新高考数学二轮复习提升讲与练专题05 第4练 离心率的取值与范围问题专项训练（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提升讲与练专题05 第4练 离心率的取值与范围问题专项训练（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：
1.(2025·西藏自治区拉萨市·模拟)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆与以点P( 2,12)为圆心、32为半径的圆相切于点Q，且点Q在C上，则C的离心率为( )
A. 62B. 6C. 3D. 32
【答案】A
【解析】解：由两圆的圆心分别为O(0,0),P( 2,12)，且圆P的半径为32，|OP|= 2+14=32，
可得点P在以F1F2为直径的圆内，且两圆内切，所以Q(2 2,1)，圆O的半径为3，即|OF1|=3，
所以a2+b2=9,8a2−1b2=1,解得a= 6，b= 3，所以C的离心率为3 6= 62．
故选A．
2.(2025·全国·模拟)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)虚轴的两个端点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2，若cs∠F1B1F2=−513，则双曲线的离心率为( )
A. 3 55B. 32C. 5D. 53
【答案】A
【解析】解：设∠F1B1B2=θ，则tanθ=cb，
由cs2θ=cs2θ−sin2θcs2θ+sin2θ
=1−(tanθ)21+(tanθ)2=1−(cb)21+(cb)2=b2−c2b2+c2=−513，
解得9b2=4c2，
所以4c2=9(c2−a2)，
整理得e2=c2a2=95，所以e=3 55．
故选：A．
3.(2025·广东省茂名市·月考)已知椭圆C:x29+y26=1的左右焦点为F1､F2，双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与椭圆C交于第一象限点P，若PF1=2PF2，则E的离心率为( )
A. 153B. 213C. 62D. 43
【答案】B
【解析】解：在椭圆C:x29+y26=1中，|PF1|+|PF2|=6，而|PF1|=2|PF2|，则|PF1|=4,|PF2|=2，
而|F1F2|=2 9−6=2 3，则|PF1|2=16=|PF2|2+|F1F2|2，即PF2⊥F1F2，
而F2( 3,0)，则P( 3,2)，由点P在双曲线E:x2a2−y2b2=1的渐近线y=bax上，
得ba=2 3，所以E的离心率为e= 1+b2a2= 213．
故选：B．
4.(2025·吉林省松原市·模拟)如图，F1，F2是分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点，P为双曲线右支上的一点，圆M与▵PF1F2三边所在的直线都相切，切点为A，B，C，若|PB|=2a，则双曲线的离心率为( )
A. 2B. 2C. 3D. 3
【答案】D
【解析】解：连接MA，MC，MF1，
由直线和圆相切的性质，可得|PA|=|PB|=2a，设F2B=F2C=x，
由双曲线的定义可得，PF1−PF2=2a，
则PF1=2a+PF2=2a+|PB|+BF2=4a+x，
AF1=|AP|+PF1=6a+x，F1C=F1F2+F2C=2c+x，
由圆外一点作圆的切线，则切线长相等，
即有6a+x=2c+x，即c=3a，
所以双曲线的离心率e=ca=3．
故选：D．
5.(2025·陕西省西安市·模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，直线：l1:y= 22x，l2:y=− 22x，点P在C上，过P作PM平行于l1交l2于点M，作PN平行于l2交l1于点N，若MN的长度为定值，则C的离心率为( )
A. 24B. 12C. 22D. 32
【答案】D
【解析】解：设P(x0,y0)，则直线MP:y−y0= 22(x−x0)，
联立y=− 22xy−y0= 22(x−x0)，解得x=x0− 2y02y=− 2x0+2y04,
即M(x0− 2y02,− 2x0+2y04)，
同理，可得N(x0+ 2y02, 2x0+2y04)，
又点P在椭圆上，故x02a2+y02b2=1，得y02=b2−b2x02a2，
所以|MN|= (x0− 2y02−x0+ 2y02)2+(− 2x0+2y04− 2x0+2y04)2
= 2y02+12x02= 2b2+(12−2b2a2)x02，
若|MN|为定值，则12−2b2a2=0，∴b2a2=14，
∴e2=1−b2a2=34，所以椭圆的离心率为 32．
故选：D．
二、多选题：
6．（2025·河南·三模）已知曲线是实轴、虚轴分别在直线和直线上的双曲线，其焦点分别为，点是上的两个动点，则（ ）
A．的实轴长为
B．的离心率为
C．若，则的面积为8
D．若线段的中点为为坐标原点，则直线的斜率之积为定值
【答案】BC
【详解】设的实轴长为，虚轴长为，
联立，解得或，
因为实轴在直线上，则双曲线的两个顶点分别为，
所以，即实轴长，故A错误；
易知曲线的渐近线分别为轴，轴，两渐近线的夹角为，所以，
所以的离心率为，故B正确；
由双曲线的定义得，
两边平方得，
因，则，则，
因，则，故，
所以，故C正确；
设，则，
所以，
故，不是定值，故D错误.
故选：BC.
7.(2025·云南省昆明市·模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左､右焦点分别为F1,F2,A,B为椭圆C上关于原点对称的两点，且AB=F1F2，则( )
A. AF1⊥AF2B. 四边形AF1BF2的周长为4a
C. 四边形AF1BF2的面积为b2D. 椭圆C的离心率的取值范围为[ 22,1)
【答案】ABD
【解析】解：由题意，AB,F1F2互相平分，且AB=F1F2，则四边形AF1BF2是矩形，令其半焦距为c，
对于A，AF1⊥AF2，A正确；
对于B，四边形AF1BF2的周长为|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a，B正确；
对于C，四边形AF1BF2的面积为2S▵F1AF2=|AF1||AF2|=AF1+AF22−AF1|2+AF2|22=2a2−2c2=2b2，C错误；
对于D，由以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆有公共点，得c⩾b，即c2⩾b2=a2−c2，
解得c2a2⩾12，即离心率e∈[ 22,1)，D正确．
故选：ABD．
三、填空题：
8.(2025·广东省惠州市·月考)设椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若∠F1PF2=90°，∠PAF2=45°则椭圆的离心率为 ．
【答案】 3−1
【解析】解：如图：由题意不妨设Px1,y1在第一象限，作PH⊥x轴交x轴于点H，
知|PF1|+|PF2|=2a①，
因为∠F1PF2=90∘，所以|PF1|2+|PF2|2=4c2②，
所以(|PF1|+|PF2|)2−(|PF1|2+|PF2|2)=2|PF1|⋅|PF2|=4a2−4c2，
则|PF1|⋅|PF2|=2a2−2c2=2b2，
由S▵F1PF2=12PF1⋅PF2=12⋅2b2=b2，
而S▵F1PF2=12⋅2c⋅y1=b2，解得y1=b2c，
又由∠PAF2=45∘，所以|HA|=|PH|=y1，又|OH|=x1，即x1+y1=a，
将y1=b2c代入x1+y1=a，解得：x1=a−b2c，
把x1=a−b2c，y1=b2c代入x2a2+y2b2=1(a>b>0)中，
(a−b2c)2a2+(b2c)2b2=1，
所以−2a⋅b2c+(b2c)2a2+b2c2=0，则−2ac+b2+a2=0，
整理得−2ac+2a2−c2=0，
即e2+2e−2=0，
解得e=− 3−1(舍)或e= 3−1，
即椭圆的离心率为 3−1．
故答案为： 3−1．
9.(2025·江西省九江市·模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2，P是C上一点，线段PF1, PF2的中点分别是M, N.若四边形PMON是周长为6、面积为2的矩形(O为坐标原点)，则C的离心率为 ．
【答案】 53
【解析】解：因为M，N分别是PF1，PF2的中点，O是F1F2的中点，
根据三角形中位线定理，可得|OM|=12|PF2|，|ON|=12|PF1|，
已知四边形PMON是矩形，其周长为6，则2(|OM|+|ON|)=6，
即|OM|+|ON|=3，所以12|PF2|+12|PF1|=3，进而可得|PF1|+|PF2|=6，
由椭圆的定义可知2a=6，则a=3，
又因为四边形PMON的面积为2，所以|OM|×|ON|=2，
即14|PF1|×|PF2|=2，则|PF1|×|PF2|=8，
在▵PF1F2中，∠F1PF2=90°，根据勾股定理可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
对(|PF1|+|PF2|)2进行展开：(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|×|PF2|，
已知|PF1|+|PF2|=6，|PF1|×|PF2|=8，代入上式可得62=|F1F2|2+2×8，
即36=|F1F2|2+16，
解得|F1F2|2=20，而|F1F2|=2c，所以(2c)2=20，即4c2=20，c2=5，则c= 5，
椭圆的离心率e=ca，已知a=3，c= 5，所以e= 53.
故答案为 53．
10.(2025·甘肃省白银市·模拟)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C左右两支于A,B两点，且AB=2BF，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点M，若点A、M两点关于原点对称，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】 5
【解析】解：设另一个焦点为F1，连接F1A,F1B,F1M，设BF=m，则AB=2m，
由双曲线的定义可得BF1=BF+2a=m+2a,AF1=AF−2a=3m−2a，
由双曲线的对称性可得O是AM的中点，也是F1F的中点，
所以四边形AF1MF是平行四边形，
因为AF⊥FM，所以四边形AF1MF为矩形，
所以AF1⊥AB，
所以在Rt▵F1AB中，BF12=AB2+AF12，
所以(m+2a)2=(3m−2a)2+4m2，化简得m=43a，
在Rt△F1AF中，FF12=AF2+AF12，则4c2=9m2+(3m−2a)2，
所以4c2=9×169a2+(4a−2a)2=20a2，得c2=5a2，
所以c= 5a，
所以离心率e=ca= 5．
故答案为： 5
解答题：
11.已知F1，F2是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点.
（1）若△POF2为等边三角形，求C的离心率；
（2）如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
【答案】(1)3－1.
(2)[42，＋∞）
【解析】解：（1）连接PF1（图略）.由△POF2为等边三角形可知，
在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝3c，
于是2a＝｜PF1｜＋｜PF2｜＝（3＋1）c，故C的离心率为e＝ca＝3－1.
由题意可知，满足条件的点P（x，y）存在，
且12｜y｜·2c＝16，yx＋c·yx－c＝－1，x2a2＋y2b2＝1，
即c｜y｜＝16， ①
x2＋y2＝c2， ②
x2a2＋y2b2＝1. ③
由②③及a2＝b2＋c2得y2＝b4c2.
又由①知y2＝162c2，故b＝4.
由②③及a2＝b2＋c2得x2＝a2c2（c2－b2），
所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥42.
当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞）.
12.(2025·四川省乐山市·月考)已知A(2,3)和P(4,0)为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上两点．
(1)求C的离心率；
(2)若过点A的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为12，求直线l的方程．
【答案】(1)12
(2)x−2y+4=0或3x−2y=0
【解析】解：(1)由题意得a=44a2+9b2=1，解得b2=12a2=16,
所以e= 1−b2a2= 1−1216=12；
(2)如图，
当l的斜率不存在时，l:x=2，B(2,−3)，|AB|=6，P到AB距离d=2，
此时S△ABP=12×2×6=6≠12，不满足条件；
当直线l的斜率存在时，设l:y=k(x−2)+3，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y=k(x−2)+3x216+y212=1，消y可得(4k2+3)x2−(16k2−24k)x+16k2−48k−12=0，
当时，
x1+x2=16k2−24k4k2+3，又x1=2，所以x2=16k2−24k4k2+3−2，
∴|AB|= 1+k2·|x1−x2|= 1+k2·|12+24k3+4k2|，
又P点到直线l的距离d=|2k+3| 1+k2，
所以S△PAB=12|AB|⋅d=12×|2k+3|⋅|12+24k3+4k2|=6×|(2k+3)(1+2k)|3+4k2=12，
整理可得4k2−8k+3=0或12k2+8k+9=0(无解)，
即(2k−3)(2k−1)=0，解得k=12或k=32，
此时代入检验，均满足Δ>0，
∴l:y=12(x−2)+3或y=32(x−2)+3，即x−2y+4=0或3x−2y=0．