新高考数学一轮复习重难专攻（二十）圆锥曲线之焦点三角形（四类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习重难专攻（二十）圆锥曲线之焦点三角形（四类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了已知双曲线，定义等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 以焦点三角形的周长为情景命题
1．（2025·西藏南木林县第一中学高三月考）若椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】椭圆（其中a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a+2c=16，椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，可得，解得a=5，c=3，则b=4，所以椭圆C的方程为：．故选D．
2．（2024·辽宁大连·统考二模）设椭圆的左焦点为，直线与椭圆交于两点，则周长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性、椭圆的定义，求出弦AB长的范围即可.
【详解】令椭圆的右焦点为，长半轴长，直线过椭圆中心，因此，
则周长，
，由得，因此，
所以周长的取值范围是.
故选：C
3．（2024·山东青岛·统考三模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左，右焦点分别为，，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C右支于A，B两点，AB中点为W，，△的周长等于12，则（ ）
A．a＝3B．双曲线C的渐近线方程为
C．D．
【答案】D
【分析】运用韦达定理、弦长公式、双曲线定义及两点间距离公式可求得、的值，进而代入计算判断各个选项即可.
【详解】如图所示，

由题意知，，，其中，
设直线AB方程为，
联立，
设，，
则，，
则
所以①，
由双曲线定义知，，
所以的周长为，
所以②，
由①②得：③，
又因为为AB的中点，
所以，，
所以，
所以，解得：④，
由③④可得：，
所以双曲线方程为.
所以双曲线渐近线方程为，故A项错误、B项错误；
对于C项，，故C项错误；
对于D项，因为，所以，
所以，
所以，故D项正确.
故选：D.
4．（24-25高二上·陕西西安）已知点分别为椭圆的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，分别为的内切圆圆心，则的周长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的面积问题、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】由题意，根据椭圆及△，△，△的位置关系，利用等面积法可分别求得它们的内切圆圆心位置及其半径，分别计算出△的各边长度可得结果．
【详解】由题意可得，，，
所以，，
此时过作垂直于轴的直线为，
所以，，
因为△，△的内切圆的半径相等，且，
△，△的内切圆圆心，的连线垂直于轴，垂足为，
设△内切圆的半径为，
在△中，可得，
易知，
又，所以，
所以，解得，
在△中，因为为的角平分线，
所以一定在轴上，
令圆半径为，
在△中，可得，
易知，
所以，解得，
所以，
所以，
则△的周长为．
故选：A．

5．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过上顶点和右焦点的直线与椭圆的另一个交点为，且的面积为，则的周长为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】由题意可得出，，将直线的方程与椭圆方程联立，求出点的坐标，根据的面积为，求出的值，可得出的值，再利用椭圆的定义可得出的周长.
【详解】如下图所示：
由已知，则，，
所以，椭圆的方程为，
易知点、，，
所以，直线的方程为，
联立，解得或，即点，
所以，，解得，
所以，，
则的周长为，
故选：D.
6．（2025·广东深圳·一模）已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为 ．
【答案】12
【难度】0.65
【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线中的弦长、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
【分析】由，，可得为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义即可求解周长.
【详解】因为，，
所以直线为，
设，
由，得，
则，
所以，
因为，，
所以，
所以
故答案为：12
7．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知双曲线：的一条渐近线与圆O：交于两点，设圆O在两点处的切线与轴分别交于两点、若双曲线的焦距为，则四边形周长的最大值为 ．
【答案】4
【难度】0.65
【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】根据相切以及勾股定理，结合对称性可得周长的表达为，即可里利用向量数量积的性质求解.
【详解】由题意可知渐近线方程为，，
故，故，
又,
由于焦距为，故，则，
由对称性可知四边形为平行四边形，故周长为，
设，由可得，当且仅当，即时等号成立，
故，
故最小值为4
故答案为：4
8．（2025·广西南宁）定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆的焦距为，焦点三角形的周长为，则椭圆的方程是__________．
【答案】
【解析】设椭圆的半焦距为，由题意得，，所以，故椭圆的方程是.
重难点题型2 以焦点三角形的面积为情景命题
1．（2025海南海口·模拟预测）已知、是椭圆的左右焦点，点为上一动点，且 ，若为的内心，则面积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由等面积法求出内切圆的半径的表达式，代入三角形的面积公式，可得所求的三角形的面积．
【详解】由椭圆的方程可得，，，
设内切圆的半径为，则，
可得，
而，所以，
所以，
所以，
因为，
所以，即．
故选：C．
2．（2024·四川宜宾·统考三模）已知双曲线的左右焦点分别为，以它的一个焦点为圆心，半径为的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于两点，则四边形的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】根据渐近线方程及焦点到渐近线的距离等于，结合双曲线中 的关系可求得的值，进而求得切点A的坐标，即可求四边形的面积．
【详解】因为双曲线的左右焦点分别为
双曲线的渐近线方程为，即其中一条渐近线方程为
以它的一个焦点为圆心，半径为的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A，B两点
根据焦点到渐近线的距离及双曲线中 的关系
可得
所以解得，
进而可求得切点
则四边形的面积为
故选D
【点睛】本题考查双曲线的简单性质以及圆与双曲线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
3．（（多选题）已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆的左、右焦点，是椭圆上异于的任意一点，过作直线的垂线，垂足为，直线交于点，交椭圆于两点，△的面积最大值为12，则（ ）
A．
B．若，则的最大值为
C．在圆上运动
D．
【答案】ABD
【分析】判断出点的轨迹即可求出△的面积最大值，进而求出；根据椭圆的定义即可求出的最大值；设出直线的方程，且点在椭圆上，即可求出，最后联立直线的方程即可求得点的轨迹方程；设出直线的方程，并与椭圆联立利用韦达定理即可求解.
【详解】对于选项A，因为，所以点在以为直径的圆上，所以边上高为半径时，△的面积最大值，即，
又因为，即，所以，解得，故A正确；
由选项，由选项A可知，，则，所以，
,当在直线上时，等号成立．故正确；
由选项，因为，所以设直线，
直线，直线，
因为椭圆方程为，所以满足，所以，所以，
联立直线的方程得，解得，
所以在直线上运动，故C错误；
设直线的方程为，设，
直线和椭圆联立，消去整理得，
，
所以，，
因为点在椭圆上，所以,
所以，同理可知，
所以
，
故选项正确；
故选：.
【点睛】本题考查考生运算求解能力、推理论证能力、函数与方程的思想、数形结合的思想、化归与转化的思想．
5．（2025·陕西西安·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点为，，直线与C交于A，B两点，若的面积是面积的2倍，则（ ）
A．B．或6C．D．或
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
【分析】利用面积关系，得到线段比例关系，设出直线与轴交点后求参数即可.
【详解】
易得，故，设，，
直线与轴交点，面积为，面积为，
由题意得面积是面积的2倍，则，
化简得，结合，
故，解得，即，故，解得.
故选：C.
6．（24-25高三上·云南）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求点到直线的距离
【分析】由题设条件推导出，，可得，结合，计算求出离心率．
【详解】由题设知双曲线C：的一条渐近线方程为：，
∵右焦点，且，
∴，
∴，由，解得，
又，
∴，即，
，即，
所以，故得，
故选：A.
7．（2025·辽宁·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，直线与交于另一点，若与（为原点）的面积之比为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、向量的线性运算的几何应用、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】根据题意易得，可得，进而设，列方程求解即可.
【详解】由题意，，，所以，则，
所以，由，，设，
则，，
则，解得，，即，
因为点在椭圆上，所以，化简得，
所以．
故选：B．
8．（24-25高三上·江苏扬州·期末）根据物理知识椭圆有如下光学性质：从一个焦点发出的光线将汇聚到另一个焦点处．已知椭圆分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的任意一点，根据研究，我们知道直线、直线与在点处的切线所成的角相等．过作直线，垂足为，则面积的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】根据垂直以及角相等，结合椭圆定义可得，进而得，即可利用三角形面积公式，结合三角函数的最值求解.
【详解】由题知，椭圆半焦距，延长，相交于，
由于,又，故，
结合，垂足为，故,
,
故,
,
故当时，的面积最大为2 ，
故选：B
重难点题型3 以焦点弦为情景命题
1．（2024·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）椭圆，过原点O斜率为的直线与椭圆交于C，D，若，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先利用直线斜率和弦长求出点的坐标，然后将点代入椭圆方程，解出，从而得到椭圆方程.
【详解】由题意可知，直线的方程为，直线倾斜角为，
不妨设点在第一象限，则，因此可得，
又点在椭圆上，所以，
所以椭圆的标准方程为，
故选：D.
【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，结合了直线与弦长等相关知识，难度不大.
2．（2025湖南永州·校联考二模）已知椭圆的左焦点为，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】因为椭圆左焦点为，写出直线方程 ，与椭圆方程联立，消元得，利用弦长公式即可求出.
【详解】由可知，直线AB为，
联立，消元得，
设
则，
根据弦长公式得，故选C.
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，求弦长，属于中档题.
3．（2025·全国·模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，过点F且斜率为1的直线l交C于A，B两点，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据弦长求参数
【分析】设，，，联立与椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程得，结合椭圆参数关系求离心率.
【详解】设，，，则直线，

联立方程，消去y得，
则可得，，，
则，整理得，
又，则，则.
故选：B
4．（2024·陕西铜川·一模）古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆的面积为，离心率为，，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列结论正确的是（ ）
①椭圆的标准方程可以为 ②若，则
③存在点，使得 ④的最小值为
A．①③B．②④C．②③D．①④
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】由椭圆的性质判断A；由定义结合余弦定理、三角形面积公式判断B；由余弦定理得出的最大角为锐角，从而判断C；由基本不等式判断D.
【详解】对于①：由，解得，
则椭圆的标准方程为，故①正确；
对于②：由定义可知，
由余弦定理可得：
，整理得，
则，故②错误；
对于③：设，
，
，由于，
，
则不存在点，使得，故③错误；
对于④：，当且仅当，
即时，等号成立，故④正确；
故选：D
5．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的两条渐近线分别交于两点.若为直角三角形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、已知方程求双曲线的渐近线
【分析】由题意求出渐近线方程，为直角三角形，则只可能或者，不妨取，在中，求出，在中，求出，即可得解.
【详解】

该双曲线的渐近线方程为，则，
若为直角三角形，则只可能或者，
这两种情况对称，面积相同，只研究一种情况即可，
如图所示，，
在中，有，
在中，，，所以.

故选：C.
6．（2024·山东青岛·三模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左，右焦点分别为，，过C的右焦点且倾斜角为的直线交C右支于A，B两点，AB中点为W，，△的周长等于12，则（ ）
A．a＝3B．双曲线C的渐近线方程为
C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】求平面两点间的距离、双曲线定义的理解、求双曲线中的弦长、根据韦达定理求参数
【分析】
运用韦达定理、弦长公式、双曲线定义及两点间距离公式可求得、的值，进而代入计算判断各个选项即可.
【详解】如图所示，

由题意知，，，其中，
设直线AB方程为，
联立，
设，，
则，，
则
所以①，
由双曲线定义知，，
所以的周长为，
所以②，
由①②得：③，
又因为为AB的中点，
所以，，
所以，
所以，解得：④，
由③④可得：，
所以双曲线方程为.
所以双曲线渐近线方程为，故A项错误、B项错误；
对于C项，，故C项错误；
对于D项，因为，所以，
所以，
所以，故D项正确.
故选：D.
7．已知过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，点为C上一点，记的面积分别为，若，则的最小值为（ ）
A．16B．20C．25D．28
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】抛物线定义的理解、基本不等式求和的最小值、抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数
【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理、结合抛物线定义及基本不等式求出最小值.
【详解】由点在抛物线C上，得，由，得，解得，
抛物线C：的焦点，设直线l：，，
由，得，则，则，
则
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为25．
故选：C
重难点题型4 以焦点三角形与其它知识综合为情景命题
1．（2024·湖南郴州·安仁县第一中学校考模拟预测）弓琴，是弓琴弹拨弦鸣乐器（如下左图）.历史悠久，形制原始，它脱胎于古代的猎弓，也可以称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.古代传说将“琴”的创始归于伏羲，也正由于他是以渔猎为生的部落氏族首领.在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”. 常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于台湾原住民中的布农、邹等民族聚居地区.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔， 其正视图即为一椭圆面，它有多条弦， 拨动琴弦，发音柔弱，音色比较动听，现有某专业乐器研究人员对它做出改进，安装了七根弦，发现声音强劲悦耳.如下右图，是一弓琴琴腔下部分的正视图.若按对称建立如图所示坐标系，恰为左焦点，均匀对称分布在上半个椭圆弧上(在上的投影把线段八等分)， 为琴弦，记，数列前n项和为，椭圆方程为，且，则的最小值为
【答案】
【分析】设（），由焦半径公式有，由对称性得，由题意有成等差数列，从而可求得，这样求得后再由基本不等式得最小值．
【详解】设，得，为等差数列，
=，
由题意知的投影把线段八等分,所以,，
又，所以，故
，
当且仅当时取等号.
故答案为：．
【点睛】本题是新文化试题，解题关键是理解题意，从诸多信息中提取有用的数学信息，然后应用数学知识解题．题中椭圆、焦点，提示我们求需用椭圆的焦半径公式，再结合对称性，易求得其和，从而表示出，第二步才联想到需要利用基本不等式中“1”的代换求最小值．
2．（2025·湖南长沙·雅礼中学校考一模）（多选题）如图，已知双曲线：的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点B，连接，，与双曲线左支交于点P，与渐近线分别交于点M，N，则（ ）
A．
B．
C．过的双曲线的弦的长度的最小值为8
D．点B到两条渐近线的距离的积为
【答案】AD
【分析】由，若结合已知可得，设且，应用点在双曲线上、两点距离公式求坐标，写出直线求出坐标，进而判断各项的正误即可.
【详解】由题设，若，则，
，即，可得，
若且，则，可得，故，
所以，直线为，即，而渐近线为，
所以，，则，
又，可得（舍）或，故，
所以，即，A正确；而，B错误；
令，则，可得，故过垂直于x轴所得弦长为8，
而过和两顶点的直线，所得弦长为2，所以过的双曲线的最短弦为2，C错误；
由到的距离为，到的距离为，
所以B到两条渐近线的距离的积为，D正确.
故选：AD
3．（多选题）如图，类似“心形”的曲线，可以看成由上部分曲线：，下部分曲线：构成，过曲线的焦点的直线与曲线交于M，N两点，是“心形”曲线E上的动点，下列说法正确的是（ ）

A．的方程为
B．的最大值为
C．直线与曲线E有4个交点，则m的取值范围为
D．面积的最大值为
【答案】AC
【难度】0.4
【知识点】求椭圆中的最值问题、根据椭圆的有界性求范围或最值、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】根据题设易知上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆，进而确定下半部分椭圆参数得方程，结合椭圆性质判断A、B；设直线方程，数形结合及联立椭圆方程，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式求面积，判断C、D.
【详解】由可变形为，
则上半部分表示以为圆心，1为半径的2个半圆.
曲线的焦点为，解得，，，
则曲线的方程为，故A正确；
另椭圆的上焦点，所以可以看成，
当点位于的下顶点时，最大，所以，故B错误；
当直线与第一象限半圆相切时，，则，
由图，可得的取值范围为，故C正确；

根据对称性，不妨设，联立，消去并整理得，
且，则，，
则，
所以，
设，易得，
函数在上单调递增，，
所以的最大值为，故D错误.
故选：AC
【点睛】关键点点睛：根据已知确定上下两部分对应曲线的性质，再应用数形结合、直线与曲线的位置情况求参数和三角形面积为关键.
4．（2024·云南大理·一模）（多选题）法国数学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为圆，过上的动点作的两条互相垂直的切线，分别与交于两点，直线交于两点，则（ ）
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．面积的最大值为7
C．的最小值为
D．若动点在上，将直线的斜率分别记为，则
【答案】ABC
【难度】0.4
【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积
【分析】取椭圆上顶点与右顶点的切线，建立齐次方程，即可判断；根据圆的性质，结合三角形面积公式即可判断；由于为圆的直径，即过坐标原点，计算即可判断；设，利用点差法即可判断；
【详解】依题意，可设圆C方程为，
过椭圆的上顶点作轴的垂线，
过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆C上，
所以，即，
所以椭圆的蒙日圆方程为，故A正确；
因为点都在圆上，且，所以为圆的直径，
所以面积的最大值为，故B正确；
由于为圆的直径，过坐标原点，即过坐标原点，
所以，故C正确；
由直线经过坐标原点，易得点关于原点对称，设，
则，
又，所以，
所以，故D错误.
故选：.
【点睛】方法点睛：点差法是求解圆锥曲线问题中的解法，在直线与圆锥曲线问题中，直线与圆锥曲线有两个交点，设，将这两点的坐标分别代入圆锥曲线方程，得到两个等式，并对所得等式作差，化简得到相关结论.
5．（2025·山西晋中·模拟预测）把底面为椭圆且母线与底面垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，，分别是椭圆柱的上、下底面椭圆的长轴，，且底面椭圆的离心率为，分别为下底面椭圆的左、右焦点，为母线上的动点，为线段上的动点，为过点的下底面椭圆的一条动弦（不与长轴重合），则三棱锥体积的最大值为 .

【答案】
【难度】0.4
【知识点】求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题、台体体积的有关计算、根据离心率求椭圆的标准方程
【分析】由，要使三棱锥体积最大，只需的面积和到平面距离之和都最大，求解即可.
【详解】连接，，由，
要使三棱锥体积最大，
只需的面积和到平面距离之和都最大，
，令，且，则，
，
当时，有最大值，
在下底面内以为原点，构建如图所示的直角坐标系，
由题设，长轴长，
因为底面椭圆的离心率为，所以焦距为，所以短轴长，
则椭圆方程为，，且，设，
联立椭圆得，，
，，
令，，
由对勾函数性质可知在上递增，，
综上，三棱锥体积的最大值为.
故答案为：.

【点睛】方法点睛：本题是解析几何与立体几何的综合问题，解析几何部分要用好椭圆的定义、方程和性质，确定图形中各点的位置，利用韦达定理解决弦长；椭圆中立体几何部分要用好几何体的结构特征.