新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练素养拓展33 曲线的轨迹方程问题（精讲+精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练素养拓展33 曲线的轨迹方程问题（精讲+精练）（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练素养拓展33曲线的轨迹方程问题精讲+精练原卷版doc、新高考数学一轮复习考点题型归纳讲练素养拓展33曲线的轨迹方程问题精讲+精练解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。

一、曲线方程的定义
一般地，如果曲线与方程之间有以下两个关系：
①曲线上的点的坐标都是方程的解；
②以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
此时，把方程叫做曲线的方程，曲线叫做方程的曲线．
二、求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为；
（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；
（4）用坐标表示这个等式，并化简；
（5）确定化简后的式子中点的范围．
上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．
三、求轨迹方程的方法
1.定义法
如果动点的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。
2.代入法（相关点法）
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程。
3.交轨法
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
4.参数法
动点的运动主要是由于某个参数的变化引起的，可以选参、设参，然后用这个参数表示动点的坐标，即，再消参.
5.点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得，，，等关系式，由于弦的中点的坐标满足，且直线的斜率为，由此可求得弦中点的轨迹方程.
二、题型精讲精练
【典例1】已知点P是椭圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点的轨迹方程为______．
【答案】
【解析】因为轴，垂足为M，且PM的中点为，
所以，又因为P是椭圆上任意一点，
所以，即.故答案为：.
【典例2】已知圆：，动圆与圆外切，且与定直线相切，设动点的轨迹为．求的方程；
【解析】设，圆的半径为，由题可知，点在直线右侧，
因为圆与定直线相切，所以．
又圆与圆外切，所以，
所以，化简得，即的方程为．
【典例3】（单选题）设分别是直线和上的动点，且满足，则的中点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设，，，
因为为的中点，则，故，，又因为，所以，即，所以点M的轨迹方程为．
故选: A.
【典例4】已知、为椭圆C：的左右顶点，直线与C交于两点，直线和直线交于点.求点的轨迹方程.
【解析】由题意得，，
设，，，则，，
即，，得，
又∵点在C上，即，得，∴；
【典例5】已知椭圆的弦所在直线过点，求弦中点的轨迹方程.
【解析】设，弦的中点，则，
将代入椭圆方程得，
两式相减得，
所以，
当时，，
因为，所以，则，
整理得；
当时，则直线方程为，代入椭圆方程解得
所以满足上述方程，故点的轨迹方程.
【题型训练-刷模拟】
一、单选题
1．平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（ ）
A．线段B．圆C．椭圆D．不存在
2．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若=2，则点C的轨迹为（ ）
A．椭圆B．射线C．圆D．直线
4．已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．C．D．
5．已知圆，直线l过点.线段的端点B在圆上运动，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆E上一动点，G点是三角形的重心，则点G的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．将上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到曲线，若直线与曲线交于两点，且中点坐标为，那么直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知是圆上的一动点，点，线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（ ）
A．圆B．椭圆C．抛物线D．双曲线
10．已知是椭圆的长轴上的两个顶点，点是椭圆上异于长轴顶点的任意一点，点与点关于轴对称，则直线与直线的交点所形成的轨迹为（ ）
A．双曲线B．抛物线
C．椭圆D．两条互相垂直的直线
11．已知点P是圆上的动点，作轴于点H，则线段PH的中点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
12．已知双曲线的两个焦点分别为，离心率等于，设双曲线的两条渐近线分别为直线；若点分别在上，且满足，则线段的中点的轨迹的方程为
A．B．
C．D．
13．已知，，，以C为焦点的椭圆过A、B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
14．如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式，那么点M的轨迹是 ．
15．平面上一动点C的坐标为，则点C的轨迹E的方程为 ．
16．曲线C上任意一点P到点F（2，0）的距离与它到直线x＝4的距离之比等于，则C的方程为 ．
17．已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别相交于两个动点，则点的轨迹方程为 .
18．已知点分别在轴、轴上运动，，点在线段上，且.则点的轨迹方程是 ；
19．已知点A，B，P是平面内的一个动点，直线PA与PB的斜率之积是，则动点P的轨迹C的方程为 .
20．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，，点满足，则点的轨迹方程为 .
21．已知圆M与圆C1：和圆C2：一个内切一个外切，则点M的轨迹方程为 .
22．已知点是曲线上任意一点，，连接并延长至，使得，求动点Q的轨迹方程 ．
23．在椭圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为，点在的延长线上，满足，当点在椭圆上运动时，点的轨迹方程为 .
24．已知点P为椭圆上的任意一点，O为原点，M满足，则点M的轨迹方程为 ．
25．设平面直角坐标系中，O为原点，N为动点，，，过点M作轴于点，过点N作轴于点，M与不重合，N与不重合，设，则点T的轨迹方程是 .
26．自引圆的割线ABC，则弦中点P的轨迹方程 .
27．已知，，当时，线段的中点轨迹方程为 ．
28．已知是椭圆中垂直于长轴的动弦，是椭圆长轴的两个端点，则直线和的交点的轨迹方程为 ．
29．已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线与抛物线交于两点，过点作抛物线的切线，若交于点，则点的轨迹方程为 .
30．直线在轴上的截距为且交抛物线于、两点，点为抛物线的顶点，过点、分别作抛物线对称轴的平行线与直线交于、两点．分别过点、作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ．
三、解答题
31．已知直线l平行于y轴，且l与x轴的交点为，点A在直线l上，动点P的纵坐标与A的纵坐标相同，且，求P点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．
32．在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，，点为坐标系内一点，若直线与直线的斜率的乘积为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)说明点的轨迹是何种几何图形．
33．已知椭圆，点A，B分别是它的左､右顶点，一条垂直于x轴的动直线l与椭圆相交于P，Q两点，当直线l与椭圆相切于点A或点B时，看作P，Q两点重合于点A或点B，求直线与直线的交点M的轨迹方程.
34．已知的斜边为AB，且.求:
(1) 外接圆的一般方程;
(2)直角边的中点的轨迹方程．
35．已知直线，圆.
(1)证明:直线与圆相交；
(2)设与的两个交点分别为A、，弦的中点为，求点的轨迹方程.
36．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上且．
(1)求椭圆的方程；
(2)点分别在椭圆和直线上，，为的中点，若为直线与直线的交点．是否存在一个确定的曲线，使得始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由．
37．已知过点的直线交抛物线于两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)设为抛物线的焦点，直线与直线交于点，直线交抛物线与两点（在轴的同侧），求直线与直线交点的轨迹方程．
38．已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上除右顶点之外的一点．若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆圆心的轨迹方程．
39．已知点是圆上的定点，点是圆内一点，、为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点的轨迹方程．
(2)若，求线段中点的轨迹方程．
40．已知椭圆的上､下顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，记分别为直线的斜率.点满足.
(1)证明：是定值，并求出该定值；
(2)求动点的轨迹方程.
41．已知抛物线的焦点为F，点E在C上，以点E为圆心，为半径的圆的最小面积为．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点F的直线与C交于M，N两点，过点M，N分别作C的切线，，两切线交于点P，求点P的轨迹方程．
42．已知椭圆C：的离心率为，且经过，经过定点斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
43．已知椭圆C：的长轴长为，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P为椭圆C外一点，且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
44．已知拋物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点和点的中点分别为.
(1)若直线的斜率为2，求直线的方程；
(2)求线段的中点的轨迹方程.
45．已知分别为双曲线的左、右顶点，点是直线上的动点，延长分别与交于点．
(1)若点的纵坐标为，求的坐标；
(2)若在直线上且满足，求的轨迹方程．