新高考数学二轮复习提升讲与练专题06函数与导数 第3讲 导数与函数单调性、极值、最值（2份，原卷版+解析版）

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第3讲 导数与函数的单调性、极值、最值
一、考点透析
考点1 导数与函数单调性
1．（25-26高三上·北京朝阳·期中）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由题知，，而在区间上是单调函数，
则或在时恒成立，
当在恒成立时，，
由幂函数性质可知在上递增，则，
故当在恒成立时，等价于，即；
当在恒成立时，，
此时，即.
综上，.
故选：A
2．（2025高三·全国·专题练习）若对于，都有成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以，即．
令，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减．
故时满足题意，所以的最大值为1．
故选：B．
考点2 导数与函数极值
1．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则
【答案】
【详解】由题意有，
所以，
因为是函数极值点，所以，得，
当时，，
当单调递增，当单调递减，
当单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
所以.
故答案为：.
2．（25-26高三上·吉林长春·期中）已知函数有两个极值点与，若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意的两个根为与，
即，所以，
同理，即，
令，则为方程的两个不相等实根，
，则，
所以判别式，解得.
又
，所以，
综上，实数的取值范围.
故答案为：
3.（2025·浙江宁波·三模）已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题设，
由，所以，
当或时，，即在、上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以极小值点为，极大值点为，
而，
且，
所以，只需，即，
所以.
故选：D
考点3 恒成立与能成立问题
1.若函数h（x）＝ln x－12ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（）
A.[－1，＋∞） B.（－1，＋∞）
C.（－∞，－716］D.（－∞，－716）
【答案】D
【详解】 因为函数h（x）＝ln x－12ax2－2x在[1，4]上存在单调递增区间，
所以存在x∈[1，4]，使h'（x）＝1x－ax－2＞0成立，
即存在x∈[1，4]，使a＜1x2－2x成立，令G（x）＝1x2－2x，x∈[1，4]，
变形得G（x）＝（1x－1）2－1，
因为x∈[1，4]，所以1x∈［14，1］，
所以当1x＝14，即x＝4时，G（x）max＝－716，所以a＜－716，
故选D.
2.（2025·昆明三诊一模）已知函数f（x）＝lnxx+1.当x≥1时，f（x）≤a（x－1），求a的取值范围.
【答案】a的取值范围为［12，＋∞）
【详解】当x∈[1，＋∞）时，f（x）≤a（x－1）等价于ln x≤a（x2－1），
令g（x）＝a（x2－1）－ln x，x∈[1，＋∞），则ln x≤a（x2－1）在[1，＋∞）上恒成立，即g（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立.
g'（x）＝2ax－1x＝2ax2－1x，
当a≤0时，g'（x）＜0，g（x）在[1，＋∞）上单调递减，
所以g（x）≤g（1）＝0，不符合题意；
当0＜a＜12时，由g'（x）＝0得，x＝12a＞1，
x∈［1，12a）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，
所以x∈［1，12a）时，g（x）≤g（1）＝0，不符合题意；
当a≥12时，2a≥1，因为x≥1，所以2ax2－1≥0，则g'（x）≥0，
g（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）＝0，符合题意.
综上所述，a的取值范围为［12，＋∞）.
3.（2025·上海·高考真题）已知．
(1)略
(2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围；
【答案】(1)略
(2)且.
【详解】（1）略
（2）在有极大值即为有极大值点.
，
若，则时，，时，，
故为的极小值点，无极大值点，故舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
若，则时，，无极值点，舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
综上，且.
考点4 切线问题
1.（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的切线，则 .
【答案】
【详解】法一：对于，其导数为，
因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，
令，即，解得，
将代入切线方程，可得，
所以切点坐标为，
因为切点在曲线上，
所以，即，解得.
故答案为：.
法二：对于，其导数为，
假设与的切点为，
则，解得.
故答案为：.
2.若曲线y＝（x－a）ex有两条过点（1，0）的切线，则a的取值范围是 .
【答案】（－∞，1）∪（5，＋∞）.
【详解】由y＝（x－a）ex得y'＝（x－a＋1）ex，
设切点坐标为（x0，（x0－a）ex0），则切线斜率k＝（x0－a＋1）ex0，
切线方程为y－（x0－a）ex0＝（x0－a＋1）ex0（x－x0），
又因为切线过（1，0），所以0－（x0－a）ex0＝（x0－a＋1）ex0（1－x0），
整理得x02－（a＋1）x0＋2a－1＝0，又曲线有两条过点（1，0）的切线，
所以该方程有两个实数解，所以Δ＝（a＋1）2－4（2a－1）＞0，解得a＜1或a＞5，
所以a的取值范围是（－∞，1）∪（5，＋∞）.
3.（2024·新高考Ⅰ卷）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，则a＝ ；
【答案】ln 2
【详解】（1）由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'｜x＝0＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1，
由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝1x+1，
设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），
由两曲线有公切线得y'｜x＝x0＝1x0+1＝2，解得x0＝－12，则切点为（－12，a＋ln12），
由切点在直线y＝2x＋1上得，a＋ln12＝0，故a＝ln 2.
考点5 导数与其他知识综合
1．（25-26高三上·吉林长春·月考）等差数列的前项和为，，是函数的极值点，则
【答案】45
【详解】，
令，可得或，
由二次函数图象与性质可知，在2和8两侧函数值符号相反，
所以2和8是函数的极值点，
所以，
所以，
故答案为：
2．（25-26高三上·河北保定·期中）已知，其中.
(1)当时，求证：是函数的极小值点；
(2)求在上的最小值；
(3)若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，函数的定义域为，
则，
∵在上单调递增，在上单调递增，
∴在上单调递增，
∵，
∴当时，，则函数单调递减，当时，，则函数单调递增，
∴是函数的极小值点.
（2），则，
当时，，∴函数单调递增，
当时，，∴函数单调递减，
当时，，∴函数单调递增，
当时，，∴函数单调递减，
，，，
∴在上的最小值为.
（3）由（2）可知，当时，.
对任意，总存在，使得成立，
即对任意，使得恒成立，
即在上恒成立.
令，则，
由（1）可知在上单调递增，
又∵时，，时，，
故一定存在，使得，
即当时，，单调递减，当时，，单调递增，
∴，
又∵，即，
则恒成立.
令，，
则，，
∴，∴，
即函数在上单调递减，且，
∴，
则
令，，故函数在上单调递减，
∴.
二、跟踪练习
1.（2025·湖南长沙·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得在上恒成立，
则.
因为，
要使得不等式恒成立，则．
故选：D.
2.已知函数f（x）＝－12x2－3x＋4ln x在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是 .
【答案】[0，1）
【详解】由f（x）＝－12x2－3x＋4ln x（x＞0），得f'（x）＝－x－3＋4x，
∵函数f（x）在（t，t＋2）上不单调，
∴f'（x）＝－x－3＋4x在（t，t＋2）上有变号零点，
∴x2+3x－4x＝0在（t，t＋2）上有解，
∴x2＋3x－4＝0在（t，t＋2）上有解，由x2＋3x－4＝0，得x＝1或x＝－4（舍去），
∴1∈（t，t＋2），∴t∈（－1，1），又f（x）的定义域为（0，＋∞），
∴t≥0，∴t∈[0，1），故实数t的取值范围是[0，1）.
3.已知定义在（0，＋∞）上的函数f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，设两曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点处的切线相同，则m＝ 5 .
【答案】5
【详解】依题意，设曲线y＝f（x）与y＝h（x）在公共点（x0，y0）处的切线相同.
∵f（x）＝x2－m，h（x）＝6ln x－4x，
∴f'（x）＝2x，h'（x）＝6x－4，
∴f（x0）＝ℎ（x0),f'(x0）＝ℎ'(x0),即x02－m=6ln x0－4x0，2x0＝6x0－4，
∵x0＞0，∴x0＝1，m＝5.
4.（2025·四川·三模）已知直线是曲线的一条切线，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【详解】设，，
设切点为，根据切线斜率为1，则，
解得，则，则切点坐标为，则，解得.
故选：C.
5．（25-26高三上·辽宁·期中）已知，函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：存在唯一的极值点；
(3)若存在使得对任意成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1），
则，可得切线方程为：，
即；
（2）证明函数存在唯一的极值点，即证明在上存在唯一变号零点；
，设，
求导得，则在上单调递减，
而，
，
在上存在唯一变号零点，所以存在唯一的极值点；
（3）根据题意，存在，对任意，
考虑到，
令，则其导函数为：，
由（2），设的变号零点为，
即，
可得，则有，
并且可知在上，得在上递增，
在上，得在上递减，
则,
命题转化为：存在，
令，
，
当时，在上递减；
当时，在上递增；
则，
，即.