新高考数学一轮复习题型分类讲练6.5 外接球与内切球（精练）（试卷版）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习题型分类讲练6.5 外接球与内切球（精练）（试卷版）（2份，原卷版+解析版），共3页。
1．（2025高三·全国·专题练习）如图是一个直径为12cm的球形容器和一个底面直径为6cm、深8cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ）
A．3杯B．4杯C．5杯D．6杯
2．（2025·天津武清·模拟预测）如图，在四面体PABC中，D，E分别为PC，AB的中点，且，，，则该四面体的外接球体积为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖南长沙·二模）球面上有三点，若，且球心到所在平面的距离等于球的半径的一半，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·福建泉州·模拟预测）四棱锥中，，，，，，若、、、、均在同一球面上，则该球的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2025高三·全国·专题练习）已知四面体的各顶点均在同一球面上，该球的表面积为，若是边长为3的正三角形，，则该四面体的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·辽宁·模拟预测）现将一个表面积为的实心铜球熔铸成一个圆锥形状的实心铜锭（熔铸过程中不计损耗），若圆锥形状的实心铜锭的底面半径为8cm，则该铜锭的高为（ ）
A．B．C．3cmD．4cm
7．（2025·江西·模拟预测）已知正三棱锥的侧面均为直角三角形，且其各个顶点均在球的表面上，若该三棱锥的体积与球的表面积在数值上相等，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
8．（2025·陕西咸阳·模拟预测）中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形为矩形，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（）
A．B．C．D．
多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，不分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（2026湖北）下列说法正确的有（ ）
A．若球O的体积为，则球O表面积也为36π
B．若球O的半径变为原来的3倍，则球O体积变为原来的9倍
C．若圆台上下底面半径分别为1和3，且球O为圆台的内切球，则球O的半径为
D．棱长为a的正方体的外接球半径为
10（2025上海）．已知球的半径为，则（ ）
A．球的内接正方体的内切球表面积为
B．球的内接正方体的内切球体积为
C．球的内接正四面体的内切球半径为
D．球的内接正四面体的内切球半径为
11．（24-25 山东济宁·阶段练习）已知正方体的边长为2，体对角线的中点为．（ ）
A．若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的最大值是
B．若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的半径的最小值是
C．若该正方体的棱与球的球面有公共点，则球的体积的最大值是
D．若该正方体的面与球的球面没有公共点，则球的表面积范围是
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知正四棱锥的体积为，若这5个顶点均在球的球面上，则球体积的最小值为 .
13．（2025高三·全国·专题练习）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，若，则该四棱锥的内切球的体积为 ．
14．（24-25四川成都·期末）如图1，在平面四边形中，是边长为2的等边三角形，，将沿翻折，使得点到点的位置，如图2所示．若平面平面，三棱锥的外接球的表面积为 ．若二面角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为 ．
解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（2025·全国一卷·高考真题）如图所示的四棱锥中，平面，．
(1)证明：平面平面；
(2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为．
（i）证明：在平面上；
（ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．
16．（24-25安徽黄山·期末）如图，在四棱锥中，平面，，，，，为中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的外接球的体积；
(3)线段上（不含端点）是否存在点，使得与平面所成角为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
17．（2025·湖南邵阳·三模）如图，圆台的下底面的内接正方形的边长为4，是上底面圆周上的一点，且满足，．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的外接球的表面积；
(3)是的中点，是上底面圆周上的一点，求异面直线与所成角的余弦值的最大值．
18．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正方体的棱长为2．

(1)证明：平面；
(2)动点满足，且点，，，在同一球面上．设该球面的球心为，半径为．
①求的取值范围；
②当最大时，求二面角的余弦值．
19．（23-24 广东广州·期末）如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2．

(1)当为何值时，平面平面?
(2)设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径．