新高考数学一轮复习讲与练3.5 正余弦定理（精讲）（基础版）（2份，原卷版+解析版）

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考点呈现
例题剖析
考点一 正余弦定理公式选择
【例1-1】（2022·广东广东·一模）中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】在中， ，由正弦定理得：，即,
解得：.故选：B
【例1-2】（2022·北京顺义·二模）在中，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要件
【答案】B
【解析】中，，由正弦定理，，，
，所以，可为锐角也可为钝角，所以或，
因此“”是“”的必要不充分条件．故选：B．
【一隅三反】
1．（2022·河南·高三阶段练习（文））在中，内角，，所对的边分别是，，.若，，，则（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【解析】由正弦定理可得，则，
故或.因为，所以，所以.故选：A
2．（2022·浙江）中内角所对的边分别为，已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由余弦定理得：，所以.故选：A.
3．（2022·吉林·长春十一高）的三个内角､､满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
可设，由余弦定理可得.故选：B.
4．（2022·四川·树德中学）在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】C
【解析】由得，，由余弦定理得，
因为，所以.故选：C
考点二 边角互化
【例2-1】（2022·海南·模拟预测）在中，内角，，所对的边分别为，，，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为由正弦定理可得，所以又
所以故选:D
【例2-2】（2022·陕西商洛·一模（理）） 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则b=（ ）
A．4B．C．D．2
【答案】B
【解析】因为，所以，即.又，所以，
由余弦定理得： ,从而，故选：B
【例2-3】（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以得，
又因为，所以，进而有，
因为，所以，由正弦定理得，
又，消，可得，所以，故选：B.
【例2-4】（2022·甘肃·高台县第一中学）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，因为，
由正弦定理，可得，即，
可得，
因为，可得，即，
因为，可得，所以.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（理））在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由正弦定理可得：，在中，，所以，
所以，即：，，，可得，
同理，当时，也可得成立，故选：A.
2．（2022·北京石景山·一模）在中，，若，则的大小是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，由余弦定理可知，
即，得，所以是等边三角形，.故选：C
3．（2022·安徽安庆·二模（文））的内角，，的对边分别为，，.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】在中，由正弦定理及得：，解得，
在中，，，于是为锐角，所以.故选：C
4．（2022·内蒙古包头·高三期末（文））已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且，则___________.
【答案】
【解析】因为，由正弦定理，可得，
又因为，所以，解得，由余弦定理知，
所以，
即，解得.故答案为：.
5．（2022·重庆·高三阶段练习）在中，，，分别是角，，的对边，记外接圆半径为，且，则角的大小为________．
【答案】
【解析】由正弦定理：故
即
故，又故故答案为：
考点三 三角形的面积
【例3-1】（2022·全国·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【解析】根据正弦定理，由，，
由余弦定理可知：，解得，或（舍去），
因为，所以，因此，
故选：D
【例3-2】（2022·安徽宣城·二模）已知锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积是__________．
【答案】
【解析】因为，所以由正弦定理可得，由，则，而三角形ABC为锐角三角形，所以.
由余弦定理，，所以.
故答案为：.
【例3-3】（2022·陕西榆林·三模（理））△的内角，，的对边分别为，，，若△的面积为，，，则（ ）
A．10B．3C．D．
【答案】C
【解析】因为，则，又，
所以，又，可得，，所以，即.故选：C
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若的面积为S，且，则（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，
代入，即，
∵，∴，即，
故选：B.
2．（2022·贵州·模拟预测（理））在锐角三角形中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的面积为______.
【答案】
【解析】因为，所以由正弦定理可得
所以，
因为所以
因为，则，则，所以为等边三角形，故的面积
故答案为：
3．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）已知中，角，，所对的边分别为，，．已知， ，的面积，则的外接圆的直径为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】C
【解析】因为， ，的面积，所以，解得 ，
由余弦定理得，解得，
所以的外接圆的直径为，故选：C
4．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））的内角所对的边分别为.已知，则的面积的最大值（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】在中，由余弦定理，可化为.
因为,所以.
由余弦定理，可化为：，解得：（a=0舍去）.
因为，所以，即（当且仅当时取等号）.
所以的面积.故选：B
考点四 判断三角形的形状
【例4】（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2csAsinB＝sinC，则该三角形的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形
【答案】C
【解析】∵a2＋b2－c2＝ab，∴，又，∴，
由2csAsinB＝sinC，得∴，即，又，
故三角形为等边三角形.故选：C
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）设的三个内角满足，又，则这个三角形的形状是（ ）
A．直角三角形B．等边三角形
C．等腰直角三角形D．钝角三角形
【答案】B
【解析】因的三个内角，而，则，
又，由正弦定理得：，
由余弦定理得：，整理得，即，是等腰三角形，
所以是等边三角形.故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（ ）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】因为，所以，所以
即，所以，因为，
所以，因为，所以，即是直角三角形.故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）在中，，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】D
【解析】在中，，又由余弦定理知，，
两式相加得：，
（当且仅当时取“” ，又，
（当且仅当时成立），为的内角，
，，又，的形状为等边△．故选：．
4．（2022·全国·高三专题练习）对于，有如下四个命题:
①若 ，则为等腰三角形，
②若，则是直角三角形
③若，则是钝角三角形
④若，则是等边三角形.
其中正确的命题序号是_________
【答案】③④
【解析】对于①可推出或，故不正确；
②若，显然满足条件，但不是直角三角形；
③由正弦定理得，所以，是钝角三角形；
④由正弦定理知，由于半角都是锐角，所以，三角形是等边三角形.
故答案为：③④
考点五 三角形解个数
【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知在中，、、分别为角、、的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】B
【解析】对于A选项，由正弦定理可得，且，故有两解；
对于B选项，由正弦定理可得，且，故只有一解；
对于C选项，由正弦定理可得，故无解；
对于D选项，因为，则角为的最大内角，且，故无解.故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）在△ABC中，，b＝6，下面使得三角形有两组解的a的值可以为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，根据正弦定理有，所以，
要使三角形有两组解，则，且，即，所以，
所以a的值可以为．故选：C．
2．（2022·江西上饶·一模）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，.其中满足上述条件的三角形有唯一解的是（ ）
A．①④B．①②C．②③D．③④
【答案】C
【解析】对于①，因为，且，所以三角形有两解；
对于②，因为，且，所以三角形一解；
对于③，，所以三角形有一解；
对于④，，，，则，则，所以三角形无解.
所以满足上述条件的三角形有一解的是②③.故选：C
3．（2022·河南·南阳中学）中，已知下列条件：①；②；③；④，其中满足上述条件的三角形有两解的是（ ）
A．①④B．①②C．①②③D．③④
【答案】B
【解析】①，三角形有两解；②，三角形有两解；③，三角形有一解；④，三角形无解.故选：B.
考点六 几何中的正余弦定理
【例6】（2022·广东梅州·二模）在中，点在上，平分，已知，，
(1)求的长；(2)求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)依题意，由余弦定理得：，
解得：
(2)依题意，由正弦定理得：，所以.
因为，所以为锐角，所以.
因为，所以，
所以.
【一隅三反】
1．（2022·广东韶关·一模）如图，在中，对边分别为，且.
(1)求角的大小；
(2)已知，若为外接圆劣弧上一点，且，求四边形的面积.
【答案】(1).(2).
【解析】(1)由正弦定理及已知，得，
，，，，
又，所以，即；
(2)由A､B､C､D四点共圆得，
设，在三角形中，由余弦定理得
所以，而，
，
，因此.
2．（2022·广东·模拟预测）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，的面积为．
(1)求b，c．
(2)O为边AC上一点，过点A作交BO延长线于点D，若的面积为，求．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)∵，，∴，
，则，
在中，由余弦定理得，即，∴,
∴，∴，∴，解得：，∴．
(2)设， ，则，∴，
，则∽．
∴，∴，
∴，解得：或（舍去）或0（舍去），
∴，
在中，由余弦定理得．
在中，由余弦定理得，
则，，
又，则，∴．
3．（2022·贵州·模拟预测（理））如图，在中，D是AC边上一点，为钝角，．
(1)证明：；
(2)若，，再从下面①②中选取一个作为条件，求的面积．
①； ②．
注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为，所以，故；
(2)选①．因为，所以
在中，由余弦定理可得，
由正弦定理可得所以，故，
在中，因为，所以，
又．
选②，
设，则，在中，，
由（1）得，
解得，即
在中，则
,，
所以，
所以．
所以.