（艺考生）新高考数学一轮复习考点基础讲义+分层练4.5两角和与差的正余弦（讲义）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc194563880" 2知识点02两角和与差的余弦公式 PAGEREF _Tc194563880 \h 2
\l "_Tc194563881" 3题型一、逆用两角和与差的正弦公式 PAGEREF _Tc194563881 \h 2
\l "_Tc194563882" 4题型二、逆用两角和与差的余弦公式 PAGEREF _Tc194563882 \h 5
知识点01两角和与差的正弦公式
①公式：sin(α±β)=sinαcsβ±csαsinβ；
②记忆口诀：正余余正符号同
知识点02两角和与差的余弦公式
①cs(α±β)=csαcsβ∓sinαsinβ；
②记忆口诀：余余正正符号反
题型一、逆用两角和与差的正弦公式
1．sin140∘cs10∘+cs40∘sin350∘=
A．32B．−32C．12D．−12
【答案】C
【分析】先根据诱导公式化角，再根据两角差正弦公式化简求值.
【详解】sin140∘cs10∘+cs40∘sin350∘=sin40∘cs10∘−cs40∘sin10∘=sin40∘−10∘
=sin30∘=12,选C.
【点睛】本题考查诱导公式以及两角差正弦公式，考查基本分析求解能力，属基本题.
2．sin110∘cs40∘−cs70∘sin40∘=（ ）
A．12B．32C．−12D．−32
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及差角的正弦公式计算得解.
【详解】sin110∘cs40∘−cs70∘sin40∘=sin70∘cs40∘−cs70∘sin40∘=sin30∘=12.
故选：A
3．计算：sin20°sin80°+cs20°sin170°=（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【答案】A
【分析】根据诱导公式结合两角和的正弦求解即可.
【详解】由诱导公式与两角和的正弦可得：
sin20°sin80°+cs20°sin170°=sin20°cs10°+cs20°sin10°
=sin20°+10°=sin30°=12.
故选：A
4．sin37.5∘cs7.5∘+cs37.5∘cs97.5∘=（ ）
A．−12B．12C．−22D．22
【答案】B
【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】sin37.5∘cs7.5∘+cs37.5∘cs97.5∘=sin37.5∘cs7.5∘+cs37.5∘cs90∘+7.5∘
=sin37.5∘cs7.5∘−cs37.5∘sin7.5∘=sin37.5∘−7.5∘=sin30∘=12.
故选：B.
5．计算：sin20°sin80°+cs20°sin170°=（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【答案】A
【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求解即可.
【详解】sin20°sin80°+cs20°sin170°=sin20°cs10°+cs20°sin10°=sin30°=12.
故选：A
6．sin37.5°cs7.5°−cs37.5°cs97.5°=（ ）
A．−12B．12C．−22D．22
【答案】D
【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简求值，即得答案.
【详解】sin37.5°cs7.5°−cs37.5°cs97.5°= sin37.5°cs7.5°+cs37.5°sin7.5°
=sin37.5°+7.5°=sin45°=22,
故选：D
7．sin347°cs148°+sin77°cs58°=（ ）
A．12B．22C．32D．1
【答案】B
【分析】利用诱导公式把大角化小角，再利用正弦的两角和公式，即可求值.
【详解】sin347°cs148°+sin77°cs58°
=sin270°+77°cs90°+58°+sin77°cs58°
=−cs77°⋅−sin58°+sin77°cs58°
=sin58°cs77°+cs58°sin77°=sin58°+77°= sin135°=22．
故选：B.
8．sin20°cs10°−cs160°⋅sin10°=（ ）
A．−32B．32C．−12D．12
【答案】D
【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求出答案.
【详解】sin20°cs10°−cs160°sin10°=sin20°cs10°+cs20°sin10°=sin30°=12.
故选：D
9．sin140∘cs10∘−cs40∘sin10∘=（ ）
A．32B．−32C．12D．−12
【答案】C
【分析】先利用诱导公式化简sin140∘=sin40∘，再利用两角和差的正弦公式.
【详解】因sin140∘=sin180∘−40∘=sin40∘，则
sin140∘cs10∘−cs40∘sin10∘=sin40∘cs10∘−cs40∘sin10∘
=sin40∘−10∘=sin30∘=12
故选：C
10．sin37∘cs7∘−cs37∘sin7∘=（ ）
A．−12B．12C．−22D．22
【答案】B
【分析】根据两角差的正弦公式可得.
【详解】sin37∘cs7∘−cs37∘sin7∘=sin37∘−7∘=sin30∘=12，
故选：B
11．cs105°cs45°+cs15°sin45°=（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
【答案】C
【分析】利用诱导公式可得cs105°=−sin15°，再结合两角和差公式运算求解.
【详解】因为cs105°=cs90°+15°=−sin15°，
所以原式=−sin15°cs45°+cs15°sin45°=sin45°cs15°−cs45°sin15°
=sin45°−15°=sin30°=12.
故选：C.
12．计算sin40°cs160°+sin20°cs140°的值为（ ）
A．32B．12C．−32D．−12
【答案】C
【分析】应用诱导公式及和角正弦公式化简求值.
【详解】sin40°cs160°+sin20°cs140° =−sin40°cs20°−sin20°cs40°=−sin(40°+20°)=−32.
故选：C
题型二、逆用两角和与差的余弦公式
1．sin66°cs36°−sin24°cs54°=（ ）
A．−12B．0C．12D．32
【答案】C
【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求得答案.
【详解】sin66°cs36°−sin24°cs54°=cs24°cs36°−sin24°sin36°=cs60°=12.
故选：C
2．cs77∘cs32∘+cs13∘sin32∘=（ ）
A．12B．−12C．22D．−22
【答案】C
【分析】根据两角差的余弦公式，即可化简求值.
【详解】cs77∘cs32∘+cs13∘sin32∘=cs77∘cs32∘+sin77∘sin32∘ =cs77∘−32∘=cs45∘=22．
故选：C
3．cs63°cs53°+sin63°sin53°=（ ）
A．cs10°B．cs20°C．cs53°D．cs63°
【答案】A
【分析】根据两角差的余弦公式求解即可.
【详解】cs63°cs53°+sin63°sin53°=cs63°−53°=cs10°.
故选：A.
4．12cs75∘−32sin75∘=（ ）
A．−12B．12C．−22D．22
【答案】C
【分析】根据两角和的余弦公式的逆运算，即可求解.
【详解】12cs75∘−32sin75∘=cs60∘cs75∘−sin60∘⋅sin75∘ =cs60∘+75∘=cs135∘=−cs45∘=−22．
故选：C
5．cs40°sin70°−sin40° sin160°=（ ）
A．−12B．12C．−32D．32
【答案】B
【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求解即得.
【详解】cs40°sin70°−sin40°sin160°=cs40°cs20°− sin40°sin20°
=cs(40°+20°) =cs60°=12.
故选：B
6．cs162∘cs132∘+cs72∘cs42∘=（ ）
A．32B．12C．−32D．−12
【答案】A
【分析】根据诱导公式结合两角和的余弦公式求解即可.
【详解】cs162∘cs132∘+cs72∘cs42∘=cs90∘+72∘cs90∘+42∘+cs72∘cs42∘
=−sin72∘−sin42∘+cs72∘cs42∘=cs72∘cs42∘+sin72∘sin42∘
=cs72∘−42∘=cs30∘=32.
故选：A.
7．已知角θ的终边过点P−3,1，则sinπ4−θ=（ ）
A．−255B．255C．−55D．55
【答案】A
【分析】先根据三角函数的定义求出sinθ,csθ，再根据两角差的正弦公式即可得解.
【详解】因为角θ的终边过点P−3,1，
所以sinθ=19+1=1010,csθ=−39+1=−31010，
所以sinπ4−θ=sinπ4csθ−csπ4sinθ=22×−31010−22×1010=−255.
故选：A.
8．sin95°cs25°−cs85°cs65°=（ ）
A．12B．−12C．32D．−32
【答案】C
【分析】根据三角函数的诱导公式以及余弦的和角公式，可得答案.
【详解】sin95°cs25°−cs85°cs65°=sin90°+5°cs25°−cs90°−5°cs90°−25°
=cs5°cs25°−sin5°sin25°=cs5°+25°=cs30°=32.
故选：C.
9．已知sinα=45，α∈(0,π2)，则sin(α−π4)=（ ）
A．210B．−210C．7210D．−7210
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系求出csα,再根据两角差的正弦公式求解即可.
【详解】因为sinα=45,α∈(0,π2),
所以csα=1−452=35,
则sin(α−π4)=sinαcsπ4−csαsinπ4=22×45−22×35=210.
故选：A.
10．cs70∘cs50∘+cs200∘cs40∘的值为（ ）
A．−32B．−12C．12D．32
【答案】B
【分析】利用诱导公式转化为两个角的三角函数，再逆用两角和差的正余弦公式，即可求解.
【详解】方法一：原式=sin20∘sin40∘−cs20∘cs40∘=−cs20∘cs40∘−sin20∘sin40∘
=−cs60∘=−12．
方法二： 原式=cs70∘sin40∘−cs20∘cs40∘=sin40∘cs70∘−sin70∘cs40∘ =sin40∘−70∘=sin−30∘=−sin30∘=−12．
故选：B
二、填空题
11．cs40°cs20°−sin20°cs50°的值为 .
【答案】12/0.5
【分析】根据诱导公式和两角和的余弦公式求解即可.
【详解】cs40°cs20°−sin20°cs50°
=cs40°cs20°−sin20°cs90°−40°
=cs40°cs20°−sin20°sin40°
=cs40°+20°
=cs60°=12
故答案为：12.
12．cs75°⋅cs15°−sin435°⋅sin15°= .
【答案】0
【分析】运用诱导公式，结合和角公式逆用即可.
【详解】cs75°⋅cs15°−sin435°⋅sin15°=cs75°⋅cs15°−sin(435°−360°)⋅sin15°
=cs75°⋅cs15°−sin75°⋅sin15°=cs(75°+15°)=cs90°=0.
故答案为：0.
13．cs17∘cs43∘+sin17∘sin223∘= .
【答案】12/0.5
【分析】利用诱导公式结合两角和的余弦公式化简可得所求代数式的值.
【详解】cs17∘cs43∘+sin17∘sin223∘=cs17∘cs43∘+sin17∘sin180∘+43∘
=cs17∘cs43∘−sin17∘sin43∘=cs17∘+43∘=cs60∘=12.
故答案为：12.
14．sin7∘cs23∘+sin83∘cs67∘= .
【答案】12/0.5
【分析】利用诱导公式及余弦的差角公式统一角度计算即可.
【详解】sin7∘cs23∘+sin83∘cs67∘=cs83∘cs23∘+sin83∘sin23∘
=cs83∘−23∘=cs60∘=12.
故答案为：12.
15．化简：cs263°cs203°+sin83°sin23°= .
【答案】12/0.5
【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得.
【详解】∵cs263°=cs180°+83°=−cs83°，cs203°=cs180°+23°=−cs23°，
∴cs263°cs203°+sin83°sin23°
=cs83°cs23°+sin83°sin23°=cs83°−23°=cs60°=12.
故答案为：12