新高考数学二轮复习提升讲与练专题06函数与导数 微专题2 含参不等式恒（能）成立问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提升讲与练专题06函数与导数 微专题2 含参不等式恒（能）成立问题（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了考点透析，跟踪练习等内容，欢迎下载使用。
微专题2 含参不等式恒（能）成立问题
一、考点透析
方向1：分离参数法解决不等式恒（能）成立问题
部分问题可利用不等式的性质恒等变形使参数与变量进行分离，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题．一般地，若a＞f(x)对x∈D恒成立，则只需a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D恒成立，则只需a＜f(x)min.
1.(2025·浙江省·月考)若f(x)=xlnx+x2−mx+e2−x≥0，则实数m最大值为 ．
【答案】3
【解析】 解：由题意知，mx⩽xlnx+x2+e2−x，
即m⩽lnx+x+e2−xx，
则m的最大值即为lnx+x+e2−xx的最小值．
lnx+x+e2−xx=lnx+lnex+e2xex=lnxex+e2xex，令xex=t，t>0，
构造函数，ℎ(t)=lnt+e2t，t>0，
则ℎ′(t)=1t−e2t2=t−e2t2，
当00时，函数f(x)在上单调递减，在−lna,+∞上单调递增；
（2）e−3+1,+∞
【解析】（1）略
(2)f(x)≥ex恒成立等价于(a−1)ex≥x−2，即a−1≥x−2ex，
令，当x3时，，
所以函数g(x)在(−∞,3)上单调递增，在(3,+∞)上单调递减，
所以，所以，即，
所以a的取值范围为e−3+1,+∞．
方向2：分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题
此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的极值或最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法．
1.(2025·广东省东莞市·联考)设函数f(x)=ax2−a−lnx，其中a∈R.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)确定a的所有可能取值，使得f(x)>1x−e1−x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数)．
【答案】(Ⅰ)在(0,+∞)内单调递减，
当a>0时,f(x)在x∈(0,1 2a)内单调递减，在内单调递增；
(Ⅱ)[12,+∞)
【解析】(Ⅰ)略
(Ⅱ)令g(x)=1x−1ex−1，s(x)=ex−1−x，x∈(1,+∞)，
则s′(x)=ex−1−1，
而当x>1时，s′(x)>0，
所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增，
又由s(1)=0，有s(x)>0，
从而当x>1时，g(x)>0；
当a≤0，x>1时，f(x)=a(x2−1)−lnxg(x)在区间(1,+∞)内恒成立时，必有a>0，
当0g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立，
当a≥12时，令ℎ(x)=f(x)−g(x)(x>1)，ℎ′(x)=2ax−1x+1x2−e1−x>x−1x+1x2−1x=x3−2x+1x2>x2−2x+1x2>0，
因此，ℎ(x)在区间(1,+∞)单调递增，
又因为ℎ(1)=0，
所以当x>1时，ℎ(x)=f(x)−g(x)>0，
即f(x)>g(x)恒成立，
综上，a∈[12,+∞)．
2.(2025·云南省曲靖市·模拟)已知函数f(x)=(1+x)b−bx−1(b>0)．
(1)当b=3时，求函数f(x)在[−3,2]上的值域;
(2)若f(x)≥0在(−1,+∞)上恒成立，求实数b的取值范围．
【答案】(1)值域[0,20]；
【解析】(1)略；
(2)f′(x)=b(1+x)b−1−b=b[(1+x)b−1−1]，
令g(x)=(1+x)b−1−1，则g′(x)=(b−1)(1+x)b−2，
∵x>−1，
∴1+x>0，故(1+x)b−2>0，
∴ ①当b=1时，f(x)=1+x−x−1=0，满足f(x)≥0恒成立;
②当b>1时，g′(x)>0，故g(x)在(−1,+∞)上单调递增，又g(0)=0，
∴x∈(−1,0)时，g(x)0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增，
∴f(x)min=f(0)=1−1=0，满足f(x)≥0恒成立;
③当00上恒成立，
令g(x)=ex−x2+x−1x，
则g′(x)=(x−1)(ex−x−1)x2，
令ℎ(x)=ex−x−1，ℎ′(x)=ex−1，
由(1)可知，ℎ(x)在(0,+∞)为增函数，
∴ℎ(x)>ℎ(0)=0，即ex−x−1>0，
故当x≥1时，则g′(x)≥0，当0