新高考数学一轮复习重难专攻（五）证明不等式（十二类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习重难专攻（五）证明不等式（十二类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了已知函数，其导函数为.，已知函数，已知函数.等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 直接法
1．（2025·福建南平·三模）已知函数，其导函数为.
(1)求的单调区间；
(2)证明：.
【答案】(1)函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
(2)证明见解析.
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式
【分析】（1）利用导数工具研究函数导函数的值的正负情况即可得解；
（2）利用导数工具二次求导研究函数的单调性即可得证.
【详解】（1）由题函数定义域为R，，令，
所以当时，，
当时，，
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）证明：由（1），
所以在上恒成立，
所以函数即在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，
所以，即.
2．（2025·河南南阳·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：，．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式
【分析】（1）根据导数的几何意义求导得切线斜率，再确定切点纵坐标，从而得切线方程.
（2）构造函数求导确定单调性即可得，再设，求导确定单调性，从而可得，结合指数与对数运算即可证得结论.
【详解】（1）函数，求导得，则，又，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）设，求导得，
函数在上单调递减，恒成立，即，因此，
设，求导得，函数在上单调递增，
则，则，即，
所以，即.
3．（2023·北京·高二北京二十中校考期中）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：.
【解析】（1）,，
,所以切点为，由点斜式可得，，
所以切线方程为：.
（2）由题可得，
设，
，
所以当时，，
当时，，
所以在单调递增，单调递减，
所以，
即.
重难点题型2 构造函数法
1．（2025·山东济南·三模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)记的极小值为，证明：．
【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3)证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数的导数，按分类讨论求出函数的单调性.
（3）由（2）求出极小值，再建立函数，利用导数求出最小值证明不等式.
【详解】（1）当时，，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程的为.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，上单调递增，
所以当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，上单调递增.
（3）由（2）知，若有极小值，则，极小值，
令函数，求导得，函数在上单调递增，且，
则当时，，当时，，
函数在上单调递减，上单调递增，则，即，
所以.
2．（2025·江西九江·三模）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求出的导数，再按分类讨论求出单调区间.
（2）把代入，等价变形不等式，再构造函数并利用导数求出最小值情况即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，
①若，即，函数在上单调递减；
②若，即，由，得；由，得或，
函数在上单调递增，在，上单调递减；
③若，即，由，得；由，得或，
函数在上单调递增，在，上单调递减，
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，函数的定义域为，
不等式，
设，求导得，
函数在上单调递增，当时，，
当时，，
则存在唯一的实数，使，即，
当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，
因此，
而函数在上单调递减，当时，，即，
所以.
3．（2025·福建厦门·三模）已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：．
【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求出，分、讨论可得答案；
（2）转化为证明，求出，构造函数，利用导数求出最小值可得答案.
【详解】（1）的定义域为，，
当时，，单调递增，
当时，令得，
所以时，单调递增，
时，单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）由（1）时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
要证明，只需证明，
即证明，
令，
，
令，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
因为，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
可得，
即．
重难点题型3 分析法
1．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
(1)求在处的切线;
(2)若，证明当时，.
【解析】（1）因为，所以，切线斜率为
因为，所以切点为
切线方程为即
（2）法一：令，所以，
所以在单调递增，，
所以，所以，
所以要证只需证明
变形得
因为
所以只需证明，即
两边同取对数得：
令，
则
显然在递增，
所以存在当时递减，
当时递增;
因为
所以在上恒成立，所以原命题成立
法二：设则，
要证：
需证：
即证：
因为，需证，即证：
①时必然成立
②时，因为所以只需证明，
令，，
令，
∴在上为增函数
因为
，所以
所以存在，使得
∴在上为减函数，在上为增函数
∴
综上可知，不等式成立
2．（2025·浙江金华·三模）已知函数，
(1)当时，求的极值；
(2)若在区间上存在零点
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：当时，.
【答案】(1)极小值，无极大值
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【难度】0.4
【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）利用导数的正负来判断函数的单调性即可；
（2）（ⅰ）利用分类讨论思想，借助，把两类单调的可能性排除，进而来求出参数的范围；
（ⅱ）利用上一问的结论，把要证的不等式转化证明新的不等式，然后再借助条件消去参数，从而变成仅关于的函数不等式，再借助导数思想来进行证明即可.
【详解】（1）当时，，，，
当时，，当时，
在上递减，在上递增，有极小值，无极大值；
（2）（ⅰ），
当时，由于恒成立，所以在上单调递增，
又，在上无零点；
当时，由于，故，
所以在上单调递减，又，
在上无零点；
当时，，有，故在上单调递减，
，有，故在上单调递增，
所以有，
又因为当时，，
；
综上；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，，
，且，
要证，只要证，
即证，
只需证，
令，
在上单调递增.
又，
即，
由上式不等式成立可知原不等式恒成立.
重难点题型4 对数单身狗，指数找队友
1．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数图象过点，求证：．
【解析】解：（Ⅰ）函数的定义域为，．
当时，，在上单调递增；
当时，由，得．
若，，单调递增；
若，，单调递减
综合上述：当时，在上单调递增；
当时，在单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）证明：函数图象过点，
，解得．
．即．．
令．．．
令，，
函数在上单调递增，
存在，使得，可得，．
．
成立．
2．（2025·甘肃白银·三模）已知函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若，证明：当时，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1），令，利用导数法求得其最小值即可；
（2）将问题转化为，令，利用导数法证明在上恒成立即可.
【详解】（1），
令，
则，令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，最小值为，
故，即的取值范围是．
（2），
即．
令，
则，
令，则恒成立，
故在上单调递减．
又，故，
故在上恒成立，
故在上单调递减．
又，
故，结论得证．
3．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)求证：．
【答案】(1)2
(2)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、利用导数证明不等式
【分析】（1）根据切线方程列出关于的方程组，解方程组即可.
（2）对要证明的式子进行化简，构造函数，利用单调性求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，
所以曲线在点处的切线方程为.
由题意可知曲线在点处的切线方程为，
所以，解得(负值舍去)，所以.
（2）由第1问可知，.
要证，即要证，
只需证.
构造函数，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，所以，所以.
重难点题型5 拆分函数、凹凸反转
1．（2023·北京·高三专题练习）已知函数，当，时，证明：任意的，都有恒成立.
【解析】由题设有，设，，
要证即证.
下面证明：当时，.
此时，，
当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故在上，有，，
故当时，.
当，，，
当时，要证即证即证，
设，其中，故，
当时，；当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，
故在上，，
故，所以当时，成立.
综上，任意的，都有恒成立.
2．（2023·河南开封·校考模拟预测）设函数，．
(1)若函数在上存在最大值，求实数的取值范围；
(2)当时，求证：．
【解析】（1）（1）由得：（），
①当时，，所以在上单调递增，在不存在最大值，
②当时，令，解得：，
当时，，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以在时，取得最大值，
又由函数在上存在最大值，
因此，解得：，
所以的取值范围为.
（2）证明：当时，，且函数的定义域为，
要证明，即证明时，，
只需要证明：时，，
因为，所以不等式等价于
设（），则，
令得：，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，且当时，等号成立；
又设（），则，
令得：，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，且当时，等号成立；
综上可得：时，，且等号不同时成立，
所以时，，
即当时，得证.
3．已知函数．
（Ⅰ）若是的极小值点，求的取值范围；
（Ⅱ）若，为的导函数，证明：当时，．
【解析】解：（Ⅰ）的定义域是，
则，
若，则当时，，当，时，，
故是函数的极小值点，符合条件，
若，令，解得：或，
若，则当和，时，
当时，，
故是的极小值点，符合条件，
若，则恒成立，没有极值点，不符合条件，
若，则当和时，
当，时，故是的极大值点，不符合条件，
故的取值范围是，；
（Ⅱ）当时，，，
则，，，
设，，，，
由，可得（1），当且仅当时“”成立，
，
设，则在，上递减，
（1），（2），
故存在，，使得当时，，当，时，，
故在上单调递增，在，上单调递减，
由于（1），（2），故（2），当且仅当时“”成立，
故当时，（1）（2）．
重难点题型6 隐零点法
1．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数.
(1)若在区间上有极小值，求实数的取值范围；
(2)求证：.
【解析】（1）函数，定义域为，
，在上单调递增，
若在区间上有极小值，则有，解得.
故实数的取值范围为.
（2），即，由，可化简得，
要证，即证.
设，，
由，则有，得，即，
函数在上单调递减，
时，时，
则，，此时，
则时，时，
在上单调递增，在上单调递减，
，
函数在上单调递减，，
故，即.
设，
，解得，解得，
在上单调递减，在上单调递增，，
由，得，则有，即
故，即有.
所以，即.
2．（2025·江西新余·模拟预测）已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)已知恰有三个零点，求实数a的取值范围；
(3)已知，是不为1的两个零点，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）利用导数工具分和两种情况研究函数的导数正负情况即可得函数单调性；
（2）将问题转化成研究函数有两个不为1的两点，再利用导数工具研究即可；
（3），是不为1的两个零点等价为不为1的零点，利用分析法将问题转化为证，令，再利用导数研究函数单调性即可求证.
【详解】（1）由题知定义域为R，，
当时，，∴在区间上单调递增；
当时，当时，；当时，，当且仅当时，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）由（1）知，显然是的一个零点，
设，，
当时，，∴在区间上单调递增，
∴最多有一个零点，即最多有两个零点；
当时，当时，；当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，，
所以要使恰有3个零点，则需恰有2个不为1的零点，
则，解得，
，，
设，，
设，，∴在区间上单调递增，
∴，∴在区间上单调递增，，
∴存在，使，即，
∴实数a的取值范围为.
（3）证明：由（2）知，，是不为1的零点，也是不为1的零点，
要证，只需证，
而，且函数在上单调递减，
故只需证，又，
∴只需证，即证，
令，即，
则，
∴函数在R上单调递增．由，可得，即，
，又函数在上单调递减，
，即得证．
3．（2025·山东潍坊·二模）已知函数．
(1)若在处取得极值0，求的值；
(2)若有两个零点．
（i）当时，曲线在点处的切线斜率为1，求的值；
（ii）证明：．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【难度】0.65
【知识点】已知切线（斜率）求参数、根据极值求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）求导，由题意得，求得的值并利用单调性进行验证；
（2）（i）根据导数的几何意义得，，求得的值并进行验证；
（ii）利用导数求得极小值，再根据有两个零点，即可得证.
【详解】（1），
由题意即解得．
当时，，
单调递减，单调递增，
所以在处取极值．
（2）（i）时，
，所以，
又，
所以，解得或．
若只有一个零点，不符合题意，舍去，所以．
（ii），若，则在上单调递增，不合题意，
若，令，得，
且单调递减，
单调递增，
所以在处取极小值，
因为函数有两个零点，则，
所以，
即．
重难点题型7 不等式放缩法
1．已知函数，
（1）讨论函数的单调性；
（2）求证：当时，．
【解析】解：（1），
当，即时，，函数在上单调递增
当，即时，
由解得，由解得，
函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时函数在上单调递减，在上单调递增．
（2）令
当时，欲证，即证．即证，即，
即证
先证：．
设则设，
在上单调递减，在，上单调递增
，，则，
即，当且仅当，时取等号．
再证：．
设，则．
在上单调递增，则，即．
，所以．．当且仅当时取等号．
又与．两个不等式的等号不能同时取到，
成立，
即当时，成立．
2．（2023·湖南常德·常德市一中校考二模）已知函数 （，为自然对数的底数）．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：.
【解析】（1），
（ⅰ）当时，，所以，，
则在上单调递增，在上单调递减；
（ⅱ）当时，令，得，
①时，，
所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②时，，则在上单调递增；
③时，，所以或，，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
（2）方法一：等价于，
当时，，
则当时，，则，
令，
令，
因为函数在区间上都是增函数，
所以函数在区间上单调递增 ，
∵，∴存在，使得，
即，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
∴，
∴，故.
方法二：当时，，
令，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
∴在区间上单调递减，上单调递增，
∴，即，
∴.
重难点题型8 同构法
1．（2022高三·全国·专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
【答案】(1)，.
(2)，.
(3)，.
(4)，.
(5)，.
(6)，.
(7)，.
(8)，.
【难度】0.65
【知识点】指数式与对数式的互化、研究对数函数的单调性、由不等式的性质比较数（式）大小、等式的性质与方程的解
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）根据给定的不等式或等式，利用等式不等式性质、指对数式互化变形成不等号或等号两边结构相同的形式，再构建函数作答.
【详解】（1）显然，则，.
（2）显然，则，.
（3）显然，则，.
（4）显然，则
，.
（5），.
（6），，.
（7），.
（8），.
2．（20-21高三下·辽宁·阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式.若关于的方程和关于的方程可化为同构方程.
（1）求的值；
（2）已知函数.若斜率为的直线与曲线相交于，两点，求证：.
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）根据同构方程的定义，以及关于的方程和关于的方程可化为同构方程知，； 在 单调递增，所以方程的解只有一个得，则可得；
（2）将所要证明的转化为证明利用换元法将双变量化为单变量，
故等价于证，通过证明和来达到证明原式的目的.
【详解】（1）对两边取自然对数，得(1),
对两边取自然对数，得
即，
因为(1)(2)方程为两个同构方程，所以 ，解得 ，
设 ，则 ,
所以 在 单调递增，所以方程的解只有一个,
所以 ，所以 ，
故 .
（2）由（1）知：
所以
要证，即证明等价于
令 ，则只要证明 即可，
由 知， ，故等价于证
设 则 ，即 在 单调递增，
故 ，即 .
设则 ，即在单调递增，
故，即 。
由上可知成立，则.
【点睛】深刻理解题中同构方程的含义进行计算，会将问题进行转化，利用减少变量个数，利用导数来证明函数的单调性，这些最常用的办法都要熟练掌握.
3．已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，求证：．
【解析】（1）解：，
得，得，
在上递减，在上递增．
（2）解：函数在处取得极值，
，
，
令，则，
由得，，由得，，
在，上递减，在，上递增，
，即．
（3）证明：，即证，
令，
则只要证明在上单调递增，
又，
显然函数在上单调递增．
，即，
在上单调递增，即，
当时，有．
重难点题型9 泰勒展开式与阿格朗日展开式
1．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知正数数列满足，且.（函数求导次可用表示）
(1)求的通项公式.
(2)求证：对任意的，，都有.
【解析】（1）由，得
，
所以或，
因为，所以，
所以，
所以
（2）证明：当时，恒成立，
令，
即，
则
，
……
，
所以在上递增，
所以，
所以在上递增，
所以，
所以在上递增，
……
所以在上递增，
所以，
所以在上递增，
所以，
综上对任意的，，都有.
2．（2024·安徽·一模）在微积分中，泰勒展开是一种常用的分析方法.若在包含的某个开区间中具有阶导数，设表示的阶导数.则对有.其中，是位于与之间的某个值，它称为阶泰勒余项.叫做在处的阶泰勒多项式.
(1)求在处的1阶泰勒多项式和2阶泰勒多项式，并证明：当时，；
(2)整数.定义数列.设e为自然对数的底数.
（i）求证：；
（ii）求证：.
【答案】(1)，证明见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析；
【难度】0.15
【知识点】判断数列的增减性、调整法 (放缩法)、微积分，泰勒展开、数列综合
【分析】（1）令，求出和即可求出和；当时，利用导数工具求证和即可得证.
（2）令，先求证为增数列且当时，；为增数列，且当时，.（i）由题意得，
接着利用放缩法得，从而利用累加法得，于是得；（ii）同（i）得，结合累加法得对任意的，，于是得即，再结合得，接着得，进而推出，从而得证.
【详解】（1）令，则，，
所以，，
所以；
令则，
故在上递减，则，即；
令，则，
故在上递增，则，即.
所以当时，.
（2）令，
由题意可知，，故，依次类推有，
故当时，，
所以为增数列，且当时，；
同理为增数列，且当时，.
（i）由题意可知，，
故由得，
所以，
则有，即.
（ii）同（i），我们有，
则对任意的，
故，所以，即，对任意的成立.
函数的导函数为，
所以当时，；时，，1
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
所以
，
故
，
故由得
，
即.
【点睛】方法点睛：放缩法是一种在求解数学问题时经常使用的技巧之一，尤其在导数和数列上证明不等式时，常见放缩公式（来源于麦克劳林公式）有：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
3．（24-25高三上·四川自贡·期中）新信息题型是目前高考的热点题型.这类题要求答题者在有限的时间内，阅读并理解题目所给予的信息，根据获取的信息解答问题.请同学们根据以下信息回答问题：
(1)在高等数学中，我们将在处可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：，（其中表示的次导数，），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式，当时泰勒展开式也称为麦克劳林公式，比如在处的麦克劳林公式为：，由此当时，可以非常容易得到不等式，，，，请利用上述公式和所学知识写出在处的泰勒展开式；（写出展开式的前三项即可）
(2)设为正整数，数列，，，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，，，是一可分数列.请写出所有的，，使数列，，，是—可分数列.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.4
【知识点】微积分，泰勒展开、数列新定义
【分析】（1）对求导，利用泰勒展开式的定义即可得解；
（2）直接利用可分数列的定义即可得解.
【详解】（1）因为，，，
，其中，
所以在处的泰勒展开式为：
，
（2）由题意可知，问题相当于从中取出两个数和，
使得剩下四个数是等差数列.
那么剩下四个数只可能是，或，或.
所以所有可能的就是.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
重难点题型10 切线法与割线法
1．已知函数，曲线在点处的切线方程为．
（1）求，的值；
（2）证明：；
（3）若函数有两个零点，，证明．
【解答】（1）解：函数的定义域为，
，
（1），
曲线在点处的切线方程为即，
，；
（2）证明：令，
则，
令，则，
单调递增，又（1），
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
（1），
，
，
（3）证明：的两个零点，，即为的两根，不妨设，
由题知，曲线在处的切线方程为，
令，即即的根为，则，
由（2）知，
，
单调递增，
，
设曲线在处的切线方程为，
，
，
设方程即的根为，则，
令，
由（2）同理可得，即，
，
又单调递减，
，
．
2．（2025·河南许昌·三模）已知函数.
(1)若
①求的极小值；
②证明：当时，；
(2)若的图象与直线切于点，求的值.
【答案】(1)①极小值为0；②证明见解析；
(2)3
【难度】0.65
【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式
【分析】（1）①利用导数判断函数的单调性，再求极值即可；
②利用当时，,，可得，结合①，可得结论.
（2）求的导数，根据导数和切线斜率的关系求解即可.
【详解】（1）①的定义域为，当时，，，
令，得或（舍去）
当时，，在上单调递减；
当时，，在单调递增，
在处取得极小值，极小值为；
②由①可得在处取得最小值，最小值为， ，
当时，，所以，，所以，
.
（2），由题意得 ，
消去得，令，
因为函数，在上单调递增，
所以在上单调递增，又，
，将代入，得.
3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数．
(1)求函数最大值；
(2)若，直线为曲线在点处的切线．
（i）当时，求直线的方程；
（ii）若直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式
【分析】（1）首先对函数求导，然后在定义域内判断单调性、求出极值点，最后求出函数的最大值.
（2）首先求出函数的表达式，然后求导，并写出切线方程.（i）将代入函数和直线中可得直线方程；（ii）联立曲线和直线方程，构造新函数，求导，判断单调性，分情况讨论的范围，保证新函数有零点，即可求出的取值范围.
【详解】（1）定义域为，对函数求导得
令，得
∴当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
∴最大值为.
（2）∵，定义域为，
∴，∴切线的斜率，
∴切线的方程为.
（i）当时，，，
∴切线的方程为.
（ii）∵直线的方程为，即.
令 ， 则
∵ ， ∴
记 则，
∴时，，单调递减；
时，，单调递增；
若，则当时，单调递减
∴ ∴在上单调递增
又 ∴在上无零点，不合题意；
若 则
∴当时，
又
∴
由零点存在定理，存在，使得.
且时，，单调递增；
时，，单调递减. ∴
∵ ∴.
由零点存在定理，存在，使得，且.
综上所述，.
重难点题型11 函数与数列综合
1．（2025·辽宁·三模）已知函数．
(1)当时，求的零点；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围；
(3)证明：．
【答案】(1)1
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式
【分析】（1）求导，判断的单调性，进而可求的零点；
（2）运用分离参数的方法转化为求函数的最值即可；
（3）根据（2）的结论证明即可.
【详解】（1）的定义域为，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，则的零点为1．
（2）恒成立，即．
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，所以在上单调递增，
所以，即．
则实数的取值范围为
（3）由（2）可知，当时，有成立，当且仅当时等号成立，
取，
则，
所以，
即．
由，
即，当且仅当时等号成立，
取，
得，
所以，
即．
综上，
2．（2025·山西·二模）已知函数.
(1)设是曲线的任意一条切线，若，求a的值；
(2)证明：存在，对任意，且，都有；
(3)证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数证明不等式、求过一点的切线方程、错位相减法求和
【分析】（1）设切点再根据点斜式结合不等式计算得出参数；
（2）构造函数，结合函数单调性计算证明；
（3）由（2）知 ，结合应用错位相减法计算证明即可.
【详解】（1）设直线与曲线切点横坐标为，因为，
所以切线方程为：，
所以，
即对任意都成立，
因为，所以在上递增且存在唯一正的零点，
又在上递减，所以也是它的零点.
所以；解得.
（2）因为的定义域为，，，
当时，，递减；
当时，，递增.
取，设，代入得，，
所以，
设，，
因为，所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
所以时，结论成立.
（3）取，，，，
则，，
由（2）知，，即，
因为，，
所以，
设，
所以，
两式相减得，，
所以，
所以.
5．（2025·广西·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、裂项相消法求和
【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）不等式对恒成立可得对恒成立，再构造函数并利用导数探讨单调性推理得证.
（3）由（2）取可得不等式，再取，并借助裂项相消法求得证.
【详解】（1）函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）不等式，
由时，恒成立，得，
令，由当时，恒成立，
得，，求导得，令，
求导得，而，则当，即时，，
函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，符合题意，因此；
当时，由，得，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递减，
则当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是.
（3）由（2）知，当时，，
取，则，而，
因此
，
所以.
重难点题型12 函数与三角函数综合
1．（2025·河北秦皇岛·三模）已知函数是函数的导函数，且．
(1)求；
(2)若在区间内单调递增，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、零点存在性定理的应用、由导数求函数的最值（含参）
【分析】（1）根据导函数结合，求出原函数即可；
（2）根据题设函数的单调性，得出导函数在内恒成立，分离参数，利用新设函数的导函数分析其单调性，即可求得的取值范围；
（3）通过二次求导结合零点存在定理分析导函数的单调性，从而求出函数的最值证得，再利用放缩法可证得不等式.
【详解】（1）由题意，设，（为常数），
又，所以，则．
（2）由题意，在内恒成立．
，，．
令，则，
在区间上单调递增，
，即.
所以实数a的取值范围是．
（3）设，
又，则，所以在区间上单调递增．
，，即，
，使，当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，
，此时且，
∴，
又，，则，
综上，．
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知函数，．
(1)若在其定义域上单调，求的取值范围；
(2)若．
（ⅰ）证明：；
（ii）若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【难度】0.4
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式
【分析】（1）求得，对函数在区间上单调递增、单调递减两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围；
（2）（i）构造函数，，利用导数分析函数的单调性，可得出，由此可证得结论成立；
（ii）由所求不等式变形得出在区间上恒成立，令，，利用导数分析该函数的单调性，可得出，求出的取值范围，然后验证在区间上能否恒成立，由此可得出实数的取值范围.
【详解】（1）因为，，所以，
因为函数在上单调，
若函数在上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，则；
若在上单调递减，则在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，，则，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）当时，，
（i）由题意得在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，
则，
当时，，则，，则，
所以，函数在区间上单调递增，所以，
所以得证；
（ii）由得在区间上恒成立，
令，，
则，且，
因为在区间上恒成立，所以，解得，
因为，所以，，
所以当时，，
此时函数在区间上单调递减，所以恒成立，合乎题意，
综上所述，实数的取值范围是.
3．（2025·江西景德镇·模拟预测）(1)证明：在上恒成立.
(2)若，证明：函数在上恰有1个零点.
(3)试讨论函数在上的零点个数.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点
【分析】（1）令函数，利用导数可得该函数的单调性，从而可证不等式；
（2）利用导数可证的单调性，结合零点存在定理可证函数零点个数为1；
（3）利用指对数转化可将原函数的零点个数转化为，的零点个数，后者可利用导数得其在上的单调性后结合零点存在定理判断零点个数.
【详解】（1）证明：令函数，，则，
所以在上单调递增，
则，即在上恒成立.
（2）证明：因为，所以在上单调递增.
由（1）得在上恒成立，故在上恒成立，
所以，
因为，故取，取，
则，
而，所以在上有1个零点，
即在上恰有1个零点.
（3）令，即，等价于.
记，.
在上的零点个数即在上的零点个数.
是的1个零点.
因为，
所以是奇函数，则在和上的零点个数相同.
，因为在上为减函数，
故在上单调递增.
当时，，故在上单调递增.
因为，所以在上恒成立，即在上没有零点，
所以在上只有1个零点.
当时，由（2）可得在上恰有1个零点，记该零点为.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
而，故，取，则，
，
结合在上的单调性可得在上有1个零点，
即在上有1个零点，所以在上有3个零点.
综上，当时，在上只有1个零点；
当时，在上有3个零点.
9．（2025·山东青岛·二模）已知函数
(1)当时，求证：
(2)若对恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数证明不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）由，得，构造函数，求解单调性，即可证明；
（2）求导得，令，则，分类讨论可求得的范围.
【详解】（1）由，得.
要证只要证
令，则
当时，则单调递减，
当时，则单调递增，
所以则即
（2）由已知可得，
令，求导可得，
(1)当时，由，得，因此，满足题意.
(2)当时，由，得，则在上单调递增.
①当时，，所以，即在单调递增，
所以在单调递增，所以，
则在上单调递增，所以满足题意.
②当时，，，则存在唯一的，使得，
且当时，，在上单调递减，
所以不满足题意.
综上：