新高考数学二轮专题训练专题16 妙解离心率问题（12大核心考点）（讲义）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮专题训练专题16 妙解离心率问题（12大核心考点）（讲义）（2份，原卷版+解析版），共5页。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc156895210" PAGEREF _Tc156895210 \h 2
\l "_Tc156895211" PAGEREF _Tc156895211 \h 3
\l "_Tc156895212" PAGEREF _Tc156895212 \h 4
\l "_Tc156895213" PAGEREF _Tc156895213 \h 4
\l "_Tc156895214" PAGEREF _Tc156895214 \h 6
\l "_Tc156895215" 考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 PAGEREF _Tc156895215 \h 6
\l "_Tc156895216" 考点二：焦点三角形顶角范围与离心率 PAGEREF _Tc156895216 \h 7
\l "_Tc156895217" 考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题 PAGEREF _Tc156895217 \h 8
\l "_Tc156895218" 考点四：椭圆与双曲线的4a通径体 PAGEREF _Tc156895218 \h 9
\l "_Tc156895219" 考点五：椭圆与双曲线的4a直角体 PAGEREF _Tc156895219 \h 10
\l "_Tc156895220" 考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 PAGEREF _Tc156895220 \h 10
\l "_Tc156895221" 考点七：双曲线的4a底边等腰三角形 PAGEREF _Tc156895221 \h 11
\l "_Tc156895222" 考点八：焦点到渐近线距离为b PAGEREF _Tc156895222 \h 12
\l "_Tc156895223" 考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 PAGEREF _Tc156895223 \h 13
\l "_Tc156895224" 考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 PAGEREF _Tc156895224 \h 14
\l "_Tc156895225" 考点十一：渐近线平行线与面积问题 PAGEREF _Tc156895225 \h 15
\l "_Tc156895226" 考点十二：数形结合转化长度角度 PAGEREF _Tc156895226 \h 16
求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
1．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则
A．B．C．D．
2．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则
A．B．C．D．
3．（2022•甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为
A．B．C．D．
4．（2021•甲卷）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为
A．B．C．D．
5．（2021•天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为
A．B．C．2D．3
6．（2022•甲卷）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为
A．B．
C．D．
7．（2022•全国）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为
A．5B．C．D．
8．（多选题）（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为
A．B．C．D．
9．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ．
10．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是 ．
考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：

椭圆：，根据范围求解值域．
双曲线：，根据范围求解值域．
【例1】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式1-1】（2024·高三单元测试）已知椭圆（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-2】（2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知双曲线右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点二：焦点三角形顶角范围与离心率
是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）．
【例2】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2024·江西抚州·高三统考期末）设是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点,使,则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式2-2】（2024·宁夏·高三校联考阶段练习）已知 ，是椭圆的两个焦点，若椭圆C上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【变式2-3】（2024·高三课时练习）已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题
，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【变式3-1】（2024·湖南·高三校联考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于 ．
【变式3-2】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点四：椭圆与双曲线的4a通径体
椭圆与双曲线的4a通径体
如图，若，易知，若，则一定有，根据可得，即
【例4】（2024·河南新乡·高三统考期末）设双曲线的左、右焦点分别是、，过的直线交双曲线的左支于、两点，若，且，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【变式4-1】（2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式4-2】（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考点五：椭圆与双曲线的4a直角体

如左图，若，过原点，且，，则可得离心率．
如右图，若，过原点，且，通过补全矩形，可得，，借助公式可得离心率．
【例5】（2024·山东济南·校联考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（2024·安徽池州·高三统考期末）设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【变式5-2】（2024·湖北黄冈·高三统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，，且，椭圆的离心率为，则实数（ ）
A．B．2C．D．3
考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
同角余弦定理使用两次
【例6】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【变式6-1】（2024·江西九江·高三九江一中校考期末）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【变式6-2】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若为以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．2C．D．
考点七：双曲线的4a底边等腰三角形
当或者时，令,则一定存在①，②
【例7】（2024·河南·高三校联考阶段练习）设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-1】（2024·贵州·校联考模拟预测）设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【变式7-2】（2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试）设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【变式7-3】（2024·全国·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于，两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3B．C．D．2
考点八：焦点到渐近线距离为b
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线，，过右焦点作，，由于渐近线方程为，故，且斜边，故，故，.
【例8】（2024·河南新乡·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （ ）
A．B．C．2D．
【变式8-1】（2024·吉林白山·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点），若线段交双曲线于点，且则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-2】（2024·山西运城·高三统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-3】（2024·辽宁·统考模拟预测）已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若(为坐标原点)的面积等于(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【变式8-4】（2024·广西南宁·统考）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（ ）
A．B．C．D．
考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
利用几何法转化
【例9】（2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习）是双曲线的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则此双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【变式9-1】（2024·广西玉林·校考模拟预测）过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．(，+∞)B．(，+∞)C．(2，+∞)D．(3，+∞)
【变式9-2】（2024·江西新余·统考）已知双曲线，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
以为直径作圆，交一条渐近线于点，交另一条渐近线于点，则令,则，
【例10】（2024·全国·校联考）过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是( )
A．2.B．C．D．
【变式10-1】（2024·山西晋城·统考）设，是双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．2
【变式10-2】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【变式10-3】（2024·陕西宝鸡·统考）已知双曲线的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
考点十一：渐近线平行线与面积问题

①双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
②双曲线C：上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于，两点，则是一个常数，，
【例11】（2024·北京·人大附中校考）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【变式11-1】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知双曲线上一点坐标为为双曲线的右焦点，且垂直于轴.过点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于，则该双曲线的离心率是 .
【变式11-2】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）过双曲线：（，）右支上一点作两条渐近线的平行线分别与另一渐近线交于点，，为坐标原点，设的面积为，若，则双曲线的离心率取值范围为 ．（用区间作答）
考点十二：数形结合转化长度角度
数形结合
【例12】（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为 .
【变式12-1】（2024·内蒙古赤峰·高三校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，射线分别交于两点（为坐标原点），若，则的离心率为 ．
【变式12-2】（2024·福建龙岩·高三福建省连城县第一中学校考期末）如图，已知双曲线的左、右焦点分别为是C上位于第一象限内的一点，且直线轴的正半轴交于A点，的内切圆在边上的切点为N，若，则双曲线C的离心率为 .
考点要求
考题统计
考情分析
离心率
2023年新高考I卷第5、16题，10分
2023年甲卷第9题，5分
2022年甲卷第10题，5分
2022年浙江卷第16题，4分
2021年甲卷第5题，5分
2021年天津卷第8题，5分
离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．