新高考数学一轮复习重难专攻（十四） 求数列的通项公式（十类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习重难专攻（十四） 求数列的通项公式（十类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了记为等差数列的前项和，已知，已知等差数列满足公差等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 公式法
1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ）
A．B．C．16D．18
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
3．（2025·江苏南通·三模）在等比数列中，，，则（ ）
A．36B．C．D．6
4．（2025·安徽合肥·模拟预测）记为等差数列的前项和，已知，则数列的公差为（ ）
A．-2B．1C．2D．3
5．（2025·广东揭阳·三模）已知正项等比数列满足，，，成等差数列，则其公比为 .
6．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和．
7．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知等差数列满足公差．
(1)求；
(2)记数列的前项和为，若，求数列中的最小项．
8．（2025·上海·模拟预测）已知数列为等差数列，是公比为的等比数列，且
(1)证明:;
(2)若集合，求集合中所有元素的和.
重难点题型2 累加法
9．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列满足，设数列的前项和为，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2025·四川·模拟预测）已知数列中，，（，且），则通项公式（ ）
A．B．
C．D．
11．（2024·贵州六盘水·模拟预测）已知数列的首项，且，则（ ）
A．810B．820C．830D．840
12．（2025·河北张家口·一模）已知数列满足，且，则 .
13．数列满足，且，则数列的前2024项和为 .
14．（2025·山东枣庄·二模）在数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和的最大值.
15．（2025高三上·山东·月考）已知数列为正项数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和.
16．（2024·广东·二模）数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前n项和．
重难点题型3 累乘法
17．（2025·福建厦门·二模）已知数列满足，，则的前6项和为（ ）
A．B．C．D．
18．（2023·河南·模拟预测）已知数列满足，，则（ ）
A．2023B．2024C．4045D．4047
19．（2025·四川德阳·二模）数列中，满足，，则 ．
20．（2024·四川泸州·三模）已知是数列的前项和，，，则 .
21．（2025高三下·江苏南通·月考）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：．
22．（2022·福建南平·三模）已知数列满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若满足，．设为数列的前n项和，求．
23．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．
重难点题型4 已知前n项和，求通项公式
24．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知数列的前项和，则（ ）
A．153B．161C．163D．238
25．（2025·北京丰台·二模）已知数列的前项和为，且满足，则（ ）
A．B．0C．1D．2
26．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 .
27．（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 .
28．（2025·湖南常德·模拟预测）记为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前2025项和.
29．（2025·海南·模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，证明：．
30．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
31．（2024·江西宜春·模拟预测）数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和．
重难点题型5 已知前n项的积，求通项公式
32．（2025·辽宁·一模）设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式.
(1)求及数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项积.
33．已知数列的前项的积记为，且满足.
(1)证明：数列为等差数列；
(2)设，求数列的前项和.
34．（2025·河南·二模）记为正项数列的前项积，且，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)表示不超过的最大整数，如，，设，求数列的前项和.
35．（2025·江西·一模）已知数列满足.
(1)若为递增数列，求的取值范围；
(2)当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积.
36．（2024高三上·湖北·期中）记是各项均为正数的数列的前项积，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)证明：.
重难点题型6 构造法（1）
37．（2025·云南昆明·模拟预测）设为数列的前n项和，当时，，已知，，．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求．
38．已知数列满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为．
①求；
②若，成立，求的取值范围．
39．（2025·河南·二模）已知数列满足，.
(1)求的通项公式；
(2)记的前项和为，求证：.
40．（2024高三下·四川成都·月考）已知数列的前项和为，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)已知，求数列的前项和．
41．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列满足，.
(1)设，求的值，使得对于任意且，都有；
(2)求证；.
重难点题型7 构造法（2）
42．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，为数列的前项和．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
43．（2023·全国·模拟预测）记为数列的前n项和，已知是公差为1的等差数列.
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，是数列的最大项，求正整数k的值.
44．（2024高三上·浙江·开学考试）在数列中，，的前项为．
(1)求证：为等差数列，并求的通项公式；
(2)当时，恒成立，求的取值范围．
45．（2023·江苏·三模）已知数列满足，，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：存在两个等比数列，，使得成立．
46．（2023·广东潮州·二模）已知数列满足，.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证：.
47．（2024·内蒙古包头·三模）已知数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列是等比数列，并求；
(2)求数列的前n项和．
重难点题型8 奇偶求通项公式
48．（2023·湖南长沙·模拟预测）已知数列满足，且
(1)设，求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．
49．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，为的前n项和，求.
50．已知数列的前项和为，且．
(1)求、、的值．
(2)求数列的通项．
(3)求数列的前项和．
51．（2025·四川泸州·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，
（ⅰ）试比较与的大小，并说明理由；
（ⅱ）若数列的前项和为，求证：.
52．（2025·浙江嘉兴·三模）记为数列的前项和，已知，，数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，若对任意，，求实数的取值范围.
53．（2025高三下·江苏南通·开学考试）已知数列的前项和为，若，
(1)求；
(2)若，为数列的前项和，求.
54．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)若，求的前项和.
重难点题型9 特征根求通项公式
55．已知数列满足，求数列的通项．
56．已知数列满足，求数列的通项．
57．已知数列满足，求数列的通项．
58．已知数列满足，求数列的通项．
重难点题型10 其它
59．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知数列的前n项和，则（ ）
A．B．C．D．
60．（2025·河北·模拟预测）正项数列满足，则（ ）
A．B．C．D．
61．（24-25高三下·重庆·月考）（多选题）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A．
B．
C．数列的前n项和的值可能为
D．
62．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列：1，1，2，8，64，…是一阶等比数列，则 ； ．
63．（2025·贵州毕节·模拟预测）中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了“垛积术”的算法．在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就1个乒乓球；第堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的乒乓球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球．记第堆的乒乓球总数为．
(1)求；
(2)求的表达式；
(3)数列满足，求的通项公式．
参考公式：．
64．（2025高三上·黑龙江牡丹江·期中）已知数列对于任意都有．
(1)求数列的通项公式．
(2)设数列前n项和为，求．
(3)证明：，．
65．（24-25高三上·浙江·期中）每个正整数有唯一的“阶乘表示”为（，，…，），这些满足，其中每个都是整数，且，.
(1)求正整数3，4，5，6的“阶乘表示”；
(2)若正整数对应的“阶乘表示”为（，，…，），正整数对应的“阶乘表示”（，，…，），其中，求证：；
(3)对正整数，记，表示不超过的最大整数，数列前项和为，若，当最小时，求的值.
66．（23-24高三下·天津·月考）已知数列是等差数列，，，数列的前n项和为，且，
(1)求数列和的通项公式；
(2)若集合中恰有四个元素，求实数的取值范围；
(3)设数列满足，的前n项和为，证明：．
67．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）将正整数1，2，3，…，n的任意一种排列得到的有限数列记作，若对，均有，则称该数列为“n元全错位数列”，记“n元全错位数列”的个数为，如正整数1，2，3所对应的“3元全错位数列”有2，3，1和3，1，2，得．
(1)求；
(2)求证：是等比数列；
(3)求证：．
68．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若对，都有，则称与为“级相邻数列”．
(1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由；
(2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围；
(3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）．
利用等差数列等比数列的概念定义、中项性质之间的关系求解通项公式
如：（1）、一次函数为等差数列
（2）、二次函数无常数项为等差数列求和公式
（3）、指数型函数为等比数列（或等比数列求和公式）
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相加，可得：
形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：
将上述个式子两边分别相乘，可得：
（1）、已知Sn求an的常用方法是利用=转化为关于an的关系式，再求通项公式.
（2）、Sn与an关系问题的求解思路
方向1：利用an= Sn -Sn-1(n≥2)转化为只含 Sn，Sn-1的关系式，再求解.
Sn=i=1naibi
i=1naibi=f(n)
方向2：利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解.
方向3：若存在 ，则令 ，再利用Sn -Sn-1= an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解。
（1）、Tn与an关系问题求解思路（其中Tn为an的前n项积） T1=a1 , an=TnTn−1
方向1：若已知Tn与n的关系，可利用TnTn−1=an转换为an的即可求解.
方向2： 若已知Tn与an的关系，可利用TnTn−1=an替换an，先求解Tn，再转换为an即可求解
当我们遇到这种类型的二阶线性递推公式时，可以用特征根法来求通项.
第一步，构造特征方程，并求出特征方程的根；
第二步，若上一步的特征方程有2个不同的实根和，则，再利用和来求出系数A和B；若上一步的特征方程有2个相同的实根，则，再利用和来求出系数A和B.