可使所走的路径最短？AB＋BC＋AC2AD拓展探究问题3：如图，将军从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到A处.将军怎样走可使所走的路径最短？草地河AB＋BC＋AC与2AD比较大小∵AB＋BC＋AC＝A'B＋BC＋A"C2AD＝A'D＋A"DA'B＋BC＋A"C＜A'D＋A"D∴AB＋BC＋AC＜2AD8.如图，邮递员小王的家在两条公路OM和ON之间的A处，小王每天都要到在射线OM方向行驶的车上取下快件，然后再送到在射线ON方向行驶的车上．为使小王每天接送快件的行程最短，请帮助他找出在公路OM和ON上的等车地点.解：如图所示，点B和点C即为等车地点.巩固练习课堂小结拓展探究 8.如图，点A，B和直线l的位置如图所示，点P是直线l上的动点.当在何处时， 使|PA－PB|最长.ll9. 如图，在4×4的正方形网格中，格点A，B和直线l的位置如图所示，点P在直线l上.(1)请分别在图1和图2中作出点P，使PA＋PB最短；(2)请分别在图3和图4中作出点P，使PA－PB最长.解：如图所示.图1图2图3图4巩固练习