新高考数学二轮复习提升讲与练专题05 第6练 圆锥曲线定值定点定直线问题专项训练（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提升讲与练专题05 第6练 圆锥曲线定值定点定直线问题专项训练（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：
1.（2025·山东泰安·三模）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，P为C上一动点，则P到y轴的距离与P到，距离之和的比值（ ）
A．恒为定值B．恒为定值
C．不为定值但有最小值D．不为定值但有最大值
【答案】A
【详解】不妨设点，且易有，，且，，
代入得P到y轴的距离与P到，距离之和的比值为
，
由于P为双曲线C上一点，故等价于点到与的距离之差的绝对值，由双曲线定义知其等于2，
故原式等价于，为定值.
故选：A.
2．（24-25·上海闵行·月考）已知圆锥曲线的对称中心为原点O．若对于上的任意一点P，均存在上的点Q（不重合），使得：（1）直线与的斜率乘积为定值；（2）线段的中点M在一条固定直线上，则称为“双对称曲线”．现有如下命题：①任意椭圆都是双对称曲线；②存在双曲线是双对称曲线；下列判断正确的是（ ）
A．①成立，②成立
B．①成立，②不成立
C．①不成立，②成立
D．①不成立，②不成立
【答案】C
【详解】首先①不成立，下面说明存在椭圆不是双对称曲线.
不妨设椭圆方程为，其对称中心为原点.
取椭圆上一点，则直线不存在斜率，
故不满足条件“对于椭圆上的任意一点P，均存在椭圆上的点Q（不重合），
使得直线与的斜率乘积为定值”，
椭圆不是双对称曲线，
故①不成立；
其次②成立，下面证明存在双曲线是双对称曲线；
（i）证明：曲线是双曲线.
设曲线上任意一点，其对应复数，
绕原点顺时针旋转得动点，
则，
则有，
代入，化简得，故动点的轨迹为双曲线，
即点轨迹也为双曲线；
（ii）证明双曲线是双对称曲线.
证明：首先该曲线以原点为对称中心.
设双曲线上任意一点，则，且.
则直线的斜率，取常数，定义，
当时，则存在点在双曲线上，为不重合两点，
且；
当时，则存在也双曲线上，为不重合两点，
且；
综上可知，若对于双曲线的任意一点，均存在双曲线上的点Q（不重合），
使得直线与的斜率乘积为定值，即条件（1）满足；
当时，则中点，即，
则，故中点在直线上；
当时，则中点，即原点，
故也在直线上.
故对于双曲线的任意一点，均存在双曲线上的点Q（不重合），
使得线段的中点M在一条固定直线上，故条件（2）也满足.
由此，条件（1）（2）都满足，故双曲线是双对称曲线.
综上所述，选项C正确，其余选项不正确.
故选：C.
二、多选题：
3.(2025·四川省乐山市·月考)已知抛物线C：x2=2py(p>0)的准线方程为y=−2，焦点为F，O为坐标原点，A(x1,y1)，B(x2,y2)是C上两点，则下列说法正确的是( )
A. 点F的坐标为(0,2)
B. 若|AB|=16，则AB的中点到x轴距离的最小值为8
C. 若直线AB过点(0,4)，则以AB为直径的圆过点O
D. 若直线OA与OB的斜率之积为−14，则直线AB过点F
【答案】AD
【解析】解：∵抛物线C：x2=2py(p>0)的准线方程为y=−2，
∴C的解析式为：x2=8y，
对于A：准线方程为y=−2，故焦点F(0,2)，故A正确；
对于B：设lAB：y=kx+b(k≠0)，则y=kx+bx2=8y,
整理得：x2−8kx−8b=0，故x1+x2=8k，x1x2=−8b，故AB中点为(4k,4k2+b)，
∵|AB|= 1+k2 (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2⋅ 64k2+32b=16，
∴b=81+k2−2k2，∴d=4k2+b=81+k2+2k2=81+k2+2(k2+1)−2≥2 16−2=6，
当且仅当81+k2=2(k2+1)时“=”成立，
当k=0时，距离是8，60，p为定值)的焦点为F，C与直线y＝x＋m相交于A，B两点，M为AB的中点．过点M作x轴的垂线，垂足为N；过点M作AB的垂线，交x轴于点P，则( )
A．－p20)，直线x+y−1=0经过C的上顶点及右焦点F2．
(1)求C的方程；
(2)若直线x=x1(x1≠ a2−b2)与C交于点P，Q，且直线PF2与C交于另外一点R．
(ⅰ)若|PR|=4 23，求直线PR的方程；
(ⅱ)判断直线QR是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．
【答案】(1)x22+y2=1．
(2)(ⅰ)x−y−1=0或x+y−1=0．
(ⅱ)直线QR过定点(2,0)．
【解析】解：(1)

因为直线x+y−1=0经过C的上顶点及右焦点，
所以上顶点坐标为(0,1)，b=1，
令y=0得F2(1,0)，所以a2−b2=1，a2=2，
所以C的方程为x22+y2=1．
(2)(ⅰ)由(1)得F2(1,0)，直线PR斜率一定存在，设其方程为y=k(x−1)，
设Px1,y1，Rx2,y2，则Qx1,−y1，
由y=k(x−1),x22+y2=1,得2k2+1x2−4k2x+2k2−2=0，
所以x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2−22k2+1，
所以|PR|= 1+k2x1−x2= 1+k2 x1+x22−4x1x2
= 1+k2 16k42k2+12−8k2−82k2+1=2 2k2+12k2+1=4 23，
解得k2=1，k=±1，
所以直线PR的方程为x−y−1=0或x+y−1=0．
(ⅱ)直线QR的方程为y+y1=y2+y1x2−x1x−x1，
由对称性易知若直线QR过定点，则该定点在x轴上，
令y=0，得x=x2−x1y2+y1y1+x1=k2x1x2−x1−x2kx1+x2−2
=2x1x2−x1+x2x1+x2−2=4k2−42k2+1−4k22k2+14k22k2+1−2=2，
所以直线QR过定点(2,0)．
8.(2025·福建省泉州市·模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点P(1,32)在E上，直线y=12x+m与E交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为C，O为坐标原点．
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)证明：△BOC的面积为定值;
(Ⅲ)若点B在直线AC的右侧，求直线BC在y轴上的截距的最小值．
【答案】(Ⅰ)x24+y23=1．
(Ⅱ)见解析
(Ⅲ) 32
【解析】解：(Ⅰ)因为E的离心率为12，
所以 a2−b2a=12， ①
又点P在E上，所以1a2+94b2=1． ②
由 ① ②，解得a=2，b= 3，
所以E的方程为x24+y23=1．
(Ⅱ)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由题意有C(x1,−y1).
由3x2+4y2−12=0y=12x+m，得x2+mx+m2−3=0，
Δ>0⇒m2x1，
设直线BC与y轴的交点为T(0,t)，
当x1x2=0时，B，C中有一个点与E的上顶点重合，
此时T就是E的上顶点，t= 3，
当x1x2≠0时，由kBT=kCT，
即y2−tx2=−y1−tx1，可得12x2+m−tx2=−12x1−m−tx1，
整理得t=−x1x2−m(x1+x2)x2−x1=3x2−x1>0，
要求t的最小值，求出x2−x1的最大值即可．
x2−x1= (x1+x2)2−4x1x2
= m2−4(m2−3)= 12−3m2，
当m=0时，x2−x1取得最大值2 3，t取得最小值 32．
综上可知：直线BC在y轴上的截距的最小值为 32．
9.(2025·广东省东莞市·模拟)给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，称圆心在原点O，半径为 a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”.若椭圆C的一个焦点为F( 2,0)，其短轴上的一个端点到F的距离为 3．
(1)求椭圆C的方程和其“准圆”方程；
(2)若点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N.证明：l1⊥l2，且线段MN的长为定值．
【答案】(1)x2+y2=4；
(2)MN的长为定值4
【解析】解：(1)∵椭圆C的一个焦点为F 2,0，
其短轴上的一个端点到F的距离为 3，
∴c= 2,a= 3，∴b= a2−c2=1，
∴椭圆方程为x23+y2=1，
∴“准圆”方程为x2+y2=4；
(2)证明：①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x=± 3，
当l1：x= 3时，l1与“准圆”交于点( 3,1)，( 3,−1)，
此时l2为y=1(或y=−1)，显然直线l1，l2垂直，
同理可证当l1：x=− 3时，直线l1，l2垂直；
②当l1，l2斜率存在时，设点P(x0,y0)，其中x02+y02=4，
设经过点P(x0,y0)与椭圆相切的直线为：y=t(x−x0)+y0,
∴由y=t(x−x0)+y0x23+y2=1，得(1+3t2)x2+6t(y0−tx0)x+3(y0−tx0)2−3=0．
由Δ=0化简整理，得(3−x02)t2+2x0y0t+1−y02=0，
∵x02+y02=4，∴有(3−x02)t2+2x0y0t+(x02−3)=0，
设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，
∴t1，t2满足上述方程(3−x02)t2+2x0y0t+(x02−3)=0，
∴t1·t2=−1，即l1，l2垂直，
综合①②知，l1⊥l2,
∵l1，l2经过点P(x0,y0)，又分别交其“准圆”于点M，N，且l1，l2垂直，
∴线段MN为“准圆”x2+y2=4的直径，|MN|=4，
∴线段MN的长为定值．
10.(2025·山西省·模拟)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为 5，点A 2,2在双曲线C上．
(1)求C的方程；
(2)过双曲线C右支上一动点M分别作C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点P，Q，O为坐标原点，证明：平行四边形MPOQ的面积为定值，并求出该定值．
【答案】(1)x2−y24=1;
(2)面积为定值1
【解析】解：(1)由已知可得e=ca= 5，所以c= 5a，
又因为c2=a2+b2，得b2=4a2①，
将点A 2,2代入双曲线方程，得2a2−44a2=1②，
联立①，②得a2=1，所以b2=4，
所以双曲线方程为：x2−y24=1;
(2)证明：如图，由(1)得双曲线渐近线方程为l1:y=2x，l2:y=−2x，
设M(m,n)，则lMQ:y=2x+n−2m，，
联立l1和lMP，解得交点Pn+2m4,n+2m2，
则平行线l1和lMQ之间的距离d=|n−2m| 5，
则平行四边形MPOQ的面积：
，
由于点M在双曲线上，则m2−n24=1，所以4m2−n2=4，
所以平行四边形MPOQ的面积为定值1．