新高考数学一轮复习重难专攻（十六）外接球与内切球问题（九类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习重难专攻（十六）外接球与内切球问题（九类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版），共11页。

重难点题型1 长方体（或能补成长方体）的外接球
1．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知三棱锥中，，，则其外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高一下·贵州毕节·周测）如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，与平面所成角的大小为，且，则四棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·吉林·高一校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为 ．
5．（2023·天津静海·高一校考期中）在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为 ．
6．（2023·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是 ．
重难点题型2 直棱柱的外接球
1．（24-25高三上·宁夏石嘴山·月考）已知正三棱柱的底面边长为，高为，则该正三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 ．
3．设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·周测）已知直三棱柱中，，，点到直线的距离为，则三棱柱的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（23-24高三上·天津东丽·周测）在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在直三棱柱的侧面展开图中，B，C是线段AD的三等分点，且．若该三棱柱的外接球O的表面积为12π，则 ．
重难点题型3 棱锥（垂直）的外接球
1．（24-25高三上·重庆·模拟预测）已知三棱锥中，平面，，，则此三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，三棱锥中，底面，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A．B．C．D．
3．已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为 .
4．（2024·全国·模拟预测）在正三棱锥中，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知正六棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正六棱锥的体积为 ．
6．已知圆锥的轴截面为正三角形，球与圆锥的底面和侧面都相切.设圆锥的体积､表面积分别为，球的体积､表面积分别为，则 .
重难点题型4 棱锥（切瓜模型）的外接球
1．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）已知三棱锥中，是边长为3的正三角形，，平面平面，则该三棱锥的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·广东广州·月考）已知三棱锥P-ABC中，是边长为2的等边三角形，，，，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
3．在三棱锥中，侧面是等边三角形，平面平面，且，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知三棱锥，是以为斜边的直角三角形，为边长是2的等边三角形，且平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
重难点题型5 二面角模型的外接球
1．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知在三棱锥中，除外其他各棱长均为2，且二面角的大小为.若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．在三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
5．已知菱形中，对角线，将沿着折叠，使得二面角为， ，则三棱锥的外接球的表面积为 .


重难点题型6 棱锥的内切球问题
1．（24-25高三下·广东·开学考试）已知正四棱锥的底面边长为，若半径为1的球与该正四棱锥的各面均相切，则正四棱锥的体积为（ ）
A．B．12C．D．36
2．已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·湖北武汉·高二校联考）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江西新余·模拟预测）“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球）.如图：已知粽子三棱锥中，，、、分别为所在棱中点，、分别为所在棱靠近端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面或平面切开后，截面中均恰好看不见肉馅.则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.

A．B．C．D．
5．（2025·四川绵阳·模拟预测）四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（ ）
A．0B．C．D．
6．正四面体的棱长为，如图甲，，，分别是，，上的点，平面底面，半径为的球在三棱台内部且与底面和平面都相切，记三棱锥的体积为.如图乙，将正四面体倒置后，，，分别是，，上的点，且平面底面，此时球内切于三棱锥，记三棱台的体积为，若三棱锥的体积，则球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
重难点题型7 圆柱与圆锥的内切球问题
1．（24-25高三上·山西·模拟预测）已知圆柱的底面半径为1，高为2，该圆柱的上下底面圆周上的点均在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·江苏淮安·开学考试）球是圆锥的内切球，若球的半径为，则圆锥体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的体积与其内切球的体积比为定值. 现在让我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·贵州贵阳·高二校考）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
重难点题型8 棱台与圆台的外接球与内切球问题
1．（24-25高三上·湖南永州·模拟预测）正三棱台的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的高为（ ）
A．3B．4C．5D．6
2．（2023·湖北咸宁·高二统考期末）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（ ）

A．B．C．2D．
3．（2023·安徽宣城·高二校联考开学考试）如图，正四棱台的上､下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三下·浙江·月考）正四棱台侧棱长为，上下底面边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则正四棱台的外接球表面积是（ ）
A．B．C．D．
5．已知一圆台上底半径为1（下底半径大于上底半径），母线与底面所成角的余弦值为，若此圆台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此圆台的表面积是（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三下·重庆北碚·月考）正六棱台的上、下底面的边长分别是2和6，且正六棱台存在内切球（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三上·江苏扬州·期末）某圆台的上下底面半径分别为1和2，若它的外接球表面积为，则该圆台的高为 .
重难点题型9 多球问题
1．（24-25高三上·山西运城·期末）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为2的小球后，再放入一个球，则球的表面积与容器表面积之比的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江西赣州·高一江西省龙南中学校考期末）已知正四面体的棱长为12，先在正四面体内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及正四面体的三个侧面都相切，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·山东德州·高一德州市第一中学校考期末）如图是某零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球和正四面体三个面均相切，若，则该模型中一个小球的体积为（ ）

A．B．C．D．
序号
题型
重难点题型1
长方体（或能补成长方体）的外接球
重难点题型2
直棱柱的外接球
重难点题型3
棱锥（垂直）的外接球
重难点题型4
棱锥(切瓜模型)的外接球
重难点题型5
二面角模型的外接球
重难点题型6
棱锥的内切球问题
重难点题型7
圆柱与圆锥的内切球问题
重难点题型8
棱台与圆台的外接球与内切球问题
重难点题型9
多球问题
1、墙角模型
找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出

【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑
对棱相等：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线
【解题方法】1.若三棱锥的对棱两两相等，则每条对棱为长方体的面对角线，如图，则外接球直径公式为（其中为三组对棱的长度）
直棱柱的外接球：
1、补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同
2、作图：构造直角三角形，利用勾股定理
勾股定理：，则
1、侧棱垂直地面的棱锥的外接球
如图，平面，求外接球半径．
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径： = 1 \* GB3 ①；
= 2 \* GB3 ②．
2、正棱锥的外接球
第一步：取底面的外心，则三点共线；
第二步：先算出圆的半径（利用正弦定理），再算出锥体的高；
第三步：在利用勾股定理：，解出.
对于平面⊥平面，（为小圆直径）、
第一步：由图知球心必为的外心，即在大圆面上，先求小圆面直径的长；
第二步：在中，可根据正弦定理，解出

两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠
第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；
第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；
第三步：解，算出，在中，勾股定理：．
注：易知四点共面且四点共圆，证略．
三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径（最优法）
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
8
球内接圆台，棱台：，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．
基本规律：正棱台外接球，以棱轴截面为主