(艺考基础)新高考数学一轮复习精讲精练第04讲 正弦定理和余弦定理 (高频考点—精讲）（2份，原卷版+解析版）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：典型例题剖析
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
角度2：利用正弦定理解三角形
角度3：利用余弦定理解三角形
角度4：正余弦定理综合应用
高频考点二：判断三角形的形状
高频考点三：三角形面积相关问题
角度1：求三角形面积
角度2：根据面积求参数
角度3：三角形面积的最值
高频考点四：三角形周长相关问题
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、正弦定理
1.1正弦定理的描述
①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有
1.2正弦定理的推广及常用变形公式
在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则
①
②；；；
③
④
⑤，，（可实现边到角的转化）
⑥，，（可实现角到边的转化）
2、余弦定理
2.1余弦定理的描述
①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.
②符号语言：在中，内角，所对的边分别是,则：
；
2.2余弦定理的推论
；
；
3、三角形常用面积公式
①；
②；
③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；
4、常用结论
在三角形中的三角函数关系
①
②
③
④
⑤
⑥若
⑦若或
第二部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
典型例题
例题1．（2022·河南·南阳中学高二开学考试）在中，已知，则此三角形（ ）
A．有一解B．有两解C．无解D．无法判断有几解
【答案】A
【详解】在中，，由正弦定理得，
而，有，即A为锐角，所以此三角形有一解．
故选：A
例题2．（2022·青海西宁·高一期末）在△ABC中，，，，则满足条件的（ ）
A．无解B．有一解C．有两解D．不能确定
【答案】A
【详解】由正弦定理可知：，
显然不存在这样的角，
故选：A
例题3．（2022·天津·高一期中）在中，，，若该三角形有两个解，则边范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为三角形有两个解，所以，
所以，所以.
故选：D
例题4．（多选）（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习）的内角，，的对边分别为，，，已知，，若解该三角形有且只有一解，则的可能值为（ ）
A．6B．C．D．8
【答案】BD
【详解】如图，当时，以为原点，为半径的圆与射线有且只有一个交点，
故此时三角形有唯一解.
当时，为直角三角形且，此时三角形有唯一解.
当，以为原点，为半径的圆与射线无交点，故此时三角形不存在，
当，以为原点，为半径的圆与射线有两个公共点，
故此时三角形有两解，故舍去.
而，
故选：BD.
题型归类练
1．（2022·山东潍坊·高一期末）在中，若，，，则此三角形解的情况是（ ）
A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定
【答案】B
【详解】，，有两解.
故选：B.
2．（2022·陕西·长安一中高一期中）在中，，，，则满足条件的（ ）
A．无解B．有解C．有两解D．不能确定
【答案】A
【详解】在中，，，，由正弦定理得：，
所以无解.
故选：A
3．（2022·山东枣庄·高一期中）在中，若，，，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解B．有两解C．有一解D．有无数解
【答案】B
【详解】由正弦定理得，
所以，所以此三角形有两解.
故选：B
4．（2022·福建·上杭县第二中学高一阶段练习）在中，，，若三角形有两个解，则边的取值范围是__________．
【答案】
【详解】根据题意，，，
由正弦定理得：，则，
时，三角形只有一个解，故，则，
又，若，三角形有一个解，
故三角形有两个解的条件为，
解得：.
故答案为：.
角度2：利用正弦定理解三角形
典型例题
例题1．（2022·黑龙江·杜尔伯特蒙古族自治县第一中学高一阶段练习）已知中，，则等于（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】A
【详解】解：中，因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以或.
故选：A.
例题2．（2022·吉林·长春市实验中学高一阶段练习）中，，，，则（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】B
【详解】因为，，所以
由正弦定理知：，所以.
故选：B
例题3．（2022·全国·高三专题练习）在中，若，则等于（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】B
【详解】因为，所以；
因为，所以.
故选：B.
例题4．（2022·浙江·高一期中）在中，是边上的一点，，，，则（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【详解】
如图所示,在中，，，
所以，由正弦定理知
，
设，，
所以
设，
在中，由正弦定理得：
，即，解得.
故选：B.
题型归类练
1．（2022·新疆石河子一中高一阶段练习）在中，､､所对的边分别为､､，若，，，则（ ）
A．B．C．D．或，
【答案】B
【详解】根据题意，由正弦定理，可得:，
解得，故可得或，
由，可得，故.
故选:B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A．B．C．6D．
【答案】A
【详解】由正弦定理，整理得
故选：A．
3．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）在中，A＝30°， C＝45°， c＝，则a的值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【详解】解：因为在中，A＝30°， C＝45°， c＝，
所以由正弦定理可得，即，
故选：B.
4．（多选）（2022·福建省福州华侨中学高二期末）在中，角，，对应的边分别为，，，已知，则角的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】由正弦定理可知：，又，所以，
所以或.
故选：BC.
角度3：利用余弦定理解三角形
典型例题
例题1．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：因为，
所以由余弦定理可得，
因为，
所以，
故选：D.
例题2．（2022·全国·高一课时练习）在中，角，，的对边分别为，，，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：因为，所以．
故选：B
例题3．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高三阶段练习（文））在中，，则___________.
【答案】
【详解】由已知得.由余弦定理得，所以.
故答案为：
例题4．（2022·广东省阳山县阳山中学高一阶段练习）在中，，，，则______
【答案】
【详解】依题意，由余弦定理，，于是.
故答案为：
题型归类练
1．（2022·全国·高一课时练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则等于（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【详解】根据余弦定理得，即，亦即，解得或（舍去）.
故选：D.
2．（2022·福建·莆田一中高一期末）在中，角，，所对的边分别是，，，若，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：
由余弦定理的推论，可得，
又
故选：B.
3．（2022·湖南邵阳·高一期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则c=（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【详解】由已知．
故选：B．
4．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知分别为三个内角的对边， 若，，，则 __________.
【答案】
【详解】由余弦定理得：，.
故答案为：.
角度4：正余弦定理综合应用
典型例题
例题1．（2022·云南昆明·高一期末）的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)若，，求．
【答案】(1)(2)7
(1)变形为：，
所以，
因为，所以，
(2)因为，且，
所以
由正弦定理得：，即，
解得：
例题2．（2022·北京一七一中高一阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，.
(1)求的值；
(2)求边的值.
【答案】(1)；
(2).
（1）由题设，，故，
又，则.
（2）由，，故，
所以，故.
例题3．（2022·重庆市二0三中学校高一阶段练习）在△中，内角的对边长分别为，且.
(1)求；
(2)若，，求△的边的值.
【答案】(1)(2)
(1)由已知得
由正弦定理得,
其中,
,

∵，
∴，解得,
(2)由余弦定理得,
即，，
解得，（舍去），
即△的边c的值为.
题型归类练
1．（2022·广东·江门市第二中学高一期中）在锐角中，的对边分别为，且
(1)确定角的大小；
(2)若，且，求边.
【答案】(1)
(2)或
(1)由及正弦定理得
因为，故
又锐角，所以.
(2)由余弦定理，
，得
解得:或.
2．（2022·新疆·和硕县高级中学高一阶段练习）在中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
（1）在中，由，整理得，又由余弦定理，可得；
（2）由（1）可得，又由正弦定理，及已知，可得；故.
3．（2022·黑龙江·大庆中学高一阶段练习）在中，根据下列条件求相应的值.
（1）已知，，，求；
（2）已知，，，求.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由余弦定理可得，故.
（2），
由正弦定理可得，解得.
高频考点二：判断三角形的形状
典型例题
例题1．（2022·江苏·常州市新桥高级中学高一期末）在中，，，，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
【答案】C
【详解】在中,由余弦定理以及，，可知:,故为钝角，因此是钝角三角形
故选：C
例题2．（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）在中，角所对的边分别是，且，则的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形
【答案】A
【详解】因为，所以，
即，
整理得到，
因为，，所以，
即，，为等腰三角形.
故选：A
例题3．（2022·全国·高三专题练习）若在，则三角形的形状一定是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形
【答案】B
【详解】由以及余弦定理得，
化简得，所以三角形的形状一定是等腰三角形.
故选：B
题型归类练
1．（2022·重庆一中高一期中）若三角形的三边长分别是3，4，6，则这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．不能确定
【答案】B
【详解】大边对大角，故边长为6的边所对的角为最大角，设为，
则，
故为钝角，所以这个三角形是钝角三角形.
故选：B
2．（2022·河南·濮阳一高高二阶段练习（理））某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝（视为三条线段），想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度分别为，则（ ）
A．能作出二个锐角三角形B．能作出一个直角三角形
C．能作出一个钝角三角形D．不能作出这样的三角形
【答案】C
【详解】因为三条高线的长度为，故三边之比为，
设最大边所对的角为，则，
而为三角形内角，故为钝角，故三角形为钝角三角形，
故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形
【答案】D
【详解】因为，由余弦定理可得，
又由，所以，所以是钝角三角形.
故选：D.
高频考点三：三角形面积相关问题
角度1：求三角形面积
典型例题
例题1．（2022·湖南·长郡中学高一期末）在中，若，，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，
故选：D
例题2．（2022·全国·高三专题练习）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
【答案】.
【详解】因为，所以．
故答案为：.
例题3．（2022·四川凉山·高二期末（理））在中，已知，，．
(1)求角；
(2)求的面积．
【答案】(1)A＝90°或A＝30°；
(2)或．
(1)由得：．
由且C为三角形内角，则，故或，而B＝30°，
所以A＝90°或A＝30°．
(2)当A＝90°时，．
当A＝30°时，，
所以△ABC的面积为或．
例题4．（2022·福建·厦门市湖滨中学高一期中）在中，内角所对的边分别是，已知，，.
(1)求的值；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
(1)由余弦定理可得
，即，
解得，
(2)∵，且，
∴,
由得，,
∴.
故△的面积为.
例题5．（2022·全国·高三专题练习）在中，内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若为边上中线，，求的面积.
【答案】(1)(2)
(1)由正弦定理得，
∴，
∴,
∴，
∵，∴，
又∵, ∴,
(2)由已知得，，
在△中，由余弦定理得，
在△中，由余弦定理得，
又∵,
∴，
在△中，由余弦定理得，
以上两式消去得, 解得或（舍去），
则.
例题6．（2022·辽宁·东北育才学校高三期末）在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积．
【答案】（1）（2)
【详解】解：（1）由得，，
由正弦定理可得，，
可得：，即：，
由，可得：，
又，
可得：．
（2）由已知及正弦定理得即可得
即故
的面积．
题型归类练
1．（2022·北京丰台·高一期末）在中，若，，，则的面积为____________．
【答案】
【详解】解：因为，，，
所以；
故答案为：
2．（2022·全国·高一）的内角，，的对边分别是，，.已知，则__，若，，则的面积为 __.
【答案】 ## ##
【详解】由于，则，
由于；
所以；
故.
故答案为：.
3．（2022·天津河东·高一期中）在△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，
（1）求角A.
（2）求△的面积.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）由，得，
∴，，可得.
（2）.
4．（2022·福建漳州·高二期末）在△ABC中，acsB＝bsinA．
（1）求∠B；
（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）．
【详解】解：（1）在△ABC中，由正弦定理，
因为，
所以，
因为sinA≠0，
所以，
所以tanB，
因为0＜B＜π，
所以，
（2）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，
可得，
所以a，c，
所以．
角度2：根据面积求参数
典型例题
例题1．（2022·上海市实验学校高三开学考试）已知函数．
(1)若，，求的值；
(2)在锐角△中，、、分别是角、、的对边，若，，△的面积，求的值．
【答案】(1)(2)
(1)


∵，∴，
又∵，∴，
∴ ，
∴

，
(2)∵，∴，
又∵，∴，
∴，即，
又∵，∴，
由余弦定理得，
，
即.
例题2．（2022·四川省仁寿县文宫中学高二阶段练习（文））已知的内角、，所对的边分别为、、，且．
（Ⅰ）求角的值．
（Ⅱ）若的面积为，且，求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】解：（I）由，得，即，
∵，∴，
又，∴，故．
（Ⅱ）由面积，得，
又，
∴，，
由余弦定理，
∴．
例题3．（2022·山东·临沂二十四中高一阶段练习）已知的周长为，且.
(1)求边的长；
(2)若的面积为，求角的度数.
【答案】(1)2
(2)
（1）因为三角形周长为，所以①，
因为，所以由正弦定理可得②，
由①②联立，解得．
（2）由的面积得，由⑴得，
由余弦定理，得，
∵，∴．
题型归类练
1．（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））的内角，，的对边分别为，，，角，，成等差数列，．
（1）若，求；
（2）若的面积为，求．
【答案】（1）；（2）2．
【详解】（1）∵A，B，C成等差数列，
∴2B＝A+C，而A+B+C＝π，则B＝，又a＝2，c＝1，
由余弦定理可得：；
（2）∵S△ABC，
∴c＝2．
2．（2022·青海·西宁北外附属新华联外国语高级中学有限公司高三开学考试）已知分别为三个内角的对边，．
(1)求；
(2)若，的面积为，求，．
【答案】(1)
(2)
（1），，，，即，又，解得；
（2），，又，则，即，解得
3．（2022·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）中，是角所对的边，.
(1)求的大小；
(2)若的面积为，求的值.
【答案】(1)；
(2).
(1)由题设，，故，
又，故.
(2)由题设，故，
所以，故.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知的内角所对的边分别为，且，．
(1)若，求的值；
(2)若的面积，求的值．
【答案】(1)
(2)；
(1)，，，，，
由得：，；
由正弦定理得：.
(2)由（1）知：，；
，解得：；
由余弦定理得：，.
角度3：三角形面积的最值
典型例题
例题1．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高一期末）已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)当时，求面积的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)解：由，即，，
又，故；
(2)解：由（1）知，，
∴．
由余弦定理得，
即，当且仅当时等号成立，
∴，
∴面积的最大值为．
例题2．（2022·河南安阳·高二期末（文））在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(1)解：因为，可得，即，
由余弦定理可得，所以，则．
又因为，所以.
(2)解：由余弦定理可得，
又由，当且仅当时等号成立，
所以，所以，
所以面积的最大值为．
例题3．（2022·福建泉州·高一阶段练习）在中，已知向量，，且．
(1)求；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
(1)解：设中，角的对边分别为，
∵，∴
又，，
∴，
即，
∴由正弦定理得，
∴由余弦定理得，
又∵ ∴.
(2)解：由（1）得，
又∵
∴即且
∴面积
又由基本不等式得即
当且仅当取等号
∴面积
故面积的最大值为
题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知的内角所对边分别为，且.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
（1）解：在中，因为，
所以由正弦定理可得，即，
所以，
因为，
所以；
（2）解：时，由（1）可得，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值为.
2．（2022·全国·高三专题练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A；
(2)若，求△ABC的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
（1）由．
得，
即，
即．
因为，所以．
又，所以．
（2）由及正弦定理得，解得．
由得，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即△ABC的面积的最大值为．
高频考点四：三角形周长相关问题
典型例题
例题1．（2022·河北·大名县第一中学高二期末）在锐角中，，，的对边分别为，，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的周长．
【答案】(1)
(2)
（1）由及正弦定理得
因为，故．
又∵ 为锐角三角形，所以．
（2）由余弦定理，
∵，得
解得：或
∴ 的周长为．
例题2．（2022·广东广州·高一期中）在中，内角，，对应的边分别为，，，已知．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)；
(2)3.
（1）在中，由正弦定理得，
∵，代入化简得，
∵，∴，
∴，又显然，即，
∴，又∵，∴.
（2）∵，由，得．
在△ABC中，由余弦定理，得
∴，
∴，∴△ABC的周长为3．
例题3．（2022·福建省福州高级中学高二期末）在中，.
(1)求；
(2)若的周长为，求边上中线的长.
【答案】(1)；(2).
（1）根据正弦定理由，
因为，所以，即，所以；
（2）由（1）可知，而，所以，
因此，由余弦定理可知：，
因为的周长为，所以有，
设边上中点为，所以，
由余弦定理可知：，
所以边上中线的长.
例题4．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））中，内角，，的对边分别为，，，且的外接圆半径满足.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
（1）由正弦定理，可得，
∴，
所以，则，
因为，所以.
（2）∵，，由正弦定理得，
∴，，
∴△ABC的周长：，
由，得，∴，
∴a＋b＋c的取值范围，即△ABC周长的取值范围是.
例题5．（2022·黑龙江·龙江县第一中学高二开学考试）在①，②的面积，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行求解.问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，已知_________，.
(1)求角.
(2)求周长的取值范围.
【答案】(1)选①②③，结果均为(2)
（1）选①：
由正弦定理得：，
因为，
所以，
所以，即，
因为，所以；
选②：的面积，
由，又，
所以，
即，
因为，所以；
选③：，
由正弦定理得：，
因为，
所以，
整理得：，
因为，
所以，
所以
即，
故，
因为，所以，
所以，解得：
（2）由余弦定理得：，
即，即
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
即，解得：，
又因为，
所以，，
故周长的取值范围是
题型归类练
1．（2022·山东·泰安市基础教育教学研究室高一期末）如图，在四边形中，，，．
(1)求；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)(2)24
（1）在中，，∴
∵，∴
又∵为钝角，∴为锐角，∴
（2）在中，
∴
∴解得(负根舍去)
在中，，∴
∴又，
整理得，，∴
∴∴，
∴的周长为24.
2．（2022·湖南怀化·高二开学考试）在中，内角所对的边分别为.已知，.
(1)求；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)
(2)
（1）由正弦定理得：，，又，.
（2）由正弦定理得：，解得：，
由余弦定理得：，；
的周长为.
3．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：这三个条件中选择一个作为已知条件．
(1)求角A的大小；
(2)若，求周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)周长的取值范围为
（1）选条件①：因为，所以，即，又因为为锐角三角形，所以，所以，所以.
选条件②：因为，所以
所以，又因为，所以，所以，所以，
选条件③：由正弦定理可得
即，又因为，所以，因为，所以.
（2）
，，
则即，
即周长的取值范围为.
4．（2022·福建福建·高二期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积为S，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求△ABC周长的取值范围．
【答案】(1)(2)
(1)由，又，
由，则.
由正弦定理得，
所以.
由余弦定理得，
因为，所以.
(2)由余弦定理得，
∴，得，当且仅当时取等号．
又，（三角形任意两边之和大于第三边）
∴，
∴周长的取值范围为．
5．（2022·江西·新余市第一中学高二开学考试）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若_____________．（请从①；②；③这三个条件中任选一个填入上空）
(1)求角C；
(2)若时，求周长的最大值．
【答案】(1)(2)18
（1）若选①，
因为，
所以，，
因为，所以.
若选②，
因为，所以，
因为，所以，即.
因为，所以，即.
若选③，
因为，
所以，即，
所以，，所以.
（2）由①②③可得，
由余弦定理：，即 ，
所以，解得，
当且仅当时取等号.
所以周长的最大值是.