新高考数学二轮复习小题专项复习 专题5 排列组合与二项式定理（单选+多选+填空）（2份，原卷版+解析版）

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一、单选题
1．（2022·江苏盐城·统考三模）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设A，B，C三门德育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．54种B．240种C．150种D．60种
【答案】C
【分析】根据已知对五位同学分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解.
【详解】根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选A，B，C三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有种；
②三组人数为2、2、1，此时有种.
所以共有60+90=150种.
故选：C
2．（2022·江苏·模拟预测）八音是中国古代对乐器的总称，指金､石､土､革､丝､木､匏､竹八类，每类又包括若干种乐器.现有土､丝､竹三类乐器，其中土有缶､埙2种乐器；丝有琴､瑟､筑､琵琶4种乐器；竹有箫､笛､笼3种乐器.现从这三类乐器中各选1种乐器分配给甲､乙､丙三位同学演奏，则不同的分配方案有（ ）
A．24种B．72种C．144种D．288种
【答案】C
【分析】根据题意，分2步进行分析：①由分步计数原理计算从这三类乐器中各选1种乐器的选法数目，②将选出的3种乐器安排给甲乙丙三人，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：从这三类乐器中各选1种乐器的选法有（种），将3种乐器分配给甲､乙､丙三位同学演奏的方法有（种），因此不同的分配方案共有（种）.
故选：C.
3．（2022·江苏连云港·江苏省赣榆高级中学校考模拟预测）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合的展开式通项，分别令和即可求得所求系数.
【详解】展开式通项为：；
令，即，则；令，即，则；
的系数为.
故选：A.
4．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）校运会期间，要安排名志愿者参加跳高、跳远、接力赛三个项目的保障工作，要求每个项目至少安排名志愿者，每位志愿者只参加一个项目，则所有不同的安排方案有（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】C
【分析】先将将名志愿者分为组，每组人数分别为、、，然后将这组志愿者分配给三个项目，利用分步乘法计数原理可得所有不同的安排方案的种数.
【详解】将名志愿者分为组，每组人数分别为、、，则分组方法种数为，
再将这组志愿者分配给三个项目，共有个结果，
由分步乘法计数原理可知，共有种不同的分配方案.
故选：C.
5．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）的展开式中，项的系数为（ ）
A．400B．480C．720D．800
【答案】D
【分析】由已知可得出，写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】，
的展开式通项为，的展开式通项为，
所以的展开式通项为，
其中，，且、，
令，可得或或，
因此的展开式中的系数为.
故选：D.
6．（2022·江苏苏州·校联考模拟预测）举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，由于工作需要甲同学和乙同学不能去同一场馆，则所有不同的安排方法种数为（ ）
A．216B．180C．108D．72
【答案】A
【分析】利用间接法即得.
【详解】由题可得甲、乙、丙、丁、戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每一位志愿者只去一个场馆，每个场馆至少分配一位志愿者，共有不同的安排方法种，
其中甲同学和乙同学去同一场馆的安排方法种数为，
故甲同学和乙同学不去同一场馆，所有不同的安排方法种数为.
故选：A.
7．（2022·江苏常州·常州高级中学校考模拟预测）的展开式中的系数为（ ）
A．B．25C．D．5
【答案】A
【分析】根据题意，借助二项展开式通项得的展开式为，分析求解．
【详解】∵
的展开式为，
令，得，则，
令，得，则，
令，得，
∴的展开式中的系数为.
故选：A．
8．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）的展开式中的常数项为（ ）
A．40B．60C．80D．120
【答案】A
【分析】先确定的展开式的通项公式，再由求解.
【详解】解：的展开式的通项公式为，
而，
令，得，令，得，
所以的展开式中的常数项为．
故选：A．
9．（2022·江苏苏州·校考模拟预测）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ）
A．72B．108C．216D．432
【答案】C
【分析】先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分到三个检测点，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，由乘法原理计算可得．
【详解】根据题意，可先把4名“熟手”分为人数为的三组，再分配到3个检测点，共有种分法，然后把2名“生手”分配到3个检测点中的2个，有种分法，所以共有种不同的分配方案.
故选：C.
10．（2022·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测）的展开式中，一次项的系数与常数项之和为（ ）
A．33B．34C．35D．36
【答案】D
【分析】先求出一次项的系数与常数项，再求和即可
【详解】因为的通项公式为，
所以的展开式中，一次项的系数为，
常数项为，
所以一次项的系数与常数项之和为，
故选：D
11．（2022·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）的展开式中的系数是（ ）
A．84B．120C．122D．210
【答案】D
【分析】由二项展开式的通项即可求出每一个的系数，求和得出答案，或者根据，快速计算结果.
【详解】∵的通项为，
∴的通项为，
∴的展开式中的系数为，
同理得展开式中的系数为，展开式中的系数为，
故展开式中的系数为：
（也可以根据性质：，因为，故）
故选：D.
12．（2022·江苏南京·南京市宁海中学校考二模）第24届冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市举行．现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪馆、国家速滑馆、首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每个场馆都有人去，且这四人都在这三个场馆，则甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【答案】B
【分析】根据给定条件利用分类加法计数原理结合排列、组合知识计算作答.
【详解】因甲和乙都没去首钢滑雪大跳台，计算安排种数有两类办法：
若有两个人去首钢滑雪大跳台，则肯定是丙、丁，即甲、乙分别去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种；
若有一个人去首钢滑雪大跳台，从丙、丁中选，有种，然后剩下的一个人和甲、乙
被安排去国家高山滑雪馆与国家速滑馆，有种，则共有种，
综上可得，甲和乙都没被安排去首钢滑雪大跳台的种数为.
故选：B
13．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）当前，新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段，防止疫情输入的任务依然繁重，疫情防控工作形势依然严峻、复杂．某地区安排、、、四名同志到三个地区开展防疫宣传活动，每个地区至少安排一人，且、两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法总数为（ ）
A．种B．种C．种D．种
【答案】B
【分析】求出将四人分配到三个地区的分配方法种数，再求出、两人安排在同一地区的分配方法种数，利用间接法可求得结果.
【详解】先考虑将四人分配到三个地区，分组方法种数为，
所以，将、、、四名同志安排到三个地区，共有种分配方法，
接下来考虑、两人安排在同一地区，则共有种分配方法，
由间接法可知，、两人不安排在同一个地区且每个地区至少安排一人的分配方法种数为种.
故选：B.
14．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ）
A．56种B．64种C．72种D．96种
【答案】D
【分析】根据是否入选进行分类讨论即可求解.
【详解】由题意可知：根据是否入选进行分类：
若入选：则先给从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有种，再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法；
若不入选：则4个人4个岗位全排有种方法，
所以共有种不同的安排方法，
故选：.
二、多选题
15．（2022·江苏扬州·统考模拟预测）已知，则下列说法中正确的有（ ）
A．的展开式中的常数项为84
B．的展开式中不含的项
C．的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D．的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
【答案】AC
【分析】根据二项展开式的通项公式以及二项式系数的性质即可解出．
【详解】因为展开式的通项公式，所以
当，A正确；
当时，，B错误；
的展开式中各项系数和为，二项式系数之和为，C正确；
根据二项式系数的性质可知，最大，所以，的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，D错误.
故选：AC.
16．（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）已知的展开式中共有7项，则（ ）
A．所有项的二项式系数和为64
B．所有项的系数和为1
C．二项式系数最大的项为第4项
D．有理项共4项
【答案】ACD
【分析】由题意可得，对于A，所有项的二项式系数和为，对于B，令可求出所有项的系数和，对于C，由二项式展开式的系数特征求解即可，对于D，求出二项式展开式的通项公式，可求出所有的有理项
【详解】因为的展开式中共有7项，
所以，
对于A，所有项的二项式系数和为，所以A正确，
对于B，令，则所有项的系数和为，所以B错误，
对于C，由于二项式的展开项共有7项，所以二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，
对于D，的展开式的通项公式为，当时，展开式的项为有理项，所以有理项有4项，所以D正确，
故选：ACD
17．（2022·江苏·江苏省木渎高级中学校联考模拟预测）已知则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据给定等式，利用赋值法计算判断A，B，C，求出最高次项的系数判断D作答.
【详解】令，则，B正确；
，，
则有，，A正确，C错误；
展开式的最高次项的系数为，则，D正确.
故选：ABD
18．（2022·江苏南京·校考模拟预测）的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．展开式共6项
B．常数项为160
C．所有项的系数之和为729
D．所有项的二项式系数之和为64
【答案】BCD
【分析】利用二项展开式的特点判断A；求出指定项判断B；利用赋值法求出展开式系数和判断C；利用二项式系数的性质判断D作答.
【详解】展开式的总项数是7，A不正确；
展开式的通项公式为，
令得，常数项为，B正确；
取得展开式的所有项的系数之和为，C正确；
由二项式系数的性质得展开式的所有项的二项式系数之和为，D正确.
故选：BCD.
19．（2022·江苏南通·统考模拟预测）设，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．展开式中二项式系数最大的项是第5项
D．
【答案】ABD
【分析】利用赋值法判断A、B，根据二项式系数的性质判断C，写出展开式的通项，即可求出、，从而判断D；
【详解】解：因为，令得，故A正确；
令得，所以，故B正确；
因为二项式展开式共项，则展开式中二项式系数最大的项是第6项，为，故C错误；
二项式展开式的通项为，所以，，所以，故D正确；
故选：ABD
20．（2022·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）若，则下列结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据二项式展开式和系数的性质，逐项分析即可得出答案.
【详解】令可得，①，故A正确；
令可得：，②
①②可得：，故，故B正确；
令可得：，③
令可得：，④
把③代入④即可得出：，故C错误；
两边对求导得．
令可得，故D正确.
故选：ABD
21．（2022·江苏·模拟预测）若二项式展开式中所有项的系数之和为，所有项的系数绝对值之和为，二项式系数之和为，则（ ）
A．B．
C．对任意均有D．存在使得
【答案】ABC
【分析】根据所给二项式，赋值，分别求得、、，根据函数的单调性，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】由题意得：令，可得，
求所有项的系数绝对值之和，等价于求的所有项系数和，
令，可得，
二项式系数之和为，
对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：，
因为，且在上单调递增，
所以的最小值为，所以，，故B正确
对于C、D：在上为减函数，
所以，即，故C正确，D错误.
故选：ABC
22．（2022·江苏常州·统考模拟预测）已知二项式，则下列说法中正确的有（ ）
A．二项展开式中有常数项B．二项展开式的系数和为0
C．二项展开式的第2项系数为2022D．二项展开式的第1012项的系数最大
【答案】AB
【分析】根据二项展开式的通项公式可判断ACD，由赋值法可求出展开式的系数和判断B .
【详解】令，则，即二项展开式的系数和为0，故B正确；
由知，当时，即时，展开式为常数项，故A正确；
由通项展开式知，故C错误；
二项展开式的第1012项系数为，故D错误.
故选：AB
23．（2022·江苏泰州·统考模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】令，可求得，判断A；写出的求解式子，结合组合数的性质化简，即可判断B；令，即可求得的值，判断C;对两边求导数，令，即可求得，判断D.
【详解】当时，，故A对；
，B对；
令，则，
∴，故C错；
对等式两边求导，
即
令，则，
∴，故D对，
故选：ABD．
24．（2022·江苏南通·校联考模拟预测）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】A选项和B选项直接通过赋值法进行解决，C选项两边同时求导，再令即可解决，
D选项考虑到，比较两边的系数即可得出.
【详解】A选项：时，，A对．
B选项：时，①
时，②
，B对．
C选项：，
求导得，
时，，
，C错．
D选项：
比较两边的系数
，D正确．
故选：ABD.
【点睛】本题关键在于C选项和D选项的判断，C选项需要两边先同时求导，再进行赋值，D选项需要先利用平方差公式进行变形，再考虑两边项的系数，即可解决.
三、填空题
25．（2022·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）在展开式中，第项二项式系数依次成等差数列，且展开式中有常数项，则该常数项是第________项．
【答案】
【分析】根据等差数列的知识求得，结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.
【详解】由于第项二项式系数依次成等差数列，
所以，.
展开式的通项公式为，
令，整理得，
由于，
所以，即常数项是第项.
故答案为：
26．（2022·江苏淮安·统考模拟预测）的展开式的常数项是___________．
【答案】70
【分析】利用通项公式求解，常数项由三种情况合并而成，分别求解即可.
【详解】的通项公式为；
当时，中的常数项为；
当时，中的常数项为；
当时，；
所以的展开式的常数项为；
故答案为：70.
27．（2022·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）若多项式，则___________.
【答案】
【分析】先由求出展开式中含有的项，即可求得的系数，即可求解.
【详解】，为的系数，
含有的项为，故.
故答案为：.
28．（2022·江苏无锡·统考模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有________种．
【答案】54
【分析】根据甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，分甲是第5名和甲不是第5名分类求解.
【详解】解：因为甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，
当甲是第5名时，则乙可以为第2，3，4名，有3种情况，
剩下的3人全排列有种，
此时，由分步计数原理得共有种情况；
当甲不是第5名时，则甲乙排在第2，3，4名，有种情况，
剩下的3人全排列有种，
此时，由分步计数原理得共有种情况；
综上：甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有18+36=54种情况，
故答案为：54
29．（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为___________．
【答案】2
【分析】先算出，再写出通项公式，确定的次数为整数即可
【详解】的展开式有项,因为仅有第5项的二项式系数最大,所以
当时,,当时,,符合题意
所以展开式中有理项的个数为2
故答案为：2
30．（2023·江苏南京·校考一模）在二项式的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，项的系数是__________．（用数字作答）
【答案】135
【分析】根据给定条件，利用赋值法求出n值，再求出二项式展开式的通项即可求解作答.
【详解】在中，令得所有项的系数之和为，依题意，，解得，
因此的展开式的通项为，
令得：，
所以项的系数是135.
故答案为：135