新高考数学一轮复习重难专攻（十一）三角形中的范围与最值问题（十三类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习重难专攻（十一）三角形中的范围与最值问题（十三类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了三角形面积最值与范围等内容，欢迎下载使用。

重难点题型一 三角函数值的最值与范围
1．（24-25高三上·湖北·开学考试）如图，边长为2的正方形ABCD中，P，Q分别为边BC，CD上的点，，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．
2．（2023·四川·模拟预测）已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数满足：对，有，若存在唯一的值，使得在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
重难点题型二 基础题型：转化为角的范围问题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角、、的对边分别为、、，且．
(1)判断的形状并给出证明；
(2)若，求的取值范围．
2．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知.
(1)若，求角A的大小；
(2)求的取值范围.
3．（2025·江苏·模拟预测）在中，内角、、的对边分别为、、，且.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围.
4．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，，求的取值范围.
重难点题型三 三角形面积最值与范围
1．（2025·江西萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（ ）
A．3B．C．D．
2．（24-25高三下·广东·开学考试）设的内角的对边分别为，且，为的平分线且与BC交于点D，，则面积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·江苏盐城·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·四川宜宾·月考）在锐角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的取值范围．
5．（2025·安徽马鞍山·二模）在中，点、分别为边、的中点，且，，则面积的最大值为 .
6．（2025·福建泉州·模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求的面积与周长的比值的最大值..
7．（2025·湖北·模拟预测）中，角，，所对的边分别为，，，满足．
(1)求的大小；
(2)点为直线上一点，，且，求面积的最小值．
重难点题型四 三角形边长及周长的最值与范围
1．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角的对边分别为，且，若的面积等于，则的周长的最小值为 ．
2．（2024·全国·二模）在中，角A，B，C的对边分别为的平分线AD交BC于点.若，则周长的最小值为 .
3．（2023·全国·高三专题练习）在①；②；③；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在锐角中，内角、、，的对边分别是、、，且______
(1)求角的大小；
(2)若，求周长的范围．
4．（24-25高三上·辽宁·期末）在中，已知.
(1)求；
(2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围.
5．（24-25高三下·福建·月考）已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．
(1)求A的值．
(2)若，求周长的取值范围．
6．（23-24高一下·安徽·阶段练习）锐角中，角所对的边分别为且．
(1)证明:;
(2)求的周长的取值范围．
重难点题型五 三角形中线的最值与范围
1．（2025高三·全国·专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则边上中线长度的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·江苏南通·模拟预测）在中，已知，，D为BC的中点，则线段AD长度的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
3．（24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，点为的中点，则中线的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三上·广东·八校联测）在中，内角的对边分别是，，．
(1)求角；
(2)若，求边上的角平分线长；
(3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围．
5．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角C的大小；
(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围．
6．（2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若边上的中线长为，求的最大值.
重难点题型六 三角形角平分线的最值与范围
1．（22-23高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（ ）
A．12B．24C．27D．36
2．（23-24高三上·重庆沙坪坝·月考）如图，在锐角中，，点为外角平分线上一点，且平分，则的取值范围是 ．
3．（24-25高三上·江西·开学考试）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC上一点，且AD平分，，求AD的最大值．
4．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．
(1)求证：；
(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．
5．（2025·湖北宜昌·二模）如图所示，在中，，AD平分，且.

(1)若，求的长度；
(2)求的取值范围；
(3)若，求为何值时，最短.
重难点题型七 三角形“四心”问题
1．（2023·四川凉山·校联考一模）设（是坐标原点）的重心、内心分别是，且，若，则的最小值是__________．
2．（2023·全国·高三专题练习）已知是三角形的外心，若，且，则实数的最大值为（ ）
A．6B．C．D．3
3．（2024高三·全国·专题练习）在中，为内的一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若为的重心，则B．若为的外心，则
C．若为的垂心，则D．若为的内心，则
4．（2023·广东佛山·一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（ ）
A．垂心B．内心C．重心D．外心
5．（24-25高一上·河北保定·期中）（多选题）已知点是内的一点，则以下说法正确的有（ ）
A．若，，分别表示，的面积，则
B．若，则动点的轨迹一定通过的重心
C．若，则点是的垂心
D．若，，分别为，，的中点，且，，则的最大值为
6．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）（多选题）下列四个命题为真命题的是（ ）．
A．已知向量，，则的最大值为
B．若向量，，则在上的投影向量为
C．若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
D．若，则动点的轨迹一定通过的重心
7．（2023·河北邢台·高一统考期末）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且外接圆的半径为．
(1)求C的大小；
(2)若G是的重心，求面积的最大值．
重难点题型八 “隐圆”问题
1．（2023·江苏泰州·高三阶段练习）已知中，，为的重心，且满足，则的面积的最大值为______.
2．（2023·全国·高三专题练习）在平面四边形ABCD中，， ，．若， 则的最小值为____．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）在中，，点D是上的点，平分，的面积是的面积的3倍，当的面积最大时， .
4．（2024·全国·模拟预测）已知：在中，M，N，P三点分别在边上，则，，的外接圆交于一点O，称为密克点．在梯形中，，，为边的中点，动点在边上，与的外接圆交于点（异于点），则的最小值为 ．

重难点题型九 与正切有关的最值问题
1．（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形中，角､､的对边分别为､､，且满足，则的取值范围为___________.
2．（2025·四川成都·三模）在中，，的角平分线AD交BC于点D，若，则（ ）
A．B．C．1D．
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形 ABC 中，已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·云南·二模）中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，B是与的等差中项.
(1)若，判断的形状;
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
重难点题型十 最大角问题
1．（2023·江西上饶·高三上饶中学校考期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，当tan(A－B)取最大值时，角C的值为
A．B．C．D．
2．（2025·湖北武汉·模拟预测）在中，，点D是上的点，平分，的面积是的面积的3倍，当的面积最大时， .
3．（2025·内蒙古包头·二模）在中，角所对的边分别为，若，则的最大值为 ．
4．（2025·内蒙古包头·二模）在中，角所对的边分别为，若，则的最大值为 ．
重难点题型十一 三角形中的平方问题
1．（2025·辽宁·二模）已知锐角，角、、所对的边分别为、、，且，．
(1)求；
(2)求的取值范围．
2．（23-24高三下·辽宁锦州·开学考试）若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．
(1)求角的大小；
(2)求的取值范围
3．（2023·全国·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设的面积为S，．
(1)当时，若，求角A；
(2)当时，求的最大值.
4．（23-24高三上·河南·阶段练习）在锐角中，内角的对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为，求的取值范围.
重难点题型十二 费马点、布洛卡点、拿破仑三角形
1．（2023·全国·高三专题练习）点在所在平面内一点，当取到最小值时，则称该点为的“费马点”.当的三个内角均小于时，费马点满足如下特征：.如图，在中，，，则其费马点到三点的距离之和为（ ）
A．4B．2
C．D．
2．（23-24高三上·河南南阳·期中）已知，，分别为的三个内角的对边，若点在的内部，且满足，则称为的布洛卡（Brcard）点，称为布洛卡角.布洛卡角满足：（注：）.则（ ）
A．B．C．D．
3．（21-22高三上·安徽蚌埠·开学考试）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形．勒洛三角形的特点是：在任何方向上都有相同的宽度，即能在距离等于其圆弧半径（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触．机械加工业上利用这个性质，把钻头的横截面做成勒洛三角形的形状，就能在零件上钻出正方形的孔来．如在勒洛三角形ABC内随机选取一点，则该点位于正三角形ABC内的概率为（ ）
A．B．C．D．
4．（22-23高三上·河南南阳·期末）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知分别是三个内角的对边，且，，若点P为的费马点，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2020高三·全国·专题练习）以正三角形的顶点为圆心，其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，它是具有类似于圆的“等宽性”曲线，由德国机械工程专家、数学家勒洛首先发现.如图，D，E，F为正三角形ABC各边中点，作出正三角形DEF的勒洛三角形DEF（阴影部分），若在中随机取一点，则该点取自于该勒洛三角形部分的概率为（ ）
A．B．C．D．
重难点题型十三 托勒密定理
1．（2023·全国·高三专题练习）托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·四川南充·二模）托勒密是古希腊天文学家､地理学家､数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家．托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理，定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立．已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·全国·高三专题练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（ ）
A．B．C．D．