新高考数学二轮复习提升讲与练专题05 第5练 圆锥曲线中范围、最值问题专项训练（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提升讲与练专题05 第5练 圆锥曲线中范围、最值问题专项训练（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：
1.(2025·山西省·模拟)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，准线为l.点P在C上，过P作抛物线的切线交准线l于点Q.当▵FPQ外接圆面积最小时，点P的坐标可以是( )
A. 22,18B. 2,12C. 1,14D. (2,1)
【答案】B
【解析】解：设点P(2t,t2)(t≠0)，，故y′=12x，
将x=2t代入可得y′=t，则过P作抛物线的切线为：，
又准线l为：y=−1，故y=tx−t2中，令y=−1，得x=t−1t，
可得点Q(t−1t,−1)，又F(0,1)，所以，
所以为直角，PQ为▵FPQ外接圆的直径，
，
令v=t2，则可得，
由u′=(v+1)2(2v−1)v2=0，当，得，令，得，
故u(v)=v2+3v+1v+3在0,12上单调递减，在上单调递增，
故当v=12时，u取得极小值，也是最小值，
即所求外接圆的面积最小，此时点．
故选：B．
2.(2025·内蒙古自治区呼和浩特市·模拟)经过抛物线C:y2=4x焦点F的直线l与圆O:(x−3)2+y2=3相切，与抛物线C交于A,B两点．Q为圆O上任意一点，则▵ABQ面积的最大值为( )．
A. 8 33B. 16 33C. 32 33D. 64 33
【答案】B
【解析】解：设直线l的方程为y=k(x−1)，即kx−y−k=0，
因为l与圆O:(x−3)2+y2=3相切，所以|2k| k2+1= 3，解得k=± 3，
将直线y=± 3(x−1)与抛物线联立得3x2−10x+3=0，
由焦点弦公式可知|AB|=x1+x2+p=103+2=163，
所以▵ABQ面积的最大值为12×163×2 3=16 33．
故选：B．
二、多选题：
3．已知曲线C：x24−m＋y2m＝1的焦点为F1，F2，点P为曲线C上一动点，则下列叙述正确的是( )
A．若m＝3，则曲线C的焦点坐标分别为(－2，0)和(2，0)
B．若m＝1，则△PF1F2的内切圆半径的最大值为6－2
C．若曲线C是双曲线，且一条渐近线的倾斜角为π3，则m＝－2
D．若曲线C的离心率e＝233，则m＝－2或m＝6
【答案】BD
【解析】对于A，若m＝3，则曲线C的方程为x2＋y23＝1，则a＝3，b＝1，c＝a2−b2＝2，故椭圆C的焦点的坐标为(0，－2)和(0，2)，故A不正确．
对于B，若m＝1，则曲线C的方程为x23＋y2＝1，则a＝3，b＝1，c＝a2−b2＝2，
则△PF1F2的面积S△PF1F2＝12×2c·|yp|≤12·2c·b＝bc＝2．
设△PF1F2的内切圆半径为r，
则S△PF1F2＝12r(|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|)＝12r·(2a＋2c)＝r(a＋c)＝(3＋2)r≤2，
所以r≤23+2＝2(3－2)＝6－2，故B正确．
对于C，若曲线C是双曲线，且一条渐近线的倾斜角为π3，则渐近线方程为y＝±3x，
所以m4−m1，则曲线C为双曲线，
若双曲线C的焦点在x轴上，则4−m>0，m0时，y=2 x，
则y′=1 x，
故抛物线在点C处的切线斜率为1 xC=2yC，
过原点O且与l0垂直的方程为y=−yC2x，
由C可得CF的方程为y=yCxC−1x−1=yCyC24−1x−1，
联立y=−yC2xy=yCyC24−1x−1，得−12x=1yC24−1x−1，
即−12yC24−1x=x−1，即−yC28x+12x=x−1，
即12x+yC28x=1，即yC2+48x=1，解得x=8yC2+4，
所以y=−yC2x=−yC2·8yC2+4=−4yCyC2+4，
所以G8yC2+4,−4yCyC2+4，
所以AG2=8yC2+4−32+−4yCyC2+42
=3yC2+42+16yC2yC2+42=9yC4+40yC2+16yC2+42>0，
设t=yC2+4,t>4，故yC2=t−4，
所以AG2=9t−42+40t−4+16t2
=9t2−72t+16×9+40t−160+16t2
=9t2−32tt2=9−32t，
所以AG2∈1,9，
所以AG∈1,3，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：
5．（2025高三·全国·专题练习）一个广告气球某一时刻被一束平行光线投射到水平地面上的影子是一个椭圆，椭圆的离心率，则该时刻这束平行光线相对于水平平面的入射角为 .
【答案】
【详解】
设平行光线与水平面得夹角为θ，椭圆短半轴b为圆半径r，长半轴，离心率
，已知，则有，
所以
平行光线相对于水平平面的入射角α为光线与平面法线所成的角，即
.
故答案为：.
6.(2025·江西省南昌市·模拟)抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=2π3.设线段AB的中点M在准线l上的投影为N，则|MN||AB|的最大值是 ．
【答案】 33
【解析】解：设|AF|=a、|BF|=b，作分别于Q,P,N，则|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中，有|MN|=12(a+b)，
在△ABF中，|AB|2=a2+b2−2ab⋅cs 2π3=a2+b2+ab=(a+b)2−ab，
又ab≤a+b22，则|AB|2⩾3(a+b)24，即|AB|≥ 3(a+b)2，
当且仅当a=b时取等号，因此|MN||AB|⩽12(a+b) 32(a+b)= 33，所以|MN||AB|的最大值是 33．
故答案为： 33．
7.(2025·河北省·模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0)，C的准线与x轴的交点为T，若过点T的直线l与C交于A，B两点，且|FA|=3|FB|，则△TFA的面积等于 ．
【答案】2 3
【解析】解：由题意，抛物线C:y2=4x，
设直线AB的方程为x=my−1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，A在第一象限，
联立x=my−1y2=4x，整理可得：y2−4my+4=0，
可得y1+y2=4m，y1y2=4，
所以x1+x2=4m2−2，x1x2=1，
因为|FA|=3|FB|，所以可得x1+1=3(x2+1)，
所以x1=3x2+2，
所以3x22+2x2−1=0，
可得x2=13(负值舍去)，x1=3，y1=2 3，
所以△TFA的面积等于12×2×2 3=2 3．
故答案为：2 3．
解答题：
8.(2025·湖南省郴州市·模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0,−2)，B(32, 3)，P为椭圆C的左顶点，O为坐标原点．
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设M(m,n)(m>0,n>0)为椭圆C上的点，线段MP交y轴于点N，线段MA交x轴于点T，且|MP||MA|=6|MN||MT|，求|OM|．
【答案】(1)x29+y24=1
(2)|OM|=6 55或 1455
【解析】解：(1)由题意得b=2，
将点B(32, 3)及b=2代入椭圆C的方程得94a2+34=1，解得a=3，
所以椭圆C的标准方程为x29+y24=1;
(2)由相似三角形可得|MP||MA||MN||MT|=m+3m⋅n+2n=6，
所以m=3(n+2)5n−2，
因为m29+n24=1，
所以(n+25n−2)2+n24=1，即25n3−20n2−92n+96=0，
即25n3−40n2+20n2−32n−60n+96=0，
所以5n2(5n−8)+4n(5n−8)−12(5n−8)
= (5n2+4n−12) (5n−8) =(n+2)(5n−6)(5n−8)=0，
解得n=65或85，
当n=65时，m=125，|OM|= 3625+14425=6 55;
当n=85时，m=95，|OM|= 6425+8125= 1455，
故|OM|=6 55或 1455．
9.(2025·天津市市辖区·模拟)已知M(− 3,0)，N( 3,0)，平面内动点P满足直线PM，PN的斜率之积为−23．
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)过点F(1,0)的直线交P的轨迹E于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB (O为坐标原点)，若C恰为轨迹E上一点，求四边形OACB的面积．
【答案】(1)x23+y22=1(x≠± 3)
(2)3 22
解：(1)设动点P(x,y)，
直线PM的斜率为kPM=yx+ 3(x≠− 3)，直线PN的斜率为kPN=yx− 3(x≠ 3)，
由题意有yx+ 3×yx− 3=−23，
化简得点P的轨迹方程为x23+y22=1(x≠± 3)；
(2)以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，此时直线AB与x轴不重合，
则设直线AB的方程为x=my+1，
由x=my+12x2+3y2=6得(2m2+3)y2+4my−4=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=−4m2m2+3，y1y2=−42m2+3，
则x1+x2=my1+my2+2=m(y1+y2)+2=62m2+3，
平行四边形OACB的顶点C恰为椭圆E上一点，则点C(62m2+3,−4m2m2+3)在椭圆E上，
得2(62m2+3)2+3(−4m2m2+3)2=6，
解得m2=12，m=± 22，
故AB的方程为x=± 22y+1，
不妨取m= 22代入(2m2+3)y2+4my−4=0得4y2+2 2y−4=0，
解得y1=− 2，y2= 22，所以x1=0，x2=32，
因为OA/​/BC，得OA与BC的距离为32，
即平行四边形OACB高为32，|OA|= 2，
所以平行四边形OACB的面积为32× 2=3 22．
10.(2025·陕西省西安市·模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，|PF|=12，R是直线y=2上一动点，|PR|的最小值为1．
(1)求E的方程;
(2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求△RMN面积的取值范围．
【答案】(1)x24+y2=1
(2)[8 33,+∞)
【解析】解：(1)设F(c,0)(c>0)，
当直线PF与x轴垂直时，点P(c,12)，则c2a2+(12)2b2=1①，
因为|PR|的最小值为2−b=1，
所以b=1，又由a2=b2+c2②，
①②联立可解得a=2，c= 3，
故E的方程为x24+y2=1．
(2)设点M(m,0)，N(n,0)，R(t,2)，注意到RM，RN的斜率不为0，
设RM:x=t−m2y+m，RN:x=t−n2y+n，
联立x24+y2=1x=t−m2y+m，得[16+(t−m)2]y2+4(t−m)my+4(m2−4)=0，
因为RM与E相切，
所以△=[4(t−m)m]2−4[16+(t−m)2]·4(m2−4)=0，
于是16(t−m)2m2−16[16+(t−m)2](m2−4)=0，
化简得3m2+2tm−t2−16=0，
又RN与E相切，同理有3n2+2tn−t2−16=0，
故m，n是一元二次方程3x2+2tx−t2−16=0的两根，
则m+n=−2t3，mn=−t2+163，
所以|MN|=|m−n|= (m+n)2−4mn= (−2t3)2−4×(−t2+163)=4 t2+123，
又t2≥0，所以S△RMN=12|MN|⋅2=4 t2+123≥4 0+123=8 33，
所以△RMN面积的取值范围为[8 33,+∞).