新高考数学一轮复习题型分类讲练6.5 外接球与内切球（精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型分类讲练6.5 外接球与内切球（精讲）（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了汉堡模型，斗笠模型，切瓜模型，怀表模型，矩形模型，折叠模型，台体的外接球，向量法求外接球等内容，欢迎下载使用。

考向一 汉堡模型
【例1-1】．（2025·河南·二模）棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，因为正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，
设的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为，
可得，则，
所以正三棱柱外接球的体积为.
故选：D
【例1-2】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，若鳖臑的体积为2，则阳马外接球的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设阳马外接球的半径为，
由题意有：，
又平面，四边形为正方形，所以，
所以，
所以阳马外接球的表面积为：，
故选：B.
【一隅三反】
1．（2025·贵州毕节·模拟预测）三棱锥中，底面，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】作出图形示意图如下：设外接圆的圆心为，
因为，
所以的外接圆的半径为，
设三棱锥的外接球的球心为，
又因为底面，
所以三棱锥的外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
2．（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥的四个顶点均在球的表面上，且，，，．若点到底面的距离为1，则球的表面积为
【答案】
【解析】因为平面，所以底面，
因为点到底面的距离为1．所以．
因为平面，
所以平面，而平面，故，，
即该球的直径为
所以球的半径为．
故选：B
3．（2025·山西吕梁·三模）已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2倍，则球的体积与圆柱的体积的比值是 ．
【答案】
【解析】设球的半径为，圆柱底面的半径为，圆柱的母线长为，则球的表面积为，圆柱的表面积为，
所以，得①，
又圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，所以②，
由①②解得，所以球的体积为，
圆柱的体积为，所以.
故答案为：.
4．（2025·四川成都·模拟预测）在三棱锥中， ， ， ，则三棱锥外接球的表面积为
【答案】
【解析】如图，作平面于点，连接，
平面，平面，所以，
因为平面，所以平面，
平面，所以，同理得，
四边形为矩形，，则，
在中，,
由余弦定理得，
即，解得，
设三棱锥外接球的半径为，则三棱锥外接球即为四棱锥外接球,即为以为棱长的长方体的外接球，故由得，解得，所以球的表面积为，故答案为：
考向二 墙角模型
【例2-1】（2025·上海黄浦·三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑中，，平面，当该鳖臑的外接球的表面积为时，则该鳖臑的体积为 ．
【答案】
【解析】
如图，根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，
则三棱锥 的外接球即为长方体的外接球，
设三棱锥 的外接球的半径为，
三棱锥 的外接球的表面积为，，，
，，解得，
.故答案为：.
【例2-2】（2025·云南·模拟预测）已知棱长都相等的三棱锥所有顶点都在球O的表面上．若三棱锥的所有棱长之和为12，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，正四面体的棱长为，
如图所示，将棱长为的正四面体放入棱长为的正方体中，
则该正方体的外接球与球O是同一个球，则球的半径为，
故球O的表面积为.故选：D
【例2-3】（2025·江西新余·模拟预测）四面体的每一组对棱的长度相等，分别为，，，则该四面体的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】不妨设四面体为，，，，
可将四面体放置在长方体中，如图所示:

设长方体的同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，则，解得，，，
则四面体的体积，
该四面体的外接球即为长方体的外接球，设其半径为R，则，
所以球的表面积为.
故答案为：；.
【一隅三反】
1.（2025山西）长方体的长、宽、高分别为4，3，2，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设球的半径为，由于长方体的体对角线为球的直径，则，所以，
因此，球的表面积为.故选：A
2.（2025北京）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．3C．6D．9
【答案】C
【解析】正三棱锥的外接球即是棱长为的正方体的外接球，所以外接球的直径，所以,外接球的表面积，故选：C
3．（2025河北）已知长方体的体积为，，则当长方体的表面积最小时，该长方体外接球的体积为__________.
【答案】
【解析】设，，因为，由已知条件可得，解得，
所以，长方体的表面积为，
当且仅当时，等号成立，
该长方体的外接球直径为，则，
因此，长方体的外接球的体积为.故答案为：.
4.（2025湖北）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为
【答案】
【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，
所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．
考向三 斗笠模型
【例3-1】（2025·河北唐山·三模）已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设圆锥的母线长为，则，解得，故其高.
取圆锥的轴截面，如下图所示：
由圆锥的几何性质可知，球心在直线上，设该圆锥的外接球的半径为，
由题意可知，，，由勾股定理可得，即，解得，
故其体积.故选：A.
【例3-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥中，，，侧棱长都等于，其中在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】已知，，由余弦定理得：
所以，
由正弦定理，底面的外接圆半径满足，即，故，
由于侧棱长，则顶点在底面上的投影为底面三角形的外心，则，
设，由勾股定理，即，解得：，
则外接球的球心必在过且垂直于底面的直线上，
设到的距离为，则，
，因，故，解得：，
所以球的半径，表面积为.故选：D.
【一隅三反】
1．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为，其外接球体积为，则该圆锥的表面积为（ ）
A．3πB．6πC．9πD．12π
【答案】C
【解析】
圆锥及其外接球的轴截面如图，
该其外接球的半径为，则外接球体积为，则，即，
设圆锥的高为，圆锥的底面圆半径为，则，
由，解得，则此圆锥的表面积为.
2．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知一个正四棱锥的底面边长为2，体积为，若该四棱锥的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于（ ）
A．9πB．4πC．D．3π
【答案】A
【解析】正四棱锥的外接球的球心在它的高上， 由已知得，得，
易知正四棱锥底面外接圆半径，球的半径为，由球的性质得，解得，
所以球O的表面积为.故选：A．
3（2025湖南）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由已知是正三棱锥，设是正棱锥的高，由外接球球心在上，如图，设外接球半径为，又，则，
由得，解得，
所以表面积为．故选：D．
考向四 切瓜模型
【例4】（2025湖南）在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图：
因，则，有平面CDE，
所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心为O2，正△ABC中心为O1，
在平面CDE内分别过O1，O2作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，
由球的截面小圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上，即点O是球心，连OA，O1A，OA即为球O的半径，
因平面平面，则，而，
即有四边形OO1EO2是正方形，则，
中，，则，
所求外接球的表面积.故选：B
【一隅三反】
1.（2025湖南）如图，边长为的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直，，N为AF的中点，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由可知，，，可求，，，
因为平面平面ABEF，平面平面，
又，平面，
所以平面ABEF，平面ABEF，所以，
由，，得，
又，同理可得得，又，
所以，所以.
所以MC为外接球直径，
在Rt△MBC中，即，
故外接球表面积为．
故选：A．
2．（2025山东枣庄）已知三棱锥底面ABC是边长为2的等边三角形，顶点S与AB边中点D的连线SD垂直于底面ABC，且，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为（ ）
A．B．C．12πD．60π
【答案】B
【解析】如图：

设底面正三角形的外心为，三角形的外心为，
分别过、作所在面的垂线相交于，则为三棱锥外接球的球心，
再设底面正三角形外接圆的半径为，则.
由已知求得，可得也为边长是的正三角形，
所以外接圆的半径为，则.
所以三棱锥外接球的半径满足：.
则三棱锥外接球的表面积为.
故选：B.
3．（2025四川）已知三棱锥的底面是正三角形，侧面底面，且，，若该三棱锥的外接球的表面积为，则AB的值为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】设的外接圆的圆心为，连，并延长交与，则为的中点，
设为的中点，因为侧面底面，，平面平面，平面，
所以底面，又底面，所以，所以为三角形的外接圆的圆心，
设该三棱锥的外接球的球心为，连，，则平面，平面，
取的中点，则，因为底面，所以平面，
所以，
因为平面，平面，所以，
因为平面，平面，所以，
所以四边形为矩形，所以，
因为三棱锥的外接球的表面积为，所以，得，
设，则，，
因为，，，所以，
所以，
由，得，得，即.

故选：C.
4．（2025·江西南昌·模拟预测）已知三棱锥，平面平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
设的外接圆圆心分别为，三棱锥外接球球心为，
过作平面的垂线，过作平面的垂线，两垂线的交点即为三棱锥外接球的球心.
取中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以，同理，，
因为平面，所以，故四边形为矩形.
因为的外接圆半径，即，
所以.
因为的外接圆半径，即，
所以，即球的半径，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故选：B.
考向五 怀表模型
【例5】（2025·广东省高三）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．7πB．8πC．D．
【答案】D
【解析】如图，取BD中点H，连接AH，CH
因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形
所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°
设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F
则由AH＝2可得AEAH，EHAH
分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点
记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°
所以OE＝1，则R＝OA
则三棱锥外接球的表面积
故选：D
【一隅三反】
1．（2025·南昌）如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A．πB．πC．πD．3π
【答案】A
【解析】取线段BC的中点D，连结AD，SD，
由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，
由题意得BC⊥平面ADS，
分别取AD，SD的三等分点E，F，
在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，
两条直线的交点即球心O，
连结OA，则球O半径R＝|OA|，
由题意知BD，AD，DE，AE，
连结OD，在Rt△ODE中，，OEDE，
∴OA2＝OE2+AE2，
∴球O的表面积为S＝4πR2．
故选：A．
2．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心，
取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.

由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则.
因为，所以，
所以，.
设外接球的半径为，则，，
又，，
所以，解得.
故正三棱锥外接球的表面积.
故选：C.
3．（2025湖南）已知菱形的边长为4，对角线，将沿着折叠，使得二面角为，则三棱锥的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】如图所示：
将沿折起后，取中点为，连接，，则，，
所以即为二面角的平面角，所以；
与是边长为4的等边三角形.
分别记三角形与的重心为、，
则，；即；
因为与都是边长为4的等边三角形，
所以点是的外心，点是的外心；
记该几何体的外接球球心为，连接，，
根据球的性质，可得平面，平面，
所以与都是直角三角形，且为公共边，
所以与全等，因此，
所以；
因为，，，且平面，平面，
所以平面；
又平面，所以，连接，则外接球半径，
所以外接球表面积为.故答案为：.
考向六 矩形模型
【例6】（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角的大小为，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】翻折后所得图形如下图所示，易知BD的中点O为球心，
故该四面体的外接球体积，
又，平面AOC，，
所以平面AOC，
二面角的大小为，，
,
故所求体积之比为，故选：D．
【一隅三反】
1．（2025·安徽）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，
所以，
可得，所以，
即为外接球的球心，球的半径 所以四面体的外接球的表面积为：
.故选：B
2．（2025福建）四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
由已知可得与为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为的中点O，
因为,且,所以,
所以,
所以四面体的外接球半径,则表面积.故答案选：C
3．（2025海南）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖臑”.如图所示的鳖臑中，面，，若，，且顶点均在球上，则球的表面积为______.
【答案】
【解析】由题意可知：球为鳖臑的外接球，
面，面，，，
又，面，，面，
又面，；
取中点，连接，
，，同理可知：，
点与球的球心重合，球的半径，
球的表面积.故答案为：.
考向七 折叠模型
【例7】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知二面角的大小为，且，，，点、、、在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为，则为外接圆的一条直径，
在外接圆上取一点，使得，则，
且三棱锥和的外接球是同一个球，
取线段的中点，连接、，如下图所示：
因为，，则，，
由二面角的定义可知，二面角的平面角为，
因为，则，且，
所以，的外接圆半径为，
设的外心为，过点在平面内作，
过点在平面内作平面，设，
因为，，，、平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，、平面，所以平面，
同理可证平面，故为三棱锥外接球的球心，如下图所示：
由题意得，，，
所以，，
所以，球的半径为，
因此，球的表面积为，
故选：A.
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥的底面边长为6，二面角的余弦值为，则正三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示，正三棱锥，作平面于点，则为正三角形的中心，
取的中点，连接，设外接球心为，则在上，连接.

由已知的边长为6，由于，即二面角的平面角，则.
因为，所以，
所以，.
设外接球的半径为，则，，
又，，
所以，解得.
故正三棱锥外接球的表面积.
故选：C.
2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形中，，是边长为3的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为的二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接，

设为正的外心，则点在上，且．
设为四面体的外接球球心，则平面．
，则为的外心，平面．
二面角的大小为，则直线与平面成角，．
是边长为3的正三角形，则，．
在中，．
在中，，则，
四面体的外接球半径，.
故选：B．
3．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥中，，若三棱锥的外接球表面积为，则二面角的大小为（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】A
【解析】设外接圆圆心分别为，外接圆半径为，三棱锥外接球半径为，
过分别作平面，平面的垂线，交点即为三棱锥的外接球心，
，，即，
所以在中点处，，
，，
，且在垂直平分线上，
所以，
三棱锥的外接球表面积为，
，，
又平面，平面，所以，
则，所以，
又平面，平面，所以，
又，所以共面，
所以就是二面角的平面角，
或.
故选：A.
考向八 台体的外接球
【例8-1】（2025·河南·模拟预测）已知圆台的高为3，上､下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】作出圆台及外接球的轴截面图，如图.
易得球心在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为，
则球心到下底面圆的距离为，由勾股定理得，解得，
则外接球的半径，表面积为.
故选：A.
【例8-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正四棱台，，，侧棱与底面所成的角为，则此正四棱台外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知，正四棱台的高为，
其外接球的球心O在正四棱台的高上，如图所示.
不妨设O距离下底面距离为x，则，解得，即正四棱台下底面中心即为球心，
则外接球的直径为，表面积为，故选:C.
【一隅三反】
1．（2025·重庆·三模）正三棱台上、下底面的边长分别为 3、6、侧棱长为 ，则其外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设正三棱台上、下底面的中心分别为的中点分别为，
连接，由正三棱台的性质可知 ，

易知正三棱台外接球的球心在直线上，设球心为，如图所示，
过作于，
因为正三棱台上、下底面边长分别为3、6，所以，，
因为分别为、的中心，所以，
根据梯形的性质结合勾股定理得出，
，两边平方整理得，则由勾股定理得出，
设，则，两边平方整理得，
则其外接球的表面积为.故选：C
2．（2025·安徽·模拟预测）在高为的正四棱台中，，，则此四棱台的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，正四棱台中，、分别是上、下底面对角线交点，即上、下底面中心，是正四棱台的高，．
，，
由对称性外接球球心在直线上，设球半径为，连接，，，
若在线段上（如图），由得，
因为，，所以方程无实数解；
因此在的延长线上（如图），即在平面下方，
因此有，解得，所以球表面积为．故选：D．
3．（2025·江苏南通·三模）已知正四棱台上底面边长为，下底面边长为，高为3，则该四棱台外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】上底正方形外接圆圆心，半径，下底正方形外接圆圆心，半径，
设球心O半径R，
，，
该四棱台外接球的表面积.
故答案为：.
考向九 向量法求外接球
【例9】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）
A．52πB．39πC．26πD．13π
【答案】A
【解析】令是三棱锥P-ABC外接球的球心，是在平面上的射影.，分别为的中点，则∥.
∵，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，∴平面
∵是等边三角形，∴，是的重心.
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.
∵，，则，
∴，.
设，由,得，
化简得解得.
∴三棱锥外接球的表面积为.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥中，底面ABC，，，，点D满足，三棱锥的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球O的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，因为在三棱锥中，底面ABC，，所以将其补为一个长方体（长为4，宽为3，高为h），三棱锥与该长方体共外接球，球心O为长方体体对角线中点，设外接球半径为R，
以A为坐标原点，AB、AC、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
，
，
，
过D作求O的截面，最大截面为：过球心O，半径为R，面积为，
最小截面为：与OD垂直，半径为，面积为.
因为过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，
所以，解得，
则，外接球表面积为：.
故选：D
2．（24-25高三下·山西·期中）（多选）已知正方体的棱长为2，E是的中点，点F是面上的动点（包括边界），且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A．动点F的轨迹的长度为
B．三棱锥体积的取值范围为
C．当三棱锥体积取最大值时，其外接球的表面积为
D．当三棱锥体积取最小值时，其外接球的表面积为
【答案】BCD
【解析】对于A，取的中点，连接，
所以，又易证，所以，
又平面，平面，所以平面，
又因为为棱的中点，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，，
又，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，所以平面平面，
又为正方形内一个动点（包括边界），且平面，
所以为的轨迹，又，所以动点的轨迹的长度为，故A错误；
对于B，，其中为到的距离，
所以最小时，最小，显然在点处时，最小，
此时，
最大时，最大，显然在点处时，最大，
此时，故B正确；
对于C，如图，当三棱锥体积最大时，在处，
如图建立空间直角坐标系，设球心为，外接球的半径为，
易知，
所以①，②，
③，④，
联立①②③④解得，，所以，
故外接球的表面积为，所以选项C正确；

对于D，因为是直角三角形，
所以外接球的球心在过中点且与平面垂直的直线上，
设外接球的球心为，由，可得，
所以，解得，
解得，所以外接球的表面积为，故D正确.

故选：BCD
3．（2025·湖北·模拟预测）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，与底面所成的角分别为和，已知，当四棱锥体积最小时，其外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】如图，以A为原点，以AB、AD所在直线为x轴，y轴空间直角坐标系，
则，
设，P在平面的投影为，
因为PA与底面的夹角，所以，
PC与底面的夹角，
所以，
由，
即，
所以点P在底面的投影P'的轨迹是一个圆，圆心在，半径，
因为，
当四棱锥体积最小时，此时最小，
表示圆的点到原点距离，
而，所以原点在圆内，
所以圆上的点到原点的最小距离为半径减去原点到圆心的距离，
所以的最小值为，
所以，
所以当四棱锥体积最小时，P的坐标为，
因为正方形的外接圆的圆心即为交点O，半径为，
所以四棱锥外接球的球心为，则球心到A和P的距离相等，
则，
解得，所以球心为，半径为，
所以外接球的表面积公式为：,故答案为:
考向十 内切球
【例10-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图所示，作圆锥轴截面及其内切圆，与三角形切于两点，
设圆锥底面半径为，内切球半径为，则，由勾股定理易知，
所以在中，，
由三角形内切圆可得，可得，即，化简得，
圆锥表面积为，内切球表面积，
则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比，
故选：B.
【例10-2】（2025·江苏南通·模拟预测）若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，
所以正三棱柱的高，底面正三角形的内切圆半径为1，
则底面正三角形的外接圆半径，
所以该正三棱柱外接球半径为，
所以外接球的表面积为．
故选：D．
【例10-3】（2025·吉林·模拟预测）一圆台的上底面半径为，下底面直径为，母线长为，则内切于该圆台的球体体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设圆台的上、下底面的半径分别为，由题知，
又母线长为，则圆台的高为，
若球与圆台的下底面和侧面相切，
设球的半径为，球心为，圆台的上、下底面的中心分别为，
与圆台侧面的一个切点为，过球心的轴截面如图所示，
连接，易知，则，又，
由，得到，解得，
又，所以球与圆台的上、下底面相切，与侧面不相切，
所以，球的体积为，

故选：B.
【一隅三反】
1．（2025·内蒙古赤峰·三模）若一个正方体内切球的表面积为，则这个正方体的体积为 .
【答案】
【解析】一个正方体内切球的表面积为，假设内切球半径为，
则，所以可得正方体的边长为，
即正方体的体积为，
故答案为：.
2．（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．16
【答案】C
【解析】因为内切球的体积为，所以内切球的半径为1.
如图所示，设球与正四棱锥底面切于点，侧面切于点，设，延长交底面于点.
因为正四棱锥的底面边长为，
所以.
又，所以，即，解得.
所以，所以正四棱锥的体积为.
故选：C.
3．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A．48πB．36πC．24πD．12π
【答案】A
【解析】
因为内切球和外接球球心重合，如图可以得到
所以外接球半径，
∵，∴
因此圆锥外接球的表面积为48π.
故选：A.
4．（24-25高三下·陕西西安·阶段练习）正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图作出正四棱台的轴截面图，可知这个等腰梯形的内切圆就是内切球的最大圆，
根据，设球的半径为，则由直角三角形中的勾股定理得：
，
利用等面积法：，
可得：，
解得：，
再由棱台体积公式得：，
由球的体积公式得：，
所以正四棱台与球的体积之比是：，
故选：B.
考向十一 有关球的最值
【例11-1】（2025·四川达州·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图：
为圆锥的轴截面，其中，，且点M为BC边上的中点，设内切圆的圆心为O.
由于，故.
设内切圆半径为r，则
，
解得，其体积.
故选：D
【例11-2】（2025·福建漳州·模拟预测）一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与相切，
设圆的半径为，则，
由，所以，所以，
作，由，
所以，又，所以，
又，，
所以，
即，
所以球的表面积的最大值为，
故选：C.
【例10-3】（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为 .
【答案】
【解析】设外接圆的圆心为，半径为.
由正弦定理，在正中，，，则.
因为，所以，即，解得.
已知球的半径，球心到平面的距离，外接圆的半径，根据勾股定理，可得.
当点，球心，共线且与在平面同侧时，点到平面的距离最大，最大距离.
根据正三角形面积公式，可得.
根据三棱锥体积公式，可得.
故答案为：.

【一隅三反】
1．（2025·四川巴中·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长为，则该正四棱台内半径最大的球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
在正四棱台中，上、下底面边长分别为3，9，侧棱长为，
设分别是下、上底面中心，分别是的中点，
在侧面中，，则，
因为正棱台的内切球半径即为截面的内切圆半径，
在截面中，，
则，
若球心在中点处，即梯形高的中点处，
以下底面中心为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，
则直线的方程为，
故点到直线的距离，即直线与圆相离.
结合图形可知，当球心在中点处，球半径时，正四棱台的内切球半径最大.
即该正四棱台内半径最大的球的体积，
故选：B.
2．（2025·重庆·三模）棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，
设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为，
由正四面体结构特征可知G为的中心，面，
设E为中点，球O和球分别与面相切于F和.
易得，，，
由可得，
又，，
故，，，
又由和相似，可得，即，解得，
即空隙处的最大球的半径为.
所以空隙处的最大球的体积为为.
故选：D
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .

【答案】
【解析】如图所示，设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为，高为，的中点为，
连接，
则，，
∵，
∴，
∴，
设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，
且小正四面体的高，
∴，
∴小球的体积为：，
故答案为：.