新高考数学二轮复习提升讲与练专题06函数与导数 微专题3 导数与函数零点问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提升讲与练专题06函数与导数 微专题3 导数与函数零点问题（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了考点透析等内容，欢迎下载使用。
微专题3 导数与函数零点问题
一、考点透析
考点1 函数零点个数的判断或证明
（1）基本思路：通过求导分析函数的单调性、极值点，结合函数图象走势（草图）判断零点个数.
（2）常用方法：
直接法：研究函数单调性与极值，转化为函数图象与x轴交点问题;
构造新函数法：将零点问题转化为两个函数图象的交点问题;
分离参数法：将问题转化为a=g(x)，通过直线y=a与y=g(x)的交点个数求解.
方向1 函数零点个数的证明
1．（24-25高二下·河北·期末）已知函数．
(1)已知，证明：函数在上单调递减；
(2)已知，证明：；
(3)当时，令，证明：在上恰有一个零点．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1），
令，则，
令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
在处取得极小值，也是最小值，所以．
所以，又因为，所以，又，所以，所以函数在上单调递减；
（2）因为由（1）知：当时，函数在上单调递减，
又，所以，
所以，所以，
令，则，
令，解得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
在处取得极大值，也是最大值，所以，
所以，所以即，当且仅当时，等号成立；
因为，所以，所以，
所以；
（3）因为，，
所以，令，则，
当时，，，所以在上单调递增，
又，，，
所以由零点存在定理，存在唯一的使，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又，，，，，又，
由零点存在定理可知，存在唯一的使
当时，，，在区间上无零点．
综上，在上恰有一个零点
2．（23-24高二下·吉林松原·期末）罗尔 中值定理是微分学中的一条重要定理，根据它可以推出拉格朗日中值定理和柯西 中值定理，它们被称为微分学的三大中值定理. 罗尔中值定理的描述如下：如果函数 满足三个条件①在闭区间 上的图象是连续不断的，②在开区间内是可导函数，③，那么在 内至少存在一点，使得等式成立.
(1)设方程 有一个正根，证明：方程 必有一个小于的正根.
(2)设函数是定义在上的连续且可导函数，且.证明：对于，方程 在 内至少有两个不同的解.
(3)设函数.证明：函数在区间 内至少存在一个零点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）证明：令函数，
显然在 上连续，在内可导，
则，
由条件知，
由罗尔中值定理知，至少存在一点，使得，
即方程必有一个小于的正根.
（2）令，则.
由，得，所以.
因为，所以，
由罗尔中值定理知，至少存在一个，使得，
即.
同理，因为，由罗尔中值定理知，
至少存在一个，使得，所以 .
故方程在内至少存在两个不同的解.
（3）证明：令 ，则 .
由，得，
则，又因为 是连续且可导函数，
由罗尔中值定理知，存在，使得，
则 ，所以.
故函数区间 内至少存在一个零点.
方向2 函数零点个数的判断
1.(2025·山东省临沂市·模拟)已知函数f(x)=csx+mx+π2sinx，其中m≤1．
(1)证明：曲线y=f(x)是中心对称图形；
(2)讨论函数f(x)在−π,0内零点的个数；
(3)若存在t>0，当x∈−π2−t,−π2时，总有|f(x)|0，故函数f(x)在−π,0上单调递增，且f(−π)f(1)0，故g(x)在(0,+∞)上单调递增，
又g(1)=0，故当x∈(1,+∞)时，g(x)>0，故由g(a)>0得a>1，
下证a>1时，问题成立
当a>1时，由fe−1=1e2+1e+ae−2e>0，则fe−1⋅f(a)0，则f(a)⋅f(3a)a>1，
结合零点存在性定理知，在(a,+∞)存在唯一实数x2，使得fx2=0，
综上，当f(x)有两个零点时，a∈(1,+∞)．
考点2 已知函数零点情况求参数值或范围
常用方法：
分离参数：转化为a=g(x)，利用g(x)的值域或最值确定参数范围;
零点存在性定理：结合单调区间和端点函数值符号构建不等式;
分类讨论：对参数分段讨论函数单调性，利用极值符号判断零点存在性.
1.(2025·云南省曲靖市·模拟)已知函数f(x)=ax+bx−2(00，所以f′x在R上单调递增，
因为00，ℎ(x)单调递增，
当x∈(−1,1)时，ℎ ′(x)0，ℎ(x)单调递增，
所以ℎ(x)的极大值为ℎ(−1)=1，极小值为ℎ(1)=−3，
∴λ的取值范围为(−3,1)．
故选：A．
关注点： 利用零点存在原理区间端点取值技巧
1.(2025·云南省红河哈尼族彝族自治州·模拟)已知函数f(x)=ax2+(a−2)x−lnx．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）见解析
（2）(0,1)
【解析】解：(1)f′(x)=2ax+(a−2)−1x=(ax−1)(2x+1)x(x>0) ，
若a≤0，f′(x)0，当x∈(0,1a)时，f′(x)0，即f(x)在(1a,+∞)上单调递增.
(2)若a≤0，f′(x)0，由(1)可知，f(x)的最小值为f(1a)=lna−1a+1 ，
令ℎ(a)=lna−1a+1，ℎ′(a)=1a+1a2>0，
所以ℎ(a)在(0,+∞)上单调递增，
又ℎ(1)=0，
当ℎ(a)≥0时，a∈[1,+∞),f(x)至多一个零点，不符合题意，
当ℎ(a)0，
可知f(x)在(1e,1a)有一个零点，
令g(x)=x−lnx，g′(x)=1−1x=x−1x，
当x∈(0,1)时，g(x)单调递减，
当x∈(1,+∞)时，g(x)单调递增，g(x)的最小值为g(1)=1>0，
所以x>lnx，
当x⩾3−aa时，f(x)=ax2+(a−2)x−lnx
>ax2+(a−2)x−x=ax2+(a−3)x=x(ax+a−3)⩾0，
结合单调性可知f(x)在(1a,3−aa)有一个零点，
综上所述，若f(x)有两个零点，a的取值范围是(0,1)．
2.(2025·宁夏回族自治区银川市·模拟)已知函数f(x)=3ln(x+1)+1asinax+bx(a≠0)．
(1)当b=0时，证明：f(x)在(−1,2]上单调递增；
(2)当a=1，b=−4时，求f(x)的零点；
(3)当a=π2，b−1，求导得g ′(x)=−3(x+1)2−sin x，
当−1