新高考数学二轮复习提升讲与练专题04 微专题1 排列组合与二项式定理（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提升讲与练专题04 微专题1 排列组合与二项式定理（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了考点透析，跟踪练习等内容，欢迎下载使用。
一、考点透析
考点1 排列组合问题
1.(2025·河南省开封市·模拟)在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有( )
A. 180种B. 150种C. 96种D. 114种
【答案】D
【解析】解：先不管甲和乙,若三个路口的人数按3，1，1分配，则共有C53⋅A33=60种方法；
若三个路口的人数按2，2，1分配，则共有C52⋅C32A22·A33=90种，
其中，包括了甲和乙在同一个路口的情况，共有C31·A33+C32·A33=36种，
故甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有60+90−36=114种．
故选：D．
2.(2025·云南省昭通市·联考)甲、乙、丙、丁、戊五人完成A，B，C，D，E五项任务所获得的效益如下表：
现每项任务选派一人完成，其中甲不承担C任务，丁不承担A任务的指派方法数有 种；效益之和的最大值是 ．
【答案】78；80
【解析】解：依据乘法原理，选派方法共有A55−2A44+A33=78种，
由表可知，五项工作获得的效益值总和最大为13+26+15+11+16=81，但不能同时取得；
要使总和最大、甲可以承担B或D项工作，丙只能承担C项工作，则丁不可以承担C项工作，所以丁承担E项工作；
乙若承担B项工作，则甲承担D项工作，戊承担A项工作，此时效益值总和为：14+26+15+13+11=79，
乙若不承担B项工作，则乙承担A项工作，甲承担B项工作，则戊承担D项工作，此时效益值总和为：25+13+15+16+11=80，
所以，完成五项工作后获得的效益值总和最大是80．
故答案为：78；80．
3．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用代表第行，第个数，，例如，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第行中，最大
C．
D．
【答案】C
【详解】对于选项A，，故A错误；
对于选项B，第100行中第50个数是，又，故B错误；
对于选项C，第2025行中第1013个数和第1014个数分别为和，
因，故，故C正确；
对于选项D，因为
，
则，故D错误；
故选：C.
考点2 二项式定理
1.(2025·广东省东莞市·模拟)若(1−x)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a7x7，则a2+a4+a6=( )
A. 31B. 32C. 63D. 64
【答案】C
【解析】解：因为(1−x)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a7x7，
当x=0时，(1−0)7=a0=1，
当x=1时，0=a0+a1+a2+⋅⋅⋅+a7①，
当x=−1时，27=a0−a1+a2−a3+⋅⋅⋅+a6−a7②，
则①+②=2a0+a2+a4+a6=27，
所以a0+a2+a4+a6=26=64，
所以a2+a4+a6=64−1=63．
故选：C．
2.(2025·山东省淄博市·模拟)已知在x−2 xn，n∈N∗的展开式中，有且只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为
【答案】60
【解析】解：由二项式x−2 xn展开式中只有第4项的二项式系数最大，即展开式有7项，
所以n=6，
则展开式中的通项公式为Tr+1=C6r(−2)r⋅x6−32r，r=0，1，...，6，
令6−32r=3，解得r=2，
故展开式中含x3项的系数(−2)2⋅C62=60．
故答案为：60．
3．（2025高三·全国·专题练习）定义：给定一个正整数，如果两个整数满足能够被整除，就称整数对模同余，记作.若，，则的一组值可能为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【详解】依题意得能够被5整除.
而
，
所以能够被5整除.
对于A，，，则，不能被5整除，A不正确.
对于B，，，则，显然不能被5整除，B不正确.
对于C，，，则
，
不能被5整除，C不正确.
对于D，，，则
，能被5整除，
故选：D.
考点3 计数原理与概率
1.(2025·湖北省武汉市·模拟)为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人或两人选修的概率为( )
A. 780B. 760C. 1380D. 1360
【答案】D
【解析】解：将五名同学分为四组，每组人数分别为2、1、1、1，分组方法种数为C52=10种，
所以，五名同学报名四门课程，每名同学均需选修且只能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，
不同的报名种数为C52A44=240种，
考虑数独的报名人数，
①若数独只有一人报名，从乙和丙中选一人，有2种情况，
若选修几何画板只有一人，从剩余4人中除甲以外的3人中任选1人，有3种情况，
最后将剩余3人分为两组，再分配给另外两门课程，
此时不同的选择情况种数为2×3×C32A22=36种；
若选修几何画板有两人，有C32种情况，剩余两人选修剩余两门课程，
此时不同的选择方法种数为2C32A22=12种；
②若数独有两人报名(乙和丙)，
则选修几画板的有剩余人中除甲以外的两人中任选一人，有两种情况．
剩余两人报名剩余两名课程，
此时不同的选择方法种数为2A22=4种.
综上所述，所求概率为36+12+4240=52240=1360．
故选：D．
2．（多选题）（2025·云南·模拟预测）已知二项式，若该二项式的展开式的二项式系数之和为16，则（ ）
A．
B．
C．从任取两个数且，则事件“”的概率为
D．将进行排列，共有30种不同的情况
【答案】ACD
【详解】由二项式的二项式系数之和为16，即，所以，故A选项正确；
令，则，令，，则，所以B选项错误；
∵，∴，∴，
在这5个数中，有三个正数两个负数，则任取两个数，则两个数一正一负的概率为，故C选项正确；
由，所以对的全排列的个数为，故D选项正确.
故选：ACD.
3.(2025·湖北省省直辖县级行政区划·模拟)对有n(n⩾4)个元素的总体{1,2,3,⋯,n}进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,⋯,m}和{m+1,m+2,⋯,n}(m是给定的正整数，且2⩽m⩽n−2)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P1n= ；所有Pij(1⩽i