新高考数学一轮复习重难专攻（二十二）抛物线与阿基米德三角形（五类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习重难专攻（二十二）抛物线与阿基米德三角形（五类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了在抛物线上，且满足.等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 定点问题
1．（2025·云南昭通·模拟预测）过抛物线上的点的直线，分别交抛物线于点，．设直线，的斜率分别为，，，当且点，关于轴对称时，的面积为16．
(1)求抛物线的方程；
(2)当时，证明：直线过定点．
2．（2025·宁夏银川·三模）已知抛物线与双曲线的渐近线在第一､四象限的交点分别为P，，且.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相交于两点，关于轴的对称点为.
（i）若，求直线的方程.
（ii）证明：直线必过定点.
3．（2025·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知点（异于点）在抛物线上，且满足.
(1)证明：直线过定点；
(2)若，分别以为直径作与，过点的直线与分别交于点，求的最大值；
(3)在（2）的条件下，设是抛物线上的三个点，直线均与相切，判断直线与的位置关系，并说明理由.
4．（2025·贵州黔东南·三模）已知抛物线的焦点为F，且为E上三个不同的点，．
(1)求抛物线E的方程；
(2)若直线的斜率之积为，证明：直线过定点；
(3)若直线的斜率之和为0，且，求面积的最大值．
重难点题型2 切线问题
1．（2025·山西·三模）已知过点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，两条切线交于点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·河南周口·二模）已知抛物线，O为坐标原点，点A在直线上，过点A作E的两条切线，切点分别为P，Q，若AP，AQ分别交x轴于B，C两点，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·河北邢台·二模）设，，，为抛物线上不同的四点，点，关于该抛物线的对称轴对称，平行于该抛物线在点处的切线，设点到直线和直线的距离分别为，，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·河南·模拟预测）已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为 ．
5．（2024·浙江台州·一模）抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．过抛物线：上的点（不为原点）作的切线，过坐标原点作，垂足为，直线（为抛物线的焦点）与直线交于点，点，则的取值范围是 ．
重难点题型3 面积问题
1．（2024·四川绵阳·三模）如图，过点的直线交抛物线C：于A，B两点，点A在M，B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，的面积为（ ）
A．1B．C．D．2
2．（2025·陕西汉中·模拟预测）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，是直线与轴的交点，是上一点，过点作于点，与交于点．若为的重心，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知圆E：与抛物线C：交于A，B两点，且直线AB过C的焦点F，点K与点F关于原点对称，M为C上一点，当为等腰三角形时，面积的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．
4．（2025·河北·模拟预测）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限）且（为坐标原点），则当时，的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·河北保定·二模）已知抛物线的焦点为上的点到轴的距离为1，动点在上，动点在圆上，当取最小值时，的面积为 .
6．（2025·湖南·二模）已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为 .
重难点题型4 外接圆问题
1．（23-24高三下·重庆渝中·阶段练习）已知动点在抛物线上，点，为坐标原点，若，且直线与的外接圆相切，则（ ）
A．B．或C．或D．2或
2．（2024·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，是抛物线上的点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆面积为，则（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三上·广东湛江·期末）抛物线的焦点为F，M是抛物线上的点，为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为，则（ ）
A．4B．8C．6D．10
4．（2023·江西南昌·二模）已知F为抛物线C：的焦点，都是抛物线上的点，O为坐标原点，若的外接圆与抛物线的准线相切，且该圆的面积为 ，点，则的最小值为 ．
5．（2024高三下·全国·专题练习）已知点在抛物线C：上，点P，Q是抛物线C上的两个动点（均不与A重合），直线AP，AQ的斜率分别为，，且．
(1)求直线PQ的斜率；
(2)设的外接圆为圆G，过点A作抛物线C的切线l，试判断直线l与圆G的位置关系，并说明理由．
6．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）已知F为抛物线的焦点，点M在抛物线C上，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为.
(1)求抛物线C的方程；
(2)设，B是抛物线C上异于A的一点，直线AB与直线交于点P，过点P作x轴的垂线交抛物线C于点N，求点F到直线的距离的取值范围.
7．已知抛物线，，斜率为正数的直线l交抛物线于P，Q两点（在轴的上方、），与线段OF和y轴分别交于A，B两点且满足，的外接圆与抛物线交于点R（不同于O，P，Q）.
（1）求四边形FPOR面积的最大值；
（2）求的取值范围.
重难点题型5 最值问题
1．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由伟大的古希腊数学家阿基米德提出，有着很多重要的应用，如在化学中作为一种稳定的几何构型，在平面设计中用于装饰灯等.在圆倠曲线中，称圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，顶点为，斜率为的直线过点且与抛物线交于两点，若为阿基米德三角形，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知抛物线C：的焦点为F，过点F分别作两条直线，，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（ ）
A．16B．20C．24D．32
3．（2024·广东广州·一模）已知曲线是平面内到定点与到定直线的距离之和等于的点的轨迹，若点在上，对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为 .
4．（2022·山西·一模）已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上任意一点，过作的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点Q.抛物线上有一点M，它在x轴上的射影为点H，则的最小值是 .
5．（2024·全国·模拟预测）已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是 ．（把所有正确结论的编号都填上）
①；
②若，则直线MN恒过定点；
③若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为；
④若，则直线MN的斜率为．
6．（2025·甘肃白银·二模）已知抛物线的焦点为F，点是C上一点，且，记O为坐标原点，过点F的直线与C相交于A，B两点．
(1)求抛物线C的方程与准线l的方程；
(2)求的最小值；
(3)已知P，M分别是抛物线C与准线l上的动点，若C在点P处的切线交y轴于点Q，且，试判断点N是否在定直线上，若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由．
7．（2025·陕西榆林·模拟预测）已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间.
（i）证明：线段垂直于轴；
（ii）记的面积为的面积为，求的取值范围.