新高考数学二轮复习提升讲与练专题06　第2讲　基本初等函数、函数的应用（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提升讲与练专题06　第2讲　基本初等函数、函数的应用（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了学习目标，真题扫描，考点透析，跟踪练习等内容，欢迎下载使用。
第2讲 基本初等函数、函数的应用
一、学习目标：
1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型；
2.函数零点的个数判断及参数范围是高考热点，常以压轴题的形式出现.
二、真题扫描
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（ ）
A．，且B．，且
C．，且D．，且
【答案】D
【详解】∵，∴，
当时，定义域上严格单调递减，
此时若，则一定有成立，故D正确，C错误；
当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误.
故选：D
3．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
4．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2hB．4hC．20hD．40h
【答案】B
【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,
由题意，，
，
，
因为，所以，
所以，
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
三、考点透析
考点1 基本初等函数性质
1．（2025·河南信阳·模拟预测）已知函数的图象过原点，且无限接近于直线，但不与该直线相交，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由函数的图象无限接近于直线，但不与该直线相交可得，
又因函数的图象过原点，则，故.
故选：C.
2．（2025·湖南长沙·一模）已知为奇函数，则实数a的值是 ．
【答案】4
【详解】由题意知，得，
令，解得或，
又该函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称，
所以，解得，即，
令，其定义域为，
，满足题意，
故答案为：4．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）关于函数，下列说法不正确的是（ ）
A．的定义域为B．在区间上单调递增
C．的值域为D．的图象关于原点对称
【答案】C
【详解】选项A：由题意，即，
所以，即，解得，故A正确；
选项B：令，
当时，单调递减，
所以在上单调递增，
又当时，函数在上单调递增，
根据复合函数单调性原则可知在上单调递增，故B正确；
选项C：因为，所以，
则，所以，
则，
所以值域为，故C错误；
选项D：因为定义域为关于原点对称，且，
所以，
所以为奇函数，图象关于原点对称，故D正确.
故选：C
考点2 函数与方程
热点1 函数零点的判断
1．（2025·安徽·一模）已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由于点在幂函数的图象上，所以，
所以，则.
又因为函数在上都单调递增，
则函数在定义域上单调递增，
，
因为，即，所以，
，
因为，即，所以，
因为在上单调递增，，
所以在上只有一个零点，且在内.
故选：C.
2．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，

它们的大致图象如上图示，易知，其中.
故选：A
热点2 根据零点求参数值或范围
1．（2025·云南楚雄·模拟预测）若函数恰好有一个零点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】令，可得.因为函数恰好有一个零点，
所以由指数函数图象可知，直线与曲线相切.
易知，设切点坐标为，则，解得.
又切点在切线上，所以，
所以.
故选：B
2．（2025·四川泸州·一模）已知函数的定义域为，当时，，且对任意的都满足．若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是 ．
【答案】或
【详解】因为，所以关于对称，且的图象是过点的折线，
由时，，作出与的图象如下图所示，
当时，函数是过定点，开口向上的折线，
如图，只有当直线与在上的图象相切时，函数与的图象恰有两个交点，
设切点，其中，的导数为，所以处切线斜率为，
所以，解得，满足条件，所以；
当时，函数与的交点情况如下图所示，
所以时，函数与的图象有个交点，满足条件；
当时，函数是过定点，开口向下的折线，如图所示，
此时函数与的图象恒有两个交点，满足条件；
综上所述，实数的取值范围是或，
故答案为：或.
热点3 多零点关联问题
1．（24-25·安徽·阶段练习）已知函数，若函数有零点，记为，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．任意直线都与函数的图象有交点
C．当时，的取值范围为
D．当时，的取值范围为
【答案】ACD
【详解】
对于A，如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象，由图象知，故A正确；
对于B，过点作直线，与函数的图象没有交点，故B不正确；
对于C，当时，，
由，则，
由可得，从而，
所以，故C正确；
对于D，，则，故D正确；
故选：ACD．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】当时，，为开口向下，对称轴为的抛物线，
因为有三个零点，不妨令，
所以有三个不相等的根，
即与图象有三个不同的交点，
作出图象，如图所示

所以，
因为为方程，即的两个不相等实根，
所以，
因为为方程的根，所以，
所以，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以.
故选：D
考点3 函数模型及其应用
1．（2025·福建三明·模拟预测）随着人工智能的爆火，其已被广泛地用来实现语义分析、计算推理、问答对话、代码编写等任务，其实现指令的背后主要靠大语言模型算法，其中函数：是算法中被广泛使用的一种激活函数．激活函数的一个重要作用是执行数据的归一化，将输入数据映射到某个范围内，再往下传递，这样做的好处是可以限制数据的扩张，防止数据过大导致的溢出风险．函数是函数的改进版，，那么下列说法正确的是（ ）
A．函数可以将所有输入值映射到范围内
B．函数和函数图象的对称中心相同
C．复合模型函数有偶数个零点
D．函数和函数的图象仅有一个公共点
【答案】D
【详解】对于A，，所以函数不能将所有输入值映射到范围内，故A错误；
对于B，函数和函数的定义域均为，即
图象的对称中心为；
，所以函数是奇函数，图象的对称中心是，故B错误；
对于C，的定义域为,
，
∴是奇函数，零点关于原点对称.
而,函数有奇数个零点.
对于D，令则即，
解得，∴.故D正确.
故选：D.
四、跟踪练习
1．（2025·河北·模拟预测）函数的部分图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为，由余弦函数性质可知，
又，且函数在上单调递增，得.
所以当时，，BD错误.
又时，，得，A错误.
故选：C.
2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A．B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，则，即，
所以.
故选：D.
3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
4．（25-26高二上·安徽·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．有3个实数根
C．若有4个实数根，从小到大分别为，则
D．若有8个实数根，则
【答案】ABC
【详解】对于A，由题意，，故A正确；
对于B，当时，由可得，
解得，因，故得；
当时，由可得，或，解得或，
故有、、共三个实数根，故B正确；
对于C，作出函数的图象，由时，，
且，可知当时，直线与函数有两个交点；
又由时，，当时，直线与函数均有两个交点，
故由有4个实数根可得，，由图知，，
，则，解得，
又由解得，由解得，则有，
于是，因函数在单调递减，故，
则，故C正确；
对于D，设，则方程即，
由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根，
且，，则由解得或，
设，依题意，需使，则得，
综上，可得，故D错误.
故选：ABC.
5．（2025·山东烟台·三模）已知函数，若，则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【详解】已知，其中和均为单调递增函数，且定义域为，
所以在上单调递增，且，
可得，可得，解得，
故答案为：.
6．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为RB．函数的值域为
C．D．函数为减函数
【答案】ABC
【详解】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确；
B：，
因为，所以，
因此函数的值域为，所以本选项说法正确；
C：因为，
所以本选项说法正确；
D：因为，
所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确，
故选：ABC
7．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围是
【答案】
【详解】作出的图象，
令，则方程，即为，
有4个不同的实数根，则在内有两个不等实根，
所以，解得，
所以实数m的取值范围为.
故答案为：.