新高考数学一轮复习重难专攻（十八）轨迹方程的求法（六类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习重难专攻（十八）轨迹方程的求法（六类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了设圆与，已知动圆P与圆M等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 定义法求曲线的轨迹方程
1、设圆与:外切并与:内切，则的圆心轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】轨迹问题——椭圆
【分析】根据圆的方程，分别找出圆心，的坐标，以及两圆的半径，再根据内切，外切中圆半径的关系，找到相关等式，即可得出动点M的轨迹属性，根据已知条件即可求出轨迹方程.
【详解】解:由圆:，圆心，，
圆:，圆心，半径，
设动圆圆心，半径为，
根据题意可得
整理得，
所以圆心的轨迹是以，为焦点，
，的椭圆，，
动圆圆心的的轨迹方程，所以轨迹为椭圆.
故选：B
2、（24-25高三下·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】利用双曲线定义求方程
【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解.
【详解】设动圆的半径为r，
则，，
则，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支．
故选：C．
3、已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求双曲线的轨迹方程、利用双曲线定义求方程
【分析】设圆P的半径为r，外切关系可得，，进而得，从而利用双曲线的定义即可求解.
【详解】由圆M：，得圆心，半径，
由圆N：，得圆心，半径．
设圆P的半径为r，则有，．
两式相减得，
所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支，
又，所以C的方程为．
故选：B．
4、（24-25高三下·江苏南京·月考）已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ．
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】轨迹问题——椭圆
【分析】相切分两种情况讨论，再由动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案．
【详解】由题意可知，共有两种情况，设动圆半径为，，
动圆与圆内切，与圆内切，所以
所以，此时动圆圆心的轨迹是椭圆，，
所以动圆圆心的轨迹方程为；
动圆与圆外切，与圆内切，所以，
所以，此时动圆圆心的轨迹为椭圆，，
动圆圆心的轨迹方程为，
故答案为：或．
5、（2024上·湖北孝感·高三上期末）如图，已知圆，点，为圆上的动点，线段的垂直平分线与线段相交于点.

(1)求动点的轨迹方程；
(2)设（1）中曲线为，直线与曲线交于两点，求线段的中点坐标和弦长.
【答案】(1)
(2)的中点坐标为，弦长.
【分析】（1）连接，根据题意得到，结合椭圆的定义，即可求得的轨迹方程；
（2）设，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，即可求解.
【详解】（1）（1）连接，由题意得圆的圆心为，半径为，且，
所以，
根据椭圆的定义，点的轨迹为椭圆，其方程为.
（2）解：设
联立方程组，整理得，
则，且，
所以的中点坐标为，弦长.
6、（24-25高三上·广东肇庆·期中）设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于、两点，过作的平行线交于点．
(1)证明：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以为中点的弦所在的直线方程．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【难度】0.65
【知识点】求平面轨迹方程、轨迹问题——椭圆、由弦中点求弦方程或斜率
【分析】（1）由，得，进而得，所以，根据圆的方程可得．设点的坐标为，由两点间的距离公式可得，化简可得所求方程．
（2）设弦的两端点分别为，结合条件，利用 “点差法”，即可求解.
【详解】（1）因为，，故，
所以，故，
又圆的标准方程为，从而，所以．
由题设得，，，
设点，则有，化简可得，
又由题意可得点不能在x轴上，所以，则点的轨迹方程为.
（2）由（1）知，点的轨迹方程为，
由椭圆的对称性知，以为中点的弦所在直线的斜率存在，
设弦的两端点分别为，
则①，②，
由①②，可得，
依题意，，代入上式，，
故有，
故以为中点的弦所在的直线方程为，即.
重难点题型2 直接法求曲线的轨迹方程
1、(2024·江苏省盐城市模拟)(多选) 某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点A−5,0，B5,0，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为−49，求点M的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率之积为−49”拓展为“斜率之积为常数kk≠0”之后，进行了如图所示的作图探究：
参考该同学的探究，下列结论正确的有：( )
A. k