初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）综合与实践 最短路径问题教案设计

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）综合与实践 最短路径问题教案设计，共9页。教案主要包含了将军饮马问题，造桥选址问题等内容，欢迎下载使用。
第一课时《15.4课题学习 最短路径问题》教学设计
课型
新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
在生产和经营中，为了省时省力常寻求最短路径，因此最短路径问题在现实生活中是经常遇到的问题。本节课在学生学习了轴对称之后，以“造桥选址问题”为载体，进一步开展对“最短路径问题”的研究，让学生经历实际问题抽象为数学中线段和的最小值问题，让学生体会数学来源于生活，又服务于生活，为以后线段最值问题的学习打下基础。
学习者分析
在学习本节课内容之前，学生已具有将实际问题抽象为数学问题的经验，且已学习过平移、两点之间线段最短等相关知识，为本节课的学习做好铺垫。
教学目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.
2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
教学重点
应用所学知识解决最短路径问题.
教学难点
选择合理的方法解决问题.
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：引入新课
教师活动1：
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
如图2，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？
能用学过的数学知识解释这个问题吗？
学生活动1：
学生思考，回答问题
活动意图说明：为了体现本节课内容与已有知识间联系，采用多媒体直观显示图片，讲授法通过情境回顾旧知，引入课题。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。
环节二：新知探究
教师活动2：
从图中的 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?
你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
当点 C 在 l 的什么位置时，AC 与 BC 的和最小.
探究：现在假设点A,B分别是直线l 异侧的两个点，如何在l上找到一个点,使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C. 根据是“两点之间，线段最短”，可知这个交点即为所求.

探究：点A，B分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？
思考：
1.通过怎样的操作可以把同侧两点转化为异侧两点来解决呢？
2.CB 与CB′的长度相等吗？
你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？

证明：如图，在直线 l 上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′.
∴ AC+BC=AC+B′C=AB′ AC′+BC′=AC′+B′C′
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′
∴ AC+BC＜AC′+BC′
即AC+BC最短.
学生活动2：
学生尝试回答，并相互补充，最后达成共识.
学生独立思考，画图分析，并尝试回答
学生根据提示，独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，追问找点的过程，师生共同补充
师生共同分析然后学生说明证明过程，教师板书
活动意图说明：经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.
环节三：新知讲解
教师活动3：
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)

我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把右图的情况转化为左图的情况？
如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？

在连接A′，B两点线中，线段A′B最短. 因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.
你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？
为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B.
证明：如图，由平移的性质可知：
AM=A′N，AM′=A′N′，MN=M′N′
在△A′BN′中，A′B＜A′N′+N′B
∴ A′N+NB＜AM′+N′B
∴ AM+NB＜AM′+N′B
∴ AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B
学生活动3：
学生思考，画出图形，抽象出数学问题
学生观察当点Ｎ在直线b上的位置的改变时，AM、MN、NB 的长度变化情况，明确线段MN的长度不变，但AM+NB会发生变化的,体会选址的意义.
学生分小组讨论，寻找答案，进行全班展示，并说明自己的想法
活动意图说明：通过问题串的设计为学生搭建脚手架，让更多的学上能够参与到课堂的活动中，逐步引导学生进行思考，并且通过前后知识类比学习，建立前后知识之间的联系，同时逐步学会用转化的思想将新问题转化成能够解决的问题，从而达到解决新问题的目的，培养学生的应用意识和推能力
环节四：典例精析
教师活动4：
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
学生活动4：
师生共同总结
活动意图说明：让学生归纳，体会解决最短路径问题的基本策略，感悟转化思想.
板书设计
一、将军饮马问题
二、造桥选址问题
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.某开发商的经适房的三个居民小区 A、B、C 在同一条直线上，位置如图所示，其中小区 B 到小区A、C 的距离分别是 70m 和 150m，小区 A、C 之间建立一个超市，要求各小区居民到超市总路程和最小，那么超市的位置应建在 ( )
A.小区 AB. 小区 B
C.小区 CD. AC 的中点
2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
3.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为 。
4.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是 。
选做题：
5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
【综合拓展类作业】
6.如图 (1) 是示意图，游船从湖岸 l₁ 的码头 D 将游客送往亭子 M 停留观赏，然后将游客送往湖岸 l₂ 的码头 C，最后再回到码头 D.请在图 (2) 中画出游船的最短路径，并确定两个码头的位置。
课堂总结
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=6，∠ACB=75°，AD⊥BC于D，点M、N分别是线段AB，AD上的动点，则MN+BN的最小值是（ ）
A．3 B．23 C．4.5 D．6
2.如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP=AQ=4 ， QD=3 ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（ ）
A．7B．8C．10D．12
选做题：
3.如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点 A，B，C 在小正方形的顶点上.
(1) 在图中画出与△ABC 关于直线 l 成轴对称的△A′B′C′；
(2) △ABC 的面积是______；
(3) 在直线 l 上找一点 P，使得 PA+PB 最短.
【综合拓展类作业】
4.如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.
教学反思
本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思维能力的提高. 不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进行进一步的训练和提高.