新高考数学二轮复习提升讲与练专题04 微专题2 概率统计与函数、数列综合（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习提升讲与练专题04 微专题2 概率统计与函数、数列综合（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了考点透析，跟踪练习等内容，欢迎下载使用。
一、考点透析
考点1 与函数问题的交汇
1．（25-26高三上·上海浦东新·期末）小明和小李要进行一系列的比赛，假设每局比赛的结果互不影响.
(1)若比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4.
①如果共有三局比赛，求小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率；
②小明作为实力较弱的一方，他可以优先选择“一局定胜负”或“三局两胜”的赛制（“三局两胜”指先赢两局者为胜，最多三局结束）.请帮助小明分析，选择哪种赛制对他更有利，并说明理由.
(2)如果小明每局获胜的概率为，他和小李要进行一场“五局三胜”的比赛（“五局三胜”指先赢三局者为胜，最多五局结束）.记小明最终获胜的概率为，请给出的表达式，判断并说明函数在上的单调性，并指出现实意义.
【答案】(1)①；②一局定胜负对小明更有利，理由见解析
(2)，函数在上的单调递增；意义见解析
【详解】（1）①根据题意，比赛没有平局，且小明每局获胜的概率为0.4，所以三局比赛相互独立，且小明每局输的概率为0.6，
所以小明的比赛结果依次为赢、输、赢的概率为；
②根据题意，一局定胜负时，小明赢得比赛的概率为，
三局两胜时，小明赢得比赛有两种情况：
情况一：前两局获胜，概率为，
情况二：前两局胜一局，输一局，第三局获胜，其概率为，
根据互斥事件的加法公式，所以在“三局两胜”的赛制下，
小明获胜的概率为，
因为，所以从小明的角度考虑，一局定胜负对小明更有利；
（2）“五局三胜”的赛制下，小明获胜有以下几种情况：
情况一：前三局获胜，概率为，
情况二：前三局胜两局输一局，第四局获胜，则，
情况三：前四局胜两局输两局，第五局获胜，则，
所以小明赢的概率为：
，
所以，
所以，
因为，所以，
所以函数在上的单调递增；
现实意义：在“五局三胜”的比赛中，小明每局获胜的概率越大，他最终获胜的概率就越大，即小明实力越强，他获胜的可能性就越大.
2．（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法：
①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次.
②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次.
(1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率；
(2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；.
(3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值.
（参考数据：）
【答案】(1)
(2)分布列见解析
(3)
【详解】（1）记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”，
则，
故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为.
（2）每组化验的次数可能是1或6，
记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”，
则，
可知，
，
，
所以的分布列为：
（3），
，
所以，
令，则，即，
当时，，两边取以为底的对数，得到，
设函数，则，
当时；当时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以的最大值为.
考点2 与数列问题的交汇二项分布
1.(2025·河北省石家庄市·期中)一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动.若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为13;若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为12.记第n次向左跳动的概率为pn，则p3= ;i=1npi= ．
【答案】49；2449+37n−2449(−16)n
【解析】解：由题意，得p1=1，p2=13，p3=13p2+12(1−p2)=13×13+23×12=49，
由pn+1=13pn+12(1−pn)=−16pn+12，
设pn+1+t=−16(pn+t)，则−t−16t=12，t=−37，
所以数列{pn−37}是首项为47，公比为−16的等比数列，
所以pn−37=47×(−16)n−1，即pn=37+47(−16)n−1，
所以i=1npi=37n+47[1−(−16)n]1−(−16)=2449+37n−2449(−16)n．
故答案为：49;2449+37n−2449(−16)n．
2.(2025·广东省惠州市·模拟)已知某盒子里装有除颜色外完全相同的5个小球，其中2个白球，3个黑球，每轮从盒子中随机取出1个小球，放回盒子中．
(1)若有放回地连续抽取5轮，求5轮取出的白球总数的数学期望;
(2)若规定：取出的是白球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中．
(Ⅰ)求在第1轮取出黑球的条件下，第5轮恰好取出所有白球的概率;
(Ⅱ)求第n(n≥2)轮恰好取出所有白球的概率．
【答案】(1)2；
(2)(Ⅰ)5494000；(Ⅱ)89(34)n−109(35)n．
【解析】解：(1)由题意，每轮取出的白球概率为25，
5轮取出的白球总数X∽B(5,25)，
则E(X)=5×25=2；
(2)记Ai=“第i轮取出白球，Bi=“第i轮取出黑球”(i∈N∗)，
(Ⅰ)记C=“在第1轮取出黑球的条件下，第5轮恰好取出所有白球”，
则P(C)=P(A2B3B4A5∪B2A3B4A5∪B2B3A4A5|B1)
=25×34×34×14+35×25×34×14+35×35×25×14=5494000；
(Ⅱ)解法一：由题意，前n−1轮中恰有一轮取出白球，
P(AkAn)=(35)k−1×25×(34)n−1−k×14=110×(34)n−2(45)k−1，(1≤k≤n−1)，
则第n轮恰好取出所有白球的概率qn=k=1n−1P(AkAn)=110×(34)n−2k=1n−1(45)k−1
=110×(34)n−21−(45)n−11−45=89(34)n−109(35)n；
解法二：1.考虑前n−2次和第n−1次的情况，
如果白球在第n−1次，则概率为(35)n−2×25×14；
如果恰有一个白球在前n−2次的概率为P0，则14P0=Pn−1，
所以Pn=(35)n−2×25×14+34Pn−1；
2.考虑第1次和后面n−1次的情况，
同理可得Pn=(34)n−2×25×14+35Pn−1，
所以化简可得5Pn−4Pn=Pn=(34)n−2×12−(35)n−2×25=89(34)n−109(35)n．
3.(2025·安徽省安庆市·模拟)深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中25的人选择只游览海滨栈道，另外35的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩.每位游客若选择只游览海滨栈道，则记1分；若选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取n个人n∈N∗，记这n个人的合计得分恰为n+1分的概率为pn，求i=1npi；
(3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分n∈N∗的概率为an，随着抽取人数的无限增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)165；
(2)53−5+3n3⋅(25)n；
(3)an趋近于常数58．
【解析】解：(1)依题意，随机变量X的可能取值为2,3,4，
则P(X=2)=(25)2=425，P(X=3)=C21×25×35=1225，P(X=4)=(35)2=925
所以X的分布列如下表所示：
数学期望为E(X)=2×425+3×1225+4×925=165；
(2)由这n人的合计得分为n+1分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，
于是pn=Cn1⋅35⋅(25)n−1=3n⋅2n−15n=32⋅n⋅(25)n，令数列{n⋅(25)n}的前n项和为Sn，
则Sn=1×25+2×(25)2+3×(25)3+⋯+n×(25)n，
于是25Sn=1×(25)2+2×(25)3+⋯+(n−1)×(25)n+n×(25)n+1，
两式相减得35Sn=25+(25)2+(25)3+⋯+(25)n−n×(25)n+1=25[1−(25)n]1−25−n×(25)n+1
=23−10+6n15×(25)n，因此Sn=109−10+6n9⋅(25)n，
所以i=1npi=p1+p2+p3+⋯+pn=32Sn=53−5+3n3⋅(25)n；
(3)在随机抽取的若干人的合计得分为n−1分的基础上再抽取1人，
则这些人的合计得分可能为n分或n+1分，
记“合计得n分”为事件A，“合计得n+1分”为事件B，A与B是对立事件，
则P(A)=an，P(B)=35an−1，an+35an−1=1(n≥2)，即an−58=−35(an−1−58)(n≥2)，
由a1=25，得a1−58=−940，则数列{an−58}是首项为−940，公比为−35的等比数列，
an−58=−940(−35)n−1(n⩾1)，因此an=58−940(−35)n−1(n≥1)，
随着n的无限增大，(−35)n−1无限趋近于0，an无限趋近于58，
所以随着抽取人数的无限增加，an趋近于常数58．
考点3 风险与决策问题
1.(2025·江西省景德镇市·模拟)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理如下表．
记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为x，标准差的估计值为s.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)
(1)求x，s2;
(2)判断该新型水稻能否推广种植(在这100块稻田中，若超过90块稻田的亩产量在(x−3s2,x+3s2)内，则认为该新型水稻能推广种植)．
【答案】(1)x=1055(kg)；s2=4700；
(2)该新型水稻不能推广种植．
【解析】解：(1)由频数分布表可得：
x=1100×(10×925+11×975+22×1025+30×1075+20×1125+7×1175)=1055(kg)，
s2=1100×[10×(925−1055)2+11×(975−1055)2+22×(1025−1055)2+30×(1075−1055)2+20×(1125−1055)2+7×(1175−1055)2]=4700；
(2)因为s= 4700=10 471055−32×70=950，
x+3s2EY，故选择方案一比较合适
(2)设“该同学抽取中奖”为事件A，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为B1，B2，B3，
则PB1=PB2=PB3=13，PA|B1=13，PA|B2=PA|B3=12，
所以P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=13×13+13×12+13×12=49，
故PB2|A=PB2APA=PB2PA|B2PA=13×1249=38，
所以所求概率为38．
二、跟踪练习
1.(2025·河北省秦皇岛市·模拟)2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为X，求X的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)M大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为p(0