高考数学二轮专题学与练 19 排列、组合、二项式定理（考点解读）（含解析）

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专题19  排列、组合、二项式定理1.排列、组合与二项式定理每年交替考查，主要以选择、填空的形式出现，试题难度中等或偏易.2.排列、组合试题具有一定的灵活性和综合性，常与实际相结合，转化为基本的排列组合模型解决问题，需用到分类讨论思想，转化思想.3.与二项式定理有关的问题比较简单，但非二项问题也是今后高考的一个热点，解决此类问题的策略是转化思想.1．两个重要公式(1)排列数公式A＝＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)组合数公式C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．2．三个重要性质和定理(1)组合数性质①C＝(n，m∈N*，且m≤n)；②C＝(n，m∈N*，且m≤n)；③C＝1.(2)二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－k·bk＋…＋Cbn，其中通项Tr＋1＝Can－rbr.(3)二项式系数的性质①C＝C，C＝C，…，C＝C；②C＋C＋C＋…＋C＝2n；③C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.高频考点一　排列与组合例1．(2018年浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1 260【解析】若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为CCA；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为CCCA.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为CCA＋CCCA＝720＋540＝1 260.【举一反三】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(   )A．12种                    B．18种               C．24种              D．36种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。【变式探究】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(A)24       　(B)48     　(C)60      　(D)72【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.【变式探究】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有(　　)A．144个   B．120个 C．96个  D．72个【解析】由题意，首位数字只能是4，5，若万位是5，则有3×A＝72个；若万位是4，则有2×A个＝48个，故40 000大的偶数共有72＋48＝120个．选B.【答案】B高频考点二　排列组合中的创新问题例2．用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)【解析】分三步：第一步，5个无区别的红球可能取出0个，1个，…，5个，则有(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)种不同的取法；第二步，5个无区别的蓝球都取出或都不取出，则有(1＋b5)种不同取法；第三步，5个有区别的黑球看作5个不同色，从5个不同色的黑球中任取0个，1个，…，5个，有(1＋c)5种不同的取法，所以所求的取法种数为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5，故选A.【答案】A【变式探究】设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)A．60   B．90   C．120   D．130【解析】易知|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1或2或3，下面分三种情况讨论．其一：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝1，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取一个让其等于1或－1，其余等于0，于是有CC＝10种情况；其二：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝2，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取两个让其都等于1或都等于－1或一个等于1、另一个等于－1，其余等于0，于是有2C＋CC＝40种情况；其三：|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|＝3，此时，从x1，x2，x3，x4，x5中任取三个让其都等于1或都等于－1或两个等于1、另一个等于－1或两个等于－1、另一个等于1，其余等于0，于是有2C＋CC＋CC＝80种情况．由于10＋40＋80＝130，故答案为D.【答案】D高频考点三　二项展开式中项的系数例3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为(   )A．12 B．16 C．20      D．24【答案】A【解析】由题意得x3的系数为，故选A．【变式探究】在的展开式中，的系数为__________________.(用数字作答)【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。 【变式探究】 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)A．10   B．20 C．30  D．60【解析】Tk＋1＝C(x2＋x)5－kyk，∴k＝2.∴C(x2＋x)3y2的第r＋1项为CCx2(3－r)xry2，∴2(3－r)＋r＝5，解得r＝1，∴x5y2的系数为CC＝30.【答案】C高频考点四　二项展开式中的常数项例4．【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】    5【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项． 【变式探究】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为(A)－15x4     (B)15x4     (C)－20i x4     (D)20i x4【答案】A【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A. 【变式探究】已知的展开式中含x的项的系数为30，则a＝(　　)A.   B．－   C．6   D．－6【解析】的展开式通项Tr＋1＝Cx(－1)rar·x－＝(－1)rarCx－r，令－r＝，则r＝1，∴T2＝－aCx，∴－aC＝30，∴a＝－6，故选D.【答案】D高频考点五　二项式定理的综合应用例5．展开式中的系数为(    )A．15    B．20    C．30    D．35【答案】C 【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.【变式探究】若(ax2+)5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.【答案】－2【解析】因为，所以由，因此 【变式探究】二项式(x＋1)n(n∈N＋)的展开式中x2的系数为15，则n＝(　　)A．4   B．5 C．6   D．7【解析】由题意易得：C＝15，C＝C＝15，即＝15，解得n＝6.【答案】C1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】(1+2x2 )(1+x)4的展开式中x3的系数为(   )A．12 B．16 C．20      D．24【答案】A【解析】由题意得x3的系数为，故选A．2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】    5【解析】由题意，的通项为，当时，可得常数项为；若展开式的系数为有理数，则，有共5个项． 3．【2019年高考江苏卷理数】设．已知．(1)求n的值；(2)设，其中，求的值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)因为，所以，．因为，所以，解得．(2)由(1)知，．．解法一：因为，所以，从而．解法二：．因为，所以．因此．1. (2018年全国Ⅲ卷理数)的展开式中的系数为A. 10    B. 20    C. 40    D. 80【答案】C【解析】由题可得令,则，所以，故选C.2. (2018年浙江卷)二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3. (2018年天津卷)在的展开式中，的系数为____________.【答案】【解析】结合二项式定理的通项公式有：，令可得：，则的系数为：.4. (2018年浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260【解析】若不取零，则排列数为若取零，则排列数为因此一共有个没有重复数字的四位数.1.【2017课标1，理6】展开式中的系数为A．15    B．20    C．30    D．35【答案】C 【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故前系数为，选C.2.【2017课标II，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(   )A．12种                    B．18种               C．24种              D．36种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列即可，由乘法原理，不同的安排方式共有种方法。 故选D。3.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.(用数字作答)【答案】 1080【解析】 4.【2017山东，理11】已知的展开式中含有项的系数是，则             .【答案】4【解析】由二项式定理的通项公式，令得：，解得．1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(    )(A)24            (B)18             (C)12               (D)9【答案】B【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.2.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为(A)－15x4     (B)15x4     (C)－20i x4     (D)20i x4【答案】A【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A.3.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为(A)24       　(B)48     　(C)60      　(D)72【答案】D【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.4.【2016高考新课标3理数】定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若，则不同的“规范01数列”共有(     )(A)18个    (B)16个    (C)14个    (D)12个【答案】C【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：000011111011101101001110110100110100011101101001105.【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为__________________.(用数字作答)【答案】60.【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。6.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是         .(用数字填写答案)【答案】10【解析】试题分析：的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.7.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)【答案】－56【解析】展开式通项为，令，，所以的．故答案为－56． 8.【2016高考山东理数】若(ax2+)5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______.【答案】－2【解析】因为，所以由，因此