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    新高考数学二轮复习强化讲与练专题06 导数与函数的零点问题(讲)(2份打包,原卷版+解析版)

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    1.(2021·北京·高考真题)已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,给出下列四个结论:
    ①若 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 恰 有2个零点;
    ②存在负数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 恰有1个零点;
    ③存在负数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点;
    ④存在正数 SKIPIF 1 < 0 ,使得 SKIPIF 1 < 0 恰有3个零点.
    其中所有正确结论的序号是_______.
    2.(2019·全国·高考真题(文))已知函数 SKIPIF 1 < 0 .证明:
    (1) SKIPIF 1 < 0 存在唯一的极值点;
    (2) SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
    3.(2021·浙江·高考真题)设a,b为实数,且 SKIPIF 1 < 0 ,函数 SKIPIF 1 < 0
    (1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
    (2)若对任意 SKIPIF 1 < 0 ,函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点,求a的取值范围;
    (3)当 SKIPIF 1 < 0 时,证明:对任意 SKIPIF 1 < 0 ,函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点 SKIPIF 1 < 0 ,满足 SKIPIF 1 < 0 .
    (注: SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数)
    总结规律 预测考向
    (一)规律与预测
    1.高考对导数的考查要求一般有三个层次:第一层次主要考查求导公式,求导法则与导数的几何意义;第二层次是导数的简单应用,包括求函数的单调区间、极值、最值等;第三层次是综合考查,如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等,包括解决应用问题,将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合,设计综合题.
    2.涉及导数与零点问题,主要有:函数零点个数的判断与证明、根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等
    (二)本专题考向展示

    考点突破 典例分析
    考向一 函数零点个数的判断与证明
    【核心知识】
    解函数零点问题的一般思路
    (1)对函数求导.
    (2)分析函数的单调性,极值情况.
    (3)结合函数性质画函数的草图.
    (4)依据函数草图确定函数零点情况.
    【典例分析】
    典例1.(2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习(文))已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,则方程 SKIPIF 1 < 0 的解的个数是( )
    A.0B.1C.2D.3
    典例2. (2022·吉林长春·模拟预测)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的值域;
    (2)讨论函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数.
    典例3.(2019·全国·高考真题(理))已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的导数.证明:
    (1) SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 存在唯一极大值点;
    (2) SKIPIF 1 < 0 有且仅有2个零点.
    【规律方法】
    1. 利用导数判断或证明函数零点个数的策略:借助导数研究函数的单调性、极值后,通过极值的正负以及函数的单调性判断函数图象的走势,从而判断零点个数.
    2.常用方法:
    (1)直接法:直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题.
    (2)构造新函数法:将问题转化为研究两函数图象的交点问题;
    (3)分离参数法:分离出参数,转化为a=g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是直线y=a与函数y=g(x)图象交点的个数问题.只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可.
    考向二 根据函数零点的情况求参数取值范围
    【核心知识】
    利用函数零点的情况求参数范围的方法
    (1)分离参数(a=g(x))后,将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解;
    (2)利用零点的存在性定理构建不等式求解;
    (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.
    【典例分析】
    典例4. (2022·青海玉树·高二期末(理))已知 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间与极值;
    (2)若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有两个不同的实数根,求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
    参考数据: SKIPIF 1 < 0
    典例5.(2022·山东菏泽·高三期中)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (1)若 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的极值;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内有零点,求实数a的取值范围.
    典例6. (2022·辽宁·高三期中)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
    (2)当a=1时,若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个零点,求实数t的取值范围.
    【总结提升】
    已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法:
    (1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围;
    (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;
    (3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解
    考向三 与零点相关的不等式恒成立或证明问题
    【核心知识】
    1.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(即可)或恒成立(即可);② 数形结合( 图象在 上方即可);③ 讨论最值或恒成立;④ 讨论参数,排除不合题意的参数范围,筛选出符合题意的参数范围.
    2.含参数的不等式恒成立的处理方法:①的图象永远落在图象的上方;②构造函数法,一般构造,;③参变分离法,将不等式等价变形为,或,进而转化为求函数的最值.
    3.利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立,可根据以下原则进行求解:
    (1),;
    (2),;
    (3),;
    (4),.
    【典例分析】
    典例7. (2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中(理))已知函数 SKIPIF 1 < 0 ,若方程 SKIPIF 1 < 0 有3个不同的实根 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    典例8.【多选题】(2022·山东·青岛二中高三期中)已知函数 SKIPIF 1 < 0 若函数 SKIPIF 1 < 0 有四个不同的零点: SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则以下结论正确的是( )
    A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
    典例9.(贵州省六盘水市2021-2022学年高二下期末)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)讨论 SKIPIF 1 < 0 的单调性;
    (2)若 SKIPIF 1 < 0 有两个不相同的零点 SKIPIF 1 < 0 ,证明 SKIPIF 1 < 0 .
    典例10. (辽宁省名校联盟2022-2023学年高三上学期11月份联合考试数学试题)已知函数 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
    (2)设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的两个零点,证明: SKIPIF 1 < 0 .
    典例11.(2022·广西柳州·高三阶段练习(理))已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 .
    (1)求 SKIPIF 1 < 0 的单调区间;
    (2)当 SKIPIF 1 < 0 时,若关于x的方程 SKIPIF 1 < 0 存在两个正实数根 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ),证明: SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
    典例12. (2022·四川·成都市第二十中学校高三期中)已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
    (1)若函数 SKIPIF 1 < 0 有两个不同的零点, 求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围;
    (2)若方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实根 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , 且 SKIPIF 1 < 0 ,求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围
    【规律方法】
    1.不等式的恒成立问题,往往可转化为函数的最值的符号来讨论,也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题,转化中注意等价转化.
    2. 在解题过程中,必要时可作出函数图象,借助几何图形直观分析转化.通过围绕参数分类讨论不等式是否成立,不失为一种好的方法.

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