新高考数学二轮复习专题训练一 函数与导数 第9讲　零点问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题训练一 函数与导数 第9讲　零点问题（2份，原卷版+解析版），共8页。
目录
【真题自测】2
【考点突破】3
【考点一】零点问题3
【专题精练】5
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·全国·高考真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
三、解答题
3．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．
(1)当时，求的单调区间.
(2)求证：不经过点.
(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？
（参考数据：，，）
4．（2022·天津·高考真题）已知，函数
(1)求曲线y=fx在处的切线方程；
(2)若曲线y=fx和y=gx有公共点，
（i）当时，求的取值范围；
（ii）求证：．
5．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的最大值；
(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．
6．（2022·全国·高考真题）已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
7．（2022·全国·高考真题）已知函数
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．
8．（2021·全国·高考真题）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点
①；
②．
考点突破
【考点一】零点问题
一、单选题
1．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·山东济南·一模）函数（且）的零点个数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·河南洛阳·一模）已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
4．（2024·湖北·一模）已知函数存在两个极值点，且，．设的零点个数为，方程的实根个数为，则（ ）
A．当时，B．当时，
C．一定能被3整除D．的取值集合为
5．（2024·云南昆明·模拟预测）已知函数（ ）
A．在上单调递增B．在上单调递增
C．在上有唯一零点D．在上有最小值为
6．（2024·山西临汾·一模）已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（ ）
A．函数有且仅有两个零点
B．函数有且仅有三个零点
C．当时，不等式恒成立
D．在上的值域为
三、填空题
7．（2024·福建龙岩·三模）已知函数有且只有一个零点，则ab的取值范围为 .
8．（2024·陕西西安·一模）若不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
9．（2024·山东济宁·一模）已知函数（且）恰有一个零点，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
10．（2024·广东汕头·三模）已知函数.
(1)若曲线在处的切线与轴垂直，求的极值.
(2)若在只有一个零点，求.
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)若，讨论曲线与曲线的交点个数．
12．（2023·山西·模拟预测）已知函数.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点（），求证：.
规律方法：
(1)求解函数零点(方程根)个数问题的步骤
①将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题．
②利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质．
③结合图象求解．
(2)已知零点求参数的取值范围
①结合图象与单调性，分析函数的极值点．
②依据零点确定极值的范围．
③对于参数选择恰当的分类标准进行讨论．
专题精练
一、单选题
1．（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）的零点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·四川成都·一模）已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·广西·模拟预测）若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·四川·模拟预测）已知函数若函数有5个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．1,4D．1,+∞
6．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）若函数存在零点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（ ）
A．1B．2C．1或2D．1或3
8．（2023·四川内江·一模）已知函数有两个零点，则的最小整数值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
二、多选题
9．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）关于函数，，下列说法正确的是（ ）
A．若过点可以作曲线的两条切线，则
B．若在上恒成立，则实数的取值范围为
C．若在上恒成立，则
D．若函数有且只有一个零点，则实数的范围为
10．（23-24高二下·重庆·阶段练习）定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A．，B．函数的极大值与极小值之和为6
C．函数有三个零点D．函数在区间上的最小值为1
11．（22-23高二下·重庆·期中）小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数在区间有定义，且对，，，若恒有，则称函数在区间上“严格下凸”；若恒有，则称函数在区间上“严格上凸”．现已知函数，为的导函数，下列说法正确的是（ ）注：为自然对数的底数，，．
A．有最小值，且最小值为整数
B．存在常数，使得在“严格下凸”，在“严格上凸”
C．恰有两个极值点
D．恰有三个零点
三、填空题
12．（2024·河南信阳·模拟预测）若过点仅可作曲线的两条切线，则的取值范围是 .
13．（23-24高三上·河南焦作·期末）若函数在上没有零点，则实数的取值范围为 ．
14．（23-24高三上·天津南开·阶段练习），若有且只有两个零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
15．（2024·广东·二模）已知.
(1)求的单调区间；
(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.
16．（2023·北京西城·模拟预测）已知函数.
(1)若，求在处切线方程；
(2)求的极大值与极小值；
(3)证明：存在实数，当时，函数有三个零点.
17．（2024·河南郑州·三模）已知函数.
(1)若，求在1,f1处的切线方程；
(2)讨论的零点个数.
18．（2024·广东广州·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在上仅有两个零点，求实数的取值范围.
19．（2024·北京房山·一模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极大值；
(3)若，求函数的零点个数．