新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题一2 排列组合与二项式定理小题综合（2份，原卷版+解析版）

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做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法……做第n个步骤有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的区别
分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
使用分类加法计数原理时两个注意点
(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏.
(2)分类时，注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，不能重复.
利用分步乘法计数原理解题时三个注意点
(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．
(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事．
(3)对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定．
应用两个计数原理的难点在于明确分类和分步．分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准是关键；分步要做到“步骤完整”，步步相连能将事件完成，较复杂的问题可借助图表完成．
排列、组合的定义
排列数、组合数的定义、公式、性质
求解排列应用问题方法汇总
模拟训练
一、单选题
1．（22·23下·武汉·三模）把1，2，3，4，5这5个数排成一列，则满足先增后减（例如：1，3，5，4，2）的数列的个数是（ ）．
A．6B．10C．14D．20
2．（22·23·菏泽·三模）2023年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为，五辆车随机排成一排，则车与车相邻，车与车不相邻的排法有（ ）
A．36种B．42种C．48种D．60种
3．（22·23·济宁·二模）为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情．某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为（ ）
A．48B．36C．24D．12
4．（22·23下·河北·一模）为了提高同学们对数学的学习兴趣，某高中数学老师把《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《海岛算经》这4本数学著作推荐给学生进行课外阅读，若该班A，B，C三名同学有2名同学阅读其中的2本，另外一名同学阅读其中的1本，若4本图书都有同学阅读（不同的同学可以阅读相同的图书），则这三名同学选取图书的不同情况有（ ）
A．144种B．162种C．216种D．288种
5．（22·23·衡水·三模）第19届亚运会将于2023年9月在杭州举行，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心主体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，甲、乙、丙、丁4人预约参观，且每人预约了1个或2个馆，则这4人中每个馆恰有2人预约的不同方案有（ ）
A．76种B．82种C．86种D．90种
6．（22·23下·益阳·三模）某个单位安排7位员工在“五·一”假期中1日至7日值班，每天安排1人值班，且每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在5月1日，丁不排在5月7日，则不同的安排方案共有（ ）
A．504种B．960种C．1008种D．1200种
7．（22·23·福州·三模）厦门市博物馆由厦门博物馆主馆、郑成功纪念馆、厦门经济特区纪念馆、厦门市文化遗产保护中心、破狱斗争陈列馆、陈化成纪念馆、陈胜元故居七个馆区组成.甲、乙两名同学各自选取一个馆区参观且所选馆区互不相同，若郑成功纪念馆和破狱斗争陈列馆至少有一个被选，则不同的参观方案有（ ）
A．22种B．20种C．12种D．10种
8．（22·23下·辽宁·二模）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排4人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）．
A．14种B．16种C．18种D．20种
9．（22·23下·湖北·二模）用组成没有重复数字的四位数，其中能被15整除的有（ ）
A．38个B．40个C．42个D．44个
10．（22·23·唐山·二模）已知展开式中的系数为48，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
11．（22·23·合肥·三模）若的展开式中，所有项的系数和与二项式系数和相等，且第6项的二项式系数最大，则有序实数对共有（ ）组不同的解
A．1B．2C．3D．4
12．（22·23下·江苏·二模）已知，则（ ）
A．-1B．0C．1D．2
13．（22·23·济宁·三模）若，则（ ）
A．B．C．D．
14．（22·23·德州·三模）若，则（ ）
A．B．
C．D．
15．（22·23下·湖北·二模）城市交通信号灯的配时合理与否将直接影响城市交通情况．我国采用的是红绿交通信号灯管理方法，即“红灯停、绿灯行”．不妨设某十字路口交通信号灯的变换具有周期性．在一个周期T内交通信号灯进行着红绿交替变换（东西向红灯的同时，南北向变为绿灯；然后东西向变为绿灯，南北向变红灯）．用H表示一个周期内东西方向到达该路口等待红灯的车辆数，V表示一个周期内南北方向到达该路口等待红灯的车辆数，R表示一个周期内东西方向开红灯的时间，S表示一个周期内所有到达该路口的车辆等待时间的总和（不考虑黄灯时间及其它起步因素），则S的计算公式为（ ）
A．B．
C．D．
16．（22·23下·浙江·二模）已知（）的展开式中含项系数为，则含项系数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
17．（22·23·全国·二模）在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项是B．各项的系数和是64
C．第4项二项式系数最大D．奇数项二项式系数和为
18．（22·23下·全国·三模）若在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
19．（22·23·保山·二模）已知二项式的展开式中各项系数之和是128，则下列说法正确的有（ ）
A．展开式共有7项
B．所有二项式系数和为128
C．二项式系数最大的项是第4项
D．展开式的有理项共有4项
20．（22·23·日照·三模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
21．（23·24上·宁波·一模）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
22．（22·23下·晋中·二模），若，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．的展开式中第1012项的系数最大
23．（22·23下·佛山·一模）若，其中为实数，则（ ）
A．B．C．D．
24．（22·23·保定·一模）如图所示的三角数阵，其中第m行（从上到下），第n列（从左到右）的数表示为，且，当时，有，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（22·23·菏泽·三模）已知多项式，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
26．（22·23下·长沙·一模）已知 a>0，若，且，则a= .
27．（22·23下·温州·三模）展开式的常数项为 .（用最简分数表示）
28．（22·23下·广州·三模）甲、乙、丙3所学校每所学校各派出两名同学，现从这六名同学中任取两名，安排到甲、乙、丙3所学校交流.每所学校至多安排一名同学，每名同学只能去一所学校且不能去自己原先的学校，则不同的安排方法有 种.
29．（22·23·衡水·三模）的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
30．（23·24上·永州·一模）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．
31．（22·23下·黄冈·二模）展开式中含项的系数为 .
32．（22·23·汕头·二模）已知，则 .
33．（22·23下·浙江·二模）展开式中的系数为 .
34．（22·23下·温州·二模）一个圆的圆周上均匀分布6个点，在这些点与圆心共7个点中，任取3个点，这3个点能构成不同的等边三角形个数为 .
35．（22·23下·南通·三模）已知，则 .
36．（22·23下·江苏·三模）展开式中的常数项为 .
37．（22·23·重庆·三模）已知的展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，则的展开式中的系数为 ．
38．（22·23下·长沙·三模）每年高考结束后，各大高校会进入长沙的高中校园组织招生宣传.某中学高三年级的3名男生、2名女生去参加A，B两所高校的志愿填报咨询会，每个学生只能去其中的一所学校，且要求每所学校都既有男生又有女生参加，则不同的安排方法数是 ．
39．（22·23·张家口·三模）展开式中的系数是 .
40．（22·23·福州·二模）某市文明办积极创建全国文明典范城市，号召志愿者深入开展交通督导､旅游宣传､洁净家园､秩序维护4项志愿服务.现有6组志愿者服务队，若每组参与一项志愿服务，每项志愿服务至少有1组参与，其中甲组志愿服务队不参与旅游宣传志愿服务，则不同的参与方式共有 种.
排列的定义
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义
合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
排列数
组合数
定义
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数
公式
Aeq \\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq \f(n！,n－m！)
Ceq \\al(m,n)＝eq \f(A\\al(m,n),A\\al(m,m))＝eq \f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)
性质
Aeq \\al(n,n)＝n！，0！＝1
Ceq \\al(0,n)＝1，Ceq \\al(m,n)＝Ceq \\al(n－m,n)，Ceq \\al(m,n)＋Ceq \\al(m－1,n)＝Ceq \\al(m,n＋1)
直接法
把符合条件的排列数直接列式计算
优先法
优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中
定序问题除法处理
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数Aeq \\al(n,n)除以m个顺序一定的元素之间的全排列数Aeq \\al(m,m)，即得到不同排法种eq \f(A\\al(n,n),A\\al(m,m))＝Aeq \\al(n－m,n).
间接法
正难则反、等价转化的方法
分组分配
平均分组、部分平均分组
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Aeq \\al(n,n)(n为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．
隔板法
将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子
环排问题
(1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为
(2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为
(3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为
涂色问题
涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。