新高考数学一轮复习重难专攻（八）不等式的恒成立问题（十二类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习重难专攻（八）不等式的恒成立问题（十二类重难点题型精练）（2份，原卷版+解析版），共11页。

重难点题型一 直接法
1．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）
A．B．C．eD．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】在上恒成立，即，构造函数，，求导得到其单调性，得到，得到，求出答案.
【详解】由题意得在上恒成立，
，故，
即，
令，，
则在上恒成立，
故在上单调递减，
故，
故，故a的最小值为.
故选：A
2．（2022·四川广安·模拟预测）“”是“在上恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的充分不必要条件、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】求出在上恒成立时m的取值范围，从而判断出答案.
【详解】在上恒成立，
即在恒成立，
令，则在上恒成立，
故在上单调递增，
所以，
所以
因为，而，
所以“”是“在上恒成立”的充分不必要条件.
故选：A
3．（2023·河南·模拟预测）已知函数，，若与中恰有一个函数无极值，则的取值范围是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】利用函数导数性质分函数无极值，无极值两种情况进行讨论即可
【详解】若无极值，
则恒成立，
即，解得；
若无极值，
则对恒成立，
所以，即．
所以与中恰有一个函数无极值，
则或，
解得．
4．（2021·北京海淀·模拟预测）能够满足“对任意，总成立”的一个值是 .
【答案】（结果不唯一）
【难度】0.85
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】依题意对任意，，令，，利用导数说明其单调性，即可求出参数的取值范围，本题属于开放性题，只需写出符合题意的参数的值即可；
【详解】解：因为对任意，，即对任意，，即对任意，，令，，因为，当时，恒成立，即，单调递减，又，所以，对恒成立，则取中的任意值均可，不妨取；
故答案为：（结果不唯一）
5．（2025·贵州毕节·模拟预测）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.85
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）依据题意求出切点，利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程即可.
（2）利用导数求出的最小值，再建立不等式并结合给定条件求出参数范围即可.
【详解】（1）当时，，
而，则切点坐标为，
易得，得到切线斜率为，
故曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）由题意得的定义域为，
且，
而，令，，令，，
即的单调递减区间为，单调递增区间为，
则当时，有最小值，
得到，解得，
，，即的取值范围为.
6．（2025·山西晋中·三模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【难度】0.85
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）依题意可得对任意恒成立，令，结合函数的单调性得到，再参变分离，结合（1）求出，即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，又，
令，得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减．
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由对任意恒成立，
得对任意恒成立，
即对任意恒成立．
令，则有，
显然为增函数，可得，
则，所以．
由（1）可知，
所以，故的取值范围为．
重难点题型二 特殊值法（区间端点）
1．（2023·四川泸州·统考三模）已知函数．
(1)若单调递增，求a的取值范围；
(2)若，，求a的取值范围．
【解析】（1）由，得，
由于单调递增，则即恒成立，
令，则，
可知时，，则在上单调递增；
时，，则在上单调递减，
故时，取得极大值即最大值，
故．所以a的取值范围是．
（2）由题意时，恒成立，即；
令，原不等式即为恒成立，
可得，，，
令，则，
又设，则，
则，，可知在上单调递增，
若，有，，则；
若，有，
则，
所以，，，则即单调递增，
（i）当即时，，则单调递增，
所以，恒成立，则符合题意．
（ii）当即时，，，
存在，使得，
当时，，则在单调递减，
所以，与题意不符，
综上所述，a的取值范围是.
2．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数，函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)记，对任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），函数定义域为R，
则且，
令，，在上单调递增，
所以，所以的单调递增区间为，
，，所以的单调递减区间为.
（2），，
则，且，
令，，
令，时，
所以在上单调递增，
①若，，
所以在上单调递增，所以，
所以恒成立.
②若，，
所以存在，使，
故存在，使得，
此时单调递减，即在上单调递减，
所以，故在上单调递减，
所以此时，不合题意.
综上，.
实数的取值范围为.
3．（2024·江苏南京·二模）已知函数，为的导函数.
(1)若，求证：；
(2)若对任意，，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【难度】0.85
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）由可求得，再根据基本不等式即可得出证明；
（2）对函数求导并对参数进行分类讨论得出在上的单调性，得出其在上的最小值，解不等式即可求得的取值范围.
【详解】（1）因为，所以，
此时，所以，，
所以，
当且仅当时，等号成立；
即
（2）易知,
①因为，若或，则，，所以在上单调递增，
所以，所以或；
②若，则由，得，列表：
所以，所以；
③若，则，，所以在上递减，
所以，此时无解；
综上，的取值范围为.
4．（2025·安徽合肥·三模）已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若关于x的不等式恒成立，求m的取值构成的集合．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）根据题意，求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）根据题意，把不等式转化为恒成立，令，求得，由，得到所以是的最大值点，得到，求得，经检验满足题意，即可求解.
【详解】（1）解：当时，函数，可得，
则且，所以切线的斜率为，切点为，
故所求切线方程为，即.
（2）解：由函数，可得其定义域为，
不等式恒成立，等价于恒成立，
令，可得，其中，
因为在区间上恒成立，
所以是的最大值点，也是极大值点，则，
可得，解得，
当时，可得，令，则，
所以在上单调递减，
当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减，
所以，满足条件，所以
综上所述，实数m的取值构成的集合为．
重难点题型三 直接化为最值+分类讨论
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
【解析】（1）因为，所以，
则
，
令，由于，所以，
所以，
因为，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减.
（2）法一：
构建，
则，
若，且，
则，解得，
当时，因为，
又，所以，，则，
所以，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
综上所述：若，等价于，
所以的取值范围为.
法二：
因为，
因为，所以，，
故在上恒成立，
所以当时，，满足题意；
当时，由于，显然，
所以，满足题意；
当时，因为，
令，则，
注意到，
若，，则在上单调递增，
注意到，所以，即，不满足题意；
若，，则，
所以在上最靠近处必存在零点，使得，
此时在上有，所以在上单调递增，
则在上有，即，不满足题意；
综上：.
2．（2025·江西赣州·二模）已知函数，．
(1)求函数，的最小值；
(2)当时，，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）求出函数的定义域，并利用导数研究其在定义域上的单调性，找到极小值点，与端点值比较即可求得最小值；
（2）设，，多次求导，结合常见不等式及，分析的单调性，分和两种情况研究函数的最小值，即可求解.
【详解】（1）令，，则，，
由，解得或，可得当和时，，当时，，所以在单调递减，和单调递增.
，又，，，
所以函数在上的最小值为
（2）设，，
则，令，则，
令，则，所以在上单调递增，
所以，即，，
所以，
又设，，，
当时，，为减函数，当时，，为增函数，
所以，即恒成立，
所以，
所以在上单调递增，则，
当，即时，，，所以在上单调递增，
所以，
当，即时，存在，使得，即，
由于对任意的，都有，即，此时，不符题意，
综上所述，.
3．（2025·湖北·三模）已知函数（为自然对数的底数）.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）求导，利用导数几何意义得到切线斜率，得到切线方程；
（2）转化为在上恒成立，设，二次求导，分和两种情况，得到函数单调性，结合特殊点函数值，得到答案.
【详解】（1）当时，，
则，
所以切线方程为，即；
（2）当时，恒成立，即在上恒成立，
设，则，
令，则.
①当时，因为，则，
可知在上单调递减，则，
所以在上单调递减，
所以，即恒成立，所以满足题意；
②当时，令，解得：，
当时，，则单调递增，
此时，则在上单调递增，所以，
即当时，，即不恒成立，可知不合题意.
综上所述，.
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数在处取得极小值.
(1)求的值；
(2)证明：；
(3)若，求的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、根据极值点求参数、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）根据极值点处导函数值为零解题即可；
（2）由（1）得，只需证即可；
（3）由题得，令，然后对分类讨论，利用导函数求最值，然后解不等式即可.
【详解】（1）由题得，
又在处取得极小值，所以，解得，
此时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，故.
（2）由（1）得，要证，即证，
只需证，只需证.
令，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以，故可得.
（3）由题得，令，
其中，且，
令，解得.
①若，则，，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
当时，，所以，且，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，符合题意.
令，则.
②若，当时，，在区间上单调递增，
所以，
又，且，
所以存在，使得，
则当时，，所以单调递减，
则，不符合题意.
③若，当时，，在区间内单调递增，
所以，
又以及的连续性，所以存在，使得当时，，所以单调递增，则，不符合题意.
综上，的值为.
重难点题型四 分离参数+函数最值
1．（2023·河北·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若存在实数，使得关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）函数，，则，
当，即时，恒成立，即在上单调递增；
当，即时，令，解得，
综上所述，当是，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）等价于，令，
当时，，所以不恒成立，不合题意.
当时，等价于，
由（1）可知，
所以，对有解，所以对有解，
因此原命题转化为存在，使得.
令，，则，
，
令，则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，，故在上单调递减，
当时，，，故在上单调递增，
所以，所以，
即实数的取值范围是.
2．（2023·福建三明·高三统考期末）已知函数，.
(1)求证：在上单调递增；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
【解析】（1），，，
由，有，，则，又，
则.
当时，，，所以
所以当时，，综上，在上单调递增.
（2）.化简得.
当时，，所以，
设，

设，.
，，，
在上单调递增，
又由，所以当时，，，
在上单调递减；
当时，，，在上单调递增，
所以，
故.
3．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知，.
(1)求的极值；
(2)若，求实数k的取值范围.
【解析】（1）已知，
当时，恒成立，无极值，
当时，，在上单调递增，在单调递减，
当时，有极大值，，无极小值，
综上：当时，无极值；当时，极大值为，无极小值；
（2）若，则在时恒成立，
恒成立，令，
令，则，
在单调递减，又，
由零点存在定理知，存在唯一零点，使得，
即，
令在上单调递增，
， 即
当时，单调递增，单调递减，
，
，即的取值范围为.
4．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知函数.
(1)设是的极值点，求在点处的切线方程；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数
【分析】（1）根据给定条件，求出导数，利用极值点求出并验证，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）等价变形给定不等式，构造函数，利用导数求出函数最大值，进而求出范围.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
由是的极值点，得，解得，
，函数在上单调递增，
当时，；当时，，则是的极小值点，，
，
所以在点处的切线方程：.
（2）不等式，
设，求导得，设，函数在上单调递减，且，
则当时，，即；当时，，即，
函数在上单调递增，在上单调递减，，因此，
所以实数的取值范围是.
5．（2025·湖北武汉·三模）已知函数，
(1)若，求函数的单调区间；
(2)当时，，求实数的取值范围．
【答案】(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】（1）通过求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间；
（2）可通过分离参数，构造新函数，利用导数研究新函数的最值来求解.
【详解】（1）已知，当时，，对求导，可得.
令，即，解得.
当时，，所以，则在上单调递减.
当时，，所以，则在上单调递增.
综上所得，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
（2）当时，，即，移项可得.
当时，，此时可以取任意实数.
当时，可化为，
令，对求导，可得.
令，即，因为，，所以，解得.
当时，，所以，在上单调递减.
当时，，所以，在上单调递增.
则在处取得极小值，也是最小值，.
所以，解得.
实数的取值范围是.
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性；
（2）分类参数，得，构造函数，求导，判断函数单调性与最值情况，即可得参数范围.
【详解】（1）由已知，，则，，
当时，由恒成立，即恒成立，即在上单调递增；
当时，令，解得，，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
综上所述，
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；
（2）由已知，即，又，
所以恒成立，设，，
则，
设，，则恒成立，
即函数在上单调递增，且，
当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增；
所以，
所以，即.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
重难点题型五 洛必达法则
1．已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)，；
函数在处取得极值，；
又曲线在点处的切线与直线垂直，；
解得：；
（2）不等式恒成立可化为，即；
当时，恒成立；当时，恒成立，
令，则；
令，则；
令，则；
得在是减函数，故，进而
（或，，
得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，
而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，
变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．
2．设函数．如果对任何，都有，求的取值范围．
【解析】，
若，则；
若，则等价于，即
则.记，
因此，当时，，在上单调递减，且，
故，所以在上单调递减，
而.
另一方面，当时，，
因此.
重难点题型六 同构法
1．（2023·河南郑州·高二郑州市第二高级中学校考阶段练习）已知e是自然对数的底数．若，成立，则实数m的最小值是________．
【答案】/
【解析】由得，即，
令，求导得，则在上单调递增，
显然，当时，恒有，即恒成立，
于是当时，，有，
从而对恒成立，即对恒成立，
令，求导得，则当时，；当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以实数m的最小值是．
故答案为：
2．（2023·广西柳州·统考三模）已知，（），若在上恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，
即在上恒成立.
易知当时，.
令函数，则，函数在上单调递增，
故有，则在上恒成立.
令，则，
令，即，解得，
令，即，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，即实数的最小值为.
故选：B
3．（2025·陕西·模拟预测）若，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】原不等式化为不等式，又可化为，故考虑构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合单调性化简不等式可得，由已知，再利用导数求函数的最小值，可得的取值范围.
【详解】原不等式化为不等式，又继续化为，
设，则，
即在上单调递增，而，
因为，所以，
由已知恒成立，令，则，
当时，即递减；当时，即递增；
∴，故只需，即．又，
所以的取值范围为.
故选：B
重难点题型七 分离函数+数形结合
1．（23-24高三上·山东日照·开学考试）（多选题）已知函数，则（ ）
A．函数只有两个极值点
B．若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为
C．方程共有4个实根
D．若关于的不等式的解集内恰有两个正整数，则的取值范围为
【答案】ACD
【分析】利用导数研究的单调性、极值并画出函数图象，利用函数交点、数形结合判断各项正误即可.
【详解】A：对求导得：，
当或时，，当时，，
即在，上单调递减，在上单调递增，
因此，在处取得极小值，在处取得极大值，对；
B：由上分析，曲线及直线，如下图，

由图知：当或时，直线与有2个交点，
所以有且只有两个实根，则的取值范围为或，错；
C：由得：，解得，令且，
由图有两解分别为，，所以或，
而，则，则有两解；又，由图知也有两解，
综上：方程共有4个根，对；
D：因为直线过定点，且，，，
记，，，
所以，对.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：导数研究函数性质并画出图象，利用函数的交点研究方程的根、不等式的解集.
2．（2024·江苏徐州·一模）（多选题）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有唯一零点
B．当时，是减函数
C．若只有一个极值点，则或
D．当时，对任意实数，总存在实数，使得
【答案】ABD
【分析】
对于A：求导，确定单调性，然后利用零点存在定理判断；对于B：求导，利用导数研究函数单调性；对于C：直接验证时的极值情况；对于D：求导，作出的图象，观察图象可得.
【详解】对于A：当时，，令，得，
令，得，即在上单调递增，
又，，由零点存在定理可得在上有唯一零点，即有唯一零点，A正确；
对于B：，
令，得，
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，又当时,，所以恒成立，即当时，是减函数，B正确；
对于C：当时，由B知，即，所以，即在上单调递减，无极值，C 错误；
对于D：当时，，，
令，得，
令，则，
当，即时，单调递增，
当，即时，单调递减，
所以，
即恒成立，
所以单调递减，又，
所以，
所以在上单调递减，
且当时，，当时，，
可得的大致图象如下：
由图可知对任意实数，总存在实数，使得，D正确；
故选：ABD.
重难点题型八 不等式放缩法
1．（2025·江西·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若 ，，求的取值范围；
(3)证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求出函数的导数，按、分类讨论求出函数的单调性.
（2）参变分离可得，解法一：设，，利用导数求出函数的最大值，即可得解；解法二：先证明两个不等式：和，即可得到，从而得解；
（3）借助（2）的信息得，令，，可得，累加即可得证.
【详解】（1）函数的定义域为，又
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，令，得，所以在上单调递增；
令，得，所以在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在区间上单调递增.
（2）不等式，等价于，等价于 ，
解法一：设，，
则，因为在区间上单调递减，且，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
所以，即的取值范围为；
解法二：先证明两个不等式：和，
由（1）知，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，即；
设，则，
则当时，，在上单调递减，
当时，，在单调递增，
故，故，
由于，，且都是当且仅当时等号成立，
则，
所以，
即的取值范围为.
（3）由（2）知时，，，
即恒成立，
所以，当且仅当时等号成立，
令，，所以
所以
，
所以.
2．（24-25高二下·河南·期中）已知函数，．
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值；
(2)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(3)证明：，．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式、已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）求出，根据曲线在点处的切线与直线垂直，结合斜率关系可得出关于的等式，解之即可；
（2）由题意可知对任意的恒成立，参变分离得在上恒成立，利用导数求出函数的最大值，即可求得实数的取值范围；
（3）由（2）可知，，当且仅当时取得等号，令，则，然后利用不等式的基本性质可证得结论成立.
【详解】（1）因为，所以，则，
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以，故．
（2），则，
所以在上恒成立．
故在上恒成立，
令，，则，
当时，，在单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，则，所以，故实数的取值范围为．
（3）由（2）可知，当时，，当且仅当时取得等号，
令，则，
所以，
，，…，
，
所以
．
故原不等式得证.
3．（2025·辽宁·三模）已知函数．
(1)当时，求的零点；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围；
(3)证明：．
【答案】(1)1
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式
【分析】（1）求导，判断的单调性，进而可求的零点；
（2）运用分离参数的方法转化为求函数的最值即可；
（3）根据（2）的结论证明即可.
【详解】（1）的定义域为，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，则的零点为1．
（2）恒成立，即．
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，所以在上单调递增，
所以，即．
则实数的取值范围为
（3）由（2）可知，当时，有成立，当且仅当时等号成立，
取，
则，
所以，
即．
由，
即，当且仅当时等号成立，
取，
得，
所以，
即．
综上，
4．（2025·广西·一模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【难度】0.65
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、裂项相消法求和
【分析】（1）求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）不等式对恒成立可得对恒成立，再构造函数并利用导数探讨单调性推理得证.
（3）由（2）取可得不等式，再取，并借助裂项相消法求得证.
【详解】（1）函数，求导得，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）不等式，
由时，恒成立，得，
令，由当时，恒成立，
得，，求导得，令，
求导得，而，则当，即时，，
函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，符合题意，因此；
当时，由，得，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递减，
则当时，，不符合题意，
所以实数的取值范围是.
（3）由（2）知，当时，，
取，则，而，
因此
，
所以.
重难点题型九 构造函数
1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知当时，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．1C．2D．e
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）
【分析】先将不等式变形为，接着构造函数，利用导数工具求得恒成立，再构造函数，利用导数工具求出其最大值即可得解.
【详解】根据题意，因为，所以，
设函数，可得，，，
所以时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，可得，则，
设函数，则，
所以时，；时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得最大值，所以.
故选：A
2．（2024·四川达州·二模）当时，不等式恒成立，则取值范围是（ ）
A．B．
C．，e]D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】恒成立问题一般采用分离参数的方法，进而转化成求函数的最值即可.
【详解】当 时, 不等式显然成立,
当 时, 由题意可得
则有 .
则
设，，
则，所以在上单调递增，
所以，
所以当 时, 单调递减;
当 时, 单调递增;
所以 ,
所以
故选：C
3．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数.
(1)求函数在处的切线方程；
(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1），，
，
的图像在处的切线方程为，即.
（2）解法一：由题意得，因为函数，
故有，等价转化为，
即在时恒成立，所以，
令，则，
令，则，所以函数在时单调递增，
，，
，使得，
当时，，即单调递减，当时，，即单调递增，
故，
由，得
在中，，当时，，
函数在上单调递增，，即与，
，
，即实数的取值范围为.
解法二：因为函数，
故有，等价转化为：，
构造，
，所以可知在上单调递减，在上单调递增，
，即成立，令，
令， 在单调递增，
又，所以存在，使得，即，
可知，
当时，可知恒成立，即此时不等式成立；
当时，又因为，
所以，与不等式矛盾；
综上所述，实数的取值范围为.
4．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数．
(1)判断的导函数的零点个数；
(2)若，求a的取值范围．
【解析】（1）由题意可得：的定义域为，且，
因为，则有：
当时，恒成立，在内无零点；
当时，构建，则恒成立，
则在上单调递增，
由于，取，
则，
，
故在内有且仅有一个零点，即在内有且仅有一个零点；
综上所述：当时，在内无零点；
当时，在内有且仅有一个零点.
（2）由题意可知：，
由（1）可知：在内有且仅有一个零点，设为，
可得：当时，；当时，；
则在上单调递减，在上单调递增，
则，
因为，
则，且
可得，
整理得，
构建，
则，
对于，由，可得，
所以，
则在上单调递增，且，
所以的解集为，
又因为在定义域内单调递减，
可得，所以，
故a的取值范围.
重难点题型十 双变量的最值问题
1．（2023·江苏·统考模拟预测）已知，，对于，恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．－1C．D．－2
【答案】C
【解析】因为对于，恒成立，
所以对于，恒成立，
设，所以.
当时，，函数单调递增，
所以函数没有最大值，所以这种情况不满足已知；
当时，
当时，，函数单调递增.
当时，，函数单调递减.
所以.
所以.
所以.
设，
所以，
当时，，函数单调递减.
当时，，函数单调递增.
所以.
所以的最小值为.
故选：C
2．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）设，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是___________.
【答案】/
【解析】由题意知，不等式在上恒成立，
令，则在上恒成立，
令，所以，
若，则在递增，当时，，不等式不恒成立，
故，当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，
所以，所以，所以，
令，则，
所以，当时，当时，，
所以当时，取得最小值的最小值是.
又，所求最小值是.
故答案为：
3．（2023·贵州·二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参）
【分析】将问题转化为，利用导数求在上的最小值、在上的最小值，即可得结果.
【详解】对任意，，都有不等式成立，
，，，则在区间上单调递增，
∴，
，，，则在上单调递增，
，，则在上单调递减，
，，故，
综上，.
故选：C
4．（22-23高三上·全国·期末）若函数，g(x)=对任意的，不等式恒成立，则整数m的最小值为（ ）
A．2B．1C．0D．-1
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】根据所给不等式转化为时，恒成立，构造函数知其单调递增，利用导数恒大于等于0求解即可.
【详解】因为单调递增，，所以，即，
原不等式恒成立可化为恒成立，
即时，恒成立，
即函数在上为增函数，
所以在上恒成立，
即，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，函数的最大值为，
即恒成立，由知，整数m的最小值为2.
故选：A
5．（2025·天津河北·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)当时，若不等式恒成立，求a的取值范围；
(3)若有两个零点，且，证明：．
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）问题化为且，利用导数研究的性质，并结合分类讨论判断不等式恒成立，即可得参数范围；
（3）由题设，应用分析法将问题化为证明，令，进一步化为证明，利用导数证明不等式即可.
【详解】（1）由题设，则，且，，
所以曲线在处的切线方程为，即；
（2）由题设，即且，
令且，则，
令，则，故在上单调递增，
所以，
当，时，，则在上单调递增，，符合；
当，时，，时，
所以，使，即在上，在上单调递减，从而，不符合；
综上，；
（3）由，则，，且，
所以，故，
要证，需证，即，
需证，令，即，即证，
最终只需证明，令且，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以得证.
6．（2025·河北·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)记．
（ⅰ）若恒成立，求的取值范围；
（ⅱ）若，且，求证：．
【答案】(1)答案见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间
【分析】（1）求导可得，然后分与讨论，即可得到结果；
（2）（i）求导可得，令，当时可得在上恒成立，即可证明，然后再讨论以及即可；（ⅱ）将不等式转化为证，即，再结合（ⅰ）中的结论，即可证明.
【详解】（1）对求导，可得，
当时，恒成立，在上单调递增；
当时，令，解得，
若，则，若，则，
所以在上单调递减，在上单调递增；
（2）（i）由题意，，
令，则，
当时，由（1）可知，在上单调递增，，
所以在上恒成立，所以在上单调递增，
所以，成立，
当时，由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，故，在上恒成立，故，成立，
当时，由（1）可知，在上单调递减，上单调递增，又，
所以当时，，即在上单调递减，
故，不成立，
综上所述，；
（ⅱ）由（2）可知，①，且，要证，只要证，
即，即②，
由①可得，代入②中即证，
即证恒成立，
令，则恒成立，
所以恒成立，故成立．
重难点题型十一 {max,min}函数的综合问题
1．（2023·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知是自然对数的底数，函数，直线为曲线的切线，.
(1)求的值；
(2)①判断的零点个数；
②定义函数在上单调递增.求实数的取值范围.
【解析】（1）由题意得：
设切线的且点位，则可得：，又
可得 ： ①
又因为直线为曲线的切线
故可知 ②
由①②解得：
（2）① 由小问（1）可知：
，
故必然存在零点，且
又因为，当时，
当时，令
故
故在上是减函数
综上分析，只有一个零点，且
② 由的导数为
当时，递增，当时，递减；
对的导数在时，递增；
设的交点为，由（2）中①可知
当时，
，
由题意得：在时恒成立，即有；
在上最值为
故
当时，
，
由题意得：在时恒成立，即有
令，则可得函数在递增，在上递减，即可知在处取得极小值，且为最小值；
综上所述：，即.
2．（2023·全国·高三专题练习）设函数.
（1）若，证明：在上存在唯一零点；
（2）设函数，（表示中的较小值），若，求的取值范围.
【解析】(1)函数的定义域为，因为，当时，，而，所以在存在零点.因为，当时，，所以，则在上单调递减，所以在上存在唯一零点.
（2）由（1）得，在上存在唯一零点，时，时，
.当时，由于；时，，于是在单调递增，则，所以当时，.当时，因为，时，，则在单调递增；时，，则在单调递减，于是当时，，所以函数的最大值为，所以的取值范围为.
重难点题型十二 必要性探路法
1．（2023·江西九江·统考三模）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性：
(2)当时，若，，求实数m的取值范围．
【解析】（1）．
当时，，易知f(x)在R上单调递减．
当时，令，可得；令，可得且，
∴f(x)在和上单调递减，在上单调递增．
当时，令，可得且；令，可得，
∴在和上单调增，在上单调递减．
（2）当时，由，得
即，
令，则
∵，且，∴存在，使得当时，，
∴，即．
下面证明当时，对恒成立．
∵，且，
∴
设，∴，可知F(x)在上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，
∴，∴，∴，
∴
综上，实数m的取值范围为．
2．（2023·江西九江·统考三模）已知函数）在处的切线斜率为.
(1)求a的值；
(2)若，，求实数m的取值范围.
【解析】（1），
，
，，，.
（2）由（1）可知，，
由，得，
令，则，
，且，存在，使得当时，，
，即；
下面证明当时，，
，且，
，
设，，
当时，；当时，；
可知在上单调递减，在上单调递增，
，，，
；
当时，令，则，
设，则，且为单调递增函数，
由于，故，仅在是取等号，
故在上单调递增，，故，即，
则在上单调递增，而，
当时，递增的幅度远大于递增的幅度，，
故必存在，使得，则时，，
故在上单调递减，则，与题意不符；
综上，实数m的取值范围为.
3．（2024·四川攀枝花·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围；
(3)设m，n是两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）首先求导函数的零点，再根据导数与函数单调性的关系，即可求解函数的单调区间；
（2）法一：由不等式化简得在上恒成立，再构造函数，利用导数求函数的最小值，再讨论，即可求解；法二：由不等式恒成立，转化为在上恒成立，再变形为在上恒成立，通过构造函数，利用导数求函数的最小值，再讨论，即可求解；
（3）由分析法，转化为证明，再由已知条件构造函数，再根据函数的图象，结合函数的图象和性质，转化为证明，再代入后转化为构造函数，利用导数求函数的最小值.
【详解】（1）的定义域为
由，解得
所以当及时，，故在上单调递减；
当时，，故在上单调递增
（2）法一：由题知不等式在上恒成立，
等价于不等式在上恒成立
设，
则，解得，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以在上有最小值
①当时，因为，所以不等式恒成立：
②当时，因为，而，此时不满足恒成立；
综上所述，
法二：由题知不等式在上恒成立，
等价于不等式在上恒成立
即在上恒成立．
设，则，解得，
当，，单调递减，当，，单调递增，
所以在上有最小值．
因为，所以，即
①当时，因为，所以不等式恒成立；
②当时，因为，而，此时不满足恒成立；
综上所述，
（3）证明：要证，只需证：
由，只需证：
不妨设，则有：；
两边取指数得，化简得
设，则
由（1）得在上单调递减，在上单调递增（如图所示），
要使且，
则，即，从而．
要证，只需证：
由于在上单调递增，只需证：，
又，只需证：
只需证：．
设，则
设，则在上单调递增．
所以，从而
所以在上单调递减，从而，则，
所以
4．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数，
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)若时，恒成立，求的范围；
(3)若在内有两个不同零点、，求证：.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、导数中的极值偏移问题
【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）由已知不等式结合参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可求出实数的取值范围；
（3）分析可知，要证所证不等式成立，即证且，要证，即证，利用诱导公式结合指数函数的单调性即可证明；要证，即证，构造函数，只需证，利用导数分析函数的单调性，即可证得结论成立.
【详解】（1）当时，，则，
所以，，.
故切线方程为，即，
（2）因为在上恒成立，
进而，即．
令，其中，则，
当时，，则，此时，函数单调递增，
当时，，则，此时，函数单调递减，
当时，，因为，因此，
所以，，故，
因此，实数的取值范围是.
（3）因为函数在内有两个不同零点、，
则方程在内有两个根、，即，
由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减．
故，欲证，即证，
由于且函数在单调递减．所以只需证明，
即证，欲证，即证，即，
即证，即证，而该式显然成立，
欲证，即证，且，即证，
即证，即证，即证，
令，只需证，
，
令，
所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证．
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
0
+
0
↗
极大值
↘