新高考数学二轮复习核心考点精讲精练专题06 导数与函数的零点问题（讲）（2份，原卷版+解析版）

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真题体验 感悟高考
1．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
2．（2019·全国·高考真题（文））已知函数.证明：
（1）存在唯一的极值点；
（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【答案】（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）先对函数求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一，使得，进而可得判断函数的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；
（2）先由（1）的结果，得到，，得到在内存在唯一实根，记作，再求出，即可结合题意，说明结论成立.
【详解】（1）由题意可得，的定义域为，
由，
得，
显然单调递增；
又，，
故存在唯一，使得；
又当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
因此，存在唯一的极值点；
（2）由（1）知，，又，
所以在内存在唯一实根，记作.
由得，
又，
故是方程在内的唯一实根；
综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值、以及函数零点的问题，属于常考题型.
3．（2021·浙江·高考真题）设a，b为实数，且，函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；
（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.
(注：是自然对数的底数)
【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论即可确定函数的单调性；
(2)将原问题进行等价转化，然后构造新函数，利用导函数研究函数的性质并进行放缩即可确定实数a的取值范围；
(3)方法一：结合(2)的结论将原问题进行等价变形，然后利用分析法即可证得题中的结论成立.
【详解】(1)，
①若，则，所以在上单调递增；
②若，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
综上可得，时，在上单调递增；
时，函数的单调减区间为，单调增区间为.
(2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，
令，则，
记，
记，
又，所以时，时，，
则在单调递减，单调递增，，
.
即实数的取值范围是.
(3)[方法一]【最优解】：
有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.
由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，
，
注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故，又由知，
，
要证，只需，
且关于的函数在上单调递增，
所以只需证，
只需证，
只需证，
，只需证在时为正，
由于，故函数单调递增，
又，故在时为正，
从而题中的不等式得证.
[方法二]：分析+放缩法
有2个不同零点，不妨设，由得（其中）．
且．
要证，只需证，即证，只需证．
又，所以，即．
所以只需证．而，所以，
又，所以只需证．
所以，原命题得证．
[方法三]：
若且，则满足且，由（Ⅱ）知有两个零点且．
又，故进一步有．
由可得且，从而．．
因为，
所以，
故只需证．
又因为在区间内单调递增，故只需证，即，注意时有，故不等式成立．
【整体点评】本题第二、三问均涉及利用导数研究函数零点问题，其中第三问难度更大，涉及到三种不同的处理方法，
方法一：直接分析零点，将要证明的不等式消元，代换为关于的函数，再利用零点反代法，换为关于的不等式，移项作差构造函数，利用导数分析范围.
方法二：通过分析放缩，找到使得结论成立的充分条件，方法比较冒险！
方法三：利用两次零点反代法，将不等式化简，再利用函数的单调性，转化为与0比较大小，代入函数放缩得到结论.
总结规律 预测考向
（一）规律与预测
1.高考对导数的考查要求一般有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等；第三层次是综合考查，如研究函数零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题.
2.涉及导数与零点问题，主要有：函数零点个数的判断与证明、根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等
（二）本专题考向展示

考点突破 典例分析
考向一 函数零点个数的判断与证明
【核心知识】
解函数零点问题的一般思路
(1)对函数求导．
(2)分析函数的单调性，极值情况．
(3)结合函数性质画函数的草图．
(4)依据函数草图确定函数零点情况．
【典例分析】
典例1.（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（文））已知函数，则方程的解的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据给定条件，构造函数，探讨函数单调性，借助零点存在性定理判断作答.
【详解】令，当时，在上单调递增，
，则存在，使得，因此函数在上有唯一零点，
当时，，求导得，显然在上递增，
而，则存在，使得，
当时，，当时，，因此函数在上递减，在递增，
，而，则存在，使得，
即函数在上有唯一零点，又函数在上无零点，因此函数在上有唯一零点，
所以函数的零点个数为2，即方程的解的个数是2.
故选：C
典例2. （2022·吉林长春·模拟预测）已知函数，．
(1)求函数的值域；
(2)讨论函数的零点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数求得的单调区间，进而求得的值域.
（2）利用多次求导的方法，结合对进行分类讨论，由此求得零点的个数.
【详解】（1）由可知，
令则，
，无最大值．
即的值域为．
（2），且，
，
令，，
即在上单调递增．
当时，可知，即在单调递增，即此时有唯一零点．
当时，令，即，．
即，
①当k＝1时，，，此时有唯一零点．
②当时，，，
且，即在存在一个零点，此时共有2个零点．
③当时，，，
且，即在存在一个零点，此时共有2个零点．
综上，当或k＝1时，有唯一零点．
当或时，有2个零点．
典例3.（2019·全国·高考真题（理））已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在上单调递减，根据零点存在定理可判断出，使得，进而得到导函数在上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知为在上的唯一零点；当时，首先可判断出在上无零点，再利用零点存在定理得到在上的单调性，可知，不存在零点；当时，利用零点存在定理和单调性可判断出存在唯一一个零点；当，可证得；综合上述情况可证得结论.
【详解】（1）由题意知：定义域为：且
令，
，
在上单调递减，在上单调递减
在上单调递减
又，
，使得
当时，；时，
即在上单调递增；在上单调递减
则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
（2）由（1）知：，
①当时，由（1）可知在上单调递增
在上单调递减
又
为在上的唯一零点
②当时，在上单调递增，在上单调递减
又
在上单调递增，此时，不存在零点
又
，使得
在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，此时不存在零点
③当时，单调递减，单调递减
在上单调递减
又，
即，又在上单调递减
在上存在唯一零点
④当时，，
即在上不存在零点
综上所述：有且仅有个零点
【规律方法】
1. 利用导数判断或证明函数零点个数的策略:借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负以及函数的单调性判断函数图象的走势，从而判断零点个数.
2.常用方法：
（1）直接法：直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题．
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）分离参数法：分离出参数，转化为a＝g(x)，根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线y＝a与函数y＝g(x)图象交点的个数问题．只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可．
考向二 根据函数零点的情况求参数取值范围
【核心知识】
利用函数零点的情况求参数范围的方法
(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；
(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.
【典例分析】
典例4. （2022·青海玉树·高二期末（理））已知．
(1)若，求的单调区间与极值；
(2)若关于的方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围．
参考数据：
【答案】(1)答案见解析；(2)
【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可得出函数的单调区间与极值；
（2）分析可知的方程在上有两个不同的实数根，利用导数分析函数在上的单调性，数形结合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：当时，，该函数的定义域为，
，列表如下：
所以，函数的增区间为、，减区间为，
极大值为，即小值为.
（2）解：由题意可知，关于的方程在上有两个不同的实数根，
即关于的方程在上有两个不同的实数根，
令，其中，则，
由可得；由可得.
所以，函数在上单调递增，在上单调递减.
所以，，
又因为，，
因为，则，
作出函数与函数在上的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点.
因此，实数的取值范围是.
典例5.（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数，．
(1)若，求的极值；
(2)若在区间内有零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）当时，对求导，得出的单调性，即可求出的极值；
（2）方法一：分类讨论，和，得出的单调性，利用单调性列出不等式即可求出实数a的取值范围；方法二：分离参数，构造新函数，研究的单调性，求出在的值域，进而求出实数a的取值范围.
【详解】（1）由函数，则，．
当时，令得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值．
（2）方法一：由，，
①当时，，即恒成立，
所以在上单调递减，
要使在内有零点，则，即，
所以．
②当时，令得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
此时，所以需，
所以．
③当时，，即恒成立，
所以在上单调递增，
此时，所以恒成立，不符合条件．
综上可知，a的取值范围为．
方法二：令得，
设，，则，
令，得，
在上递增，在上递减，
且，，，
所以．
典例6. （2022·辽宁·高三期中）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当a＝1时，若函数有两个零点，求实数t的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）分，，讨论求解即可；
（2）由题意可知关于x的方程有两个不同的实根，进而，令，要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根．令，利用导数法研究的零点即可
【详解】（1）因为，
所以．
当时，恒成立，
所以在上单调递增；
当时，令，得，
由解得，由解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，
所以在上单调递减．
综上可知：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
（2）当时，，则，
所以关于x的方程有两个不同的实根，
即关于x的方程有两个不同的实根．
因为x＞0，
所以．
令，则，
所以在上单调递增．
要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根．
令，则．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以．当t＜1时，，没有零点；
当t＝1时，，当且仅当x＝1时，等号成立，只有一个零点；
当t＞1时，，，．
令，则，即在上单调递增，
所以，即．
所以在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件．
综上，实数t的取值范围是．
【总结提升】
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
考向三 与零点相关的不等式恒成立或证明问题
【核心知识】
1.不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.
2.含参数的不等式恒成立的处理方法：①的图象永远落在图象的上方；②构造函数法，一般构造，；③参变分离法，将不等式等价变形为，或，进而转化为求函数的最值.
3.利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
【典例分析】
典例7. （2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对求导，研究函数的单调性、极值等性质，利用的图象求得的范围，以及与的关系，将问题转化为关于的函数的值域的问题进行求解即可．
【详解】因为，故可得，
令，解得，
当或时，；时，，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增．
则的极大值为，的极小值为，
∵，
∴当时，；当时，；当时，，
根据以上信息，作出的大致图象如图所示：
由图可知，直线与函数的图象有3个交点时，方程有3个不同的实根，则，
因为方程的3个不同的实根为，则，
又因为，
故，
令，
则，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，又，，故可得，
所以时，，即．
故选：A．
典例8.【多选题】（2022·山东·青岛二中高三期中）已知函数 若函数有四个不同的零点：，且,则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】设，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断B的正误；分析可知，结合基本不等式可判断A的正误；构造函数，利用导数分析函数在上的单调性，可判断CD的正误.
【详解】设，其中，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
所以，函数的极大值为，且当时，，
作出函数与的大致图象，
由图可知，当时，直线与函数的图象有四个交点，B对；
因为，则，由图可知，
则，即，
所以，，A对；
令，其中，由图可知，
，
当时，，，则，此时函数单调递减，
所以，，即，
因为，，且函数在上单调递减，
所以，，则，故，C错D对.
故选：ABD.
典例9.（贵州省六盘水市2021-2022学年高二下期末）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若有两个不相同的零点，证明.
【答案】(1)时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数导数，对分类讨论，根据导数的正负确定函数的单调性即可得解；
（2）由函数的单调性可确定函数零点在两侧，要证原不等式可转化为证，再由函数的单调性转化为证，构造函数，利用导数即可得证.
【详解】（1）的定义域为，且，
当时，成立，所以在上单调递增；
当时，
当时，成立，所以在上为增函数；
当时，，所以在上为减函数.
综上，时，函数在上为增函数；时，函数在上为增函数，函数在上为减函数.
（2）由（1）知，当时，在上单调递增，至多有1个零点，不符合题意；
当时，函数在上为增函数，函数在上为减函数，
所以为函数的极小值，函数有两个零点则，
不妨设，则，
要证，即证，
因为在上为减函数，
所以只要证，
又，即证，
设函数，
所以，所以在上为增函数，
所以，所以成立，
从而成立.
典例10. （辽宁省名校联盟2022-2023学年高三上学期11月份联合考试数学试题）已知函数，．
(1)求函数的单调区间；
(2)设是的两个零点，证明：．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，然后分类讨论即可求解；
（2）先利用导数法可得是上的减函数，上的增函数，从而可知，由（1）可知，，，则有，由此即可求证
【详解】（1）定义域为，．
当时，，所以在上单调递增，
当时．议，
，则与符号相同，
若，即，，所以在上单调递减；
若，即，有两个不等正根，
，．
与随x的变化情况如下表：
综上，当时，的增区间为，没有减区间；
当吋，的减区间为，没有增区间；
当时，的减区间为，．
增区间为．
（2）证明：，
当时，；当时，，
所以是上的减函数，上的增函数．
因为是的两个零点．
所以．
由（1）可知，当时，为上的减函数，
又，
所以，．
，即，
整理得．
同理，可得，
所以，即，
因为，
所以，
所以，命题得证．
【点睛】本题考查求利用导数研究含参数的函数的单调性，解题关键如何分类讨论．本题从导数中分离出，考虑是否为二次函数，当为二次函数时考虑开口，从根的个数与大小等方向进行分析，从而确定分类依据
典例11.（2022·广西柳州·高三阶段练习（理））已知，.
(1)求的单调区间；
(2)当时，若关于x的方程存在两个正实数根，（），证明：且.
【答案】(1)减区间为，增区间为；
(2)证明见详解.
【分析】（1）对函数求导，根据导数与0的关系，判断函数单调区间；
（2）由条件，分离参数，令，利用导数研究函数单调区间及最值情况，利用数形结合将问题转化为图像交点问题，从而证得参数a的取值范围；令，将证明的结论等价转化为，从而，令，通过导数研究其最大值情况，从而证明结论；
【详解】（1）的定义域为，
又，由得，
当时，，
当时，，
的减区间为：，增区间为：.
（2）证明：由存在两个正实数根，
整理得方程存在两个正实数根．
由，知，
令，则，
当时，减函数；当时，增函数．
所以．
因为趋向于或，趋向，所以的值域为，
问题等价于直线和有两个不同的交点．
，且，
所以，从而．
令，则，解得，
，而，
下面证明时，，
令，
则，
令，则，
在为减函数，，
在为减函数，，
在为减函数，，即．
【点睛】方法点睛：通过导数研究函数的单调区间，最值情况以及交点，零点情况；带参数时，可以分离参数或者带参分类讨论这两种方法来求得参数取值范围；对于双变量问题的证明，一般需要找到两个变量间的关系，利用另一个变量来表示这两个变量，从而转化为函数问题，借助导数证得结论.
典例12. （2022·四川·成都市第二十中学校高三期中）已知函数 .
(1)若函数 有两个不同的零点， 求实数 的取值范围；
(2)若方程 有两个不等实根 ， ， 且 ，求 的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将函数的零点问题转化为与图象交点个数问题，然后结合的图象求解即可；
（2）将方程的根转化为的根，得到，然后结合（1）得到，令，得到，构造函数，根据的单调性得到，即.
【详解】（1）由题意可知， 有两个不等根，
令，，令，解得，令，解得，所以在上单调递增，上单调递减，
，，则的图象如下：

∴，解得，
∴实数 的取值范围为 ；
（2），
，
令，在R上为单调递增函数，
由题意有两个不等实根，
即 有两个不等实根，
由（1）可知 ， ，令 ， ，
，
设， ，
令，，所以在上单调递增，
，所以， 为增函数，
，即，，
的取值范围为 .
【规律方法】
1.不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
2. 在解题过程中，必要时可作出函数图象，借助几何图形直观分析转化.通过围绕参数分类讨论不等式是否成立，不失为一种好的方法.
x
0
减
极小值
增
增
极大值
减
极小值
增
x