新高考数学一轮复习讲义+分层练习 4.3.1《两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin_αcs_β±cs_αsin_β；
(2)cs(α±β)＝cs_αcs_β∓sin_αsin_β；
(3)tan(α±β)＝eq \f(tan α±tan β,1∓tan αtan β).
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcs α；
(2)cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
(3)tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α).
3.辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)(其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).)
eq \a\vs4\al([常用结论])
1.公式的常用变式
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
sin 2α＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α,1＋tan2α)；
cs 2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α).
2.降幂公式
sin2α＝eq \f(1－cs 2α,2)；cs2α＝eq \f(1＋cs 2α,2)；sin αcs α＝eq \f(1,2)sin 2α.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
(2)公式asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关.( )
(3)cs θ＝2cs2eq \f(θ,2)﹣1＝1﹣2sin2eq \f(θ,2).( )
(4)当α是第一象限角时，sin eq \f(α,2)＝eq \r(\f(1－cs α,2)).( )
二、教材改编
1.已知cs α＝﹣eq \f(3,5)，α是第三象限角，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))为( )
A.eq \f(\r(2),10) B.﹣eq \f(\r(2),10) C.eq \f(7\r(2),10) D.﹣eq \f(7\r(2),10)
2.sin 347°cs 148°＋sin 77°cs 58°＝________.
3.计算：sin 108°cs 42°﹣cs 72°·sin 42°＝________.
4.tan 20°＋tan 40°＋eq \r(3)tan 20°tan 40°＝________.
5.若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝________.
第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
考点1 公式的直接应用
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
1.已知α∈(0，eq \f(π,2))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α＝( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(5),5)
2.已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈(eq \f(π,2)，π)，tan(π﹣β)＝eq \f(1,2)，则tan(α﹣β)的值为( )
A.﹣eq \f(2,11) B.eq \f(2,11) C.eq \f(11,2) D.﹣eq \f(11,2)
3.若α∈(0，eq \f(π,2))，且sin(α﹣eq \f(π,6))＝eq \f(1,3)，则cs(α﹣eq \f(π,3))＝________.
4.计算eq \f(sin 110°sin 20°,cs2155°－sin2155°)的值为________.
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.
考点2 公式的逆用与变形用
公式的一些常用变形
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β；
(2)cs αsin β＋sin(α﹣β)＝sin αcs β；
(3)1±sin α＝(sin eq \f(α,2)±cs eq \f(α,2))2；
(4)sin 2α＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α＋1)；
(5)cs 2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)；
(6)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
(7)asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)(tan φ＝eq \f(b,a)).
公式的逆用
(1)化简eq \f(sin 10°,1－\r(3)tan 10°)＝________.
(2)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cs C＝________.
(1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系.
(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α﹣tan β)，tan(α＋β)(或tan(α﹣β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.
(3)重视sin αcs β，cs αsin β，cs αcs β，sin αsin β的整体应用.
公式的变形用
(1)化简eq \f(sin235°－\f(1,2),cs 10°cs 80°)＝________.
(2)化简sin2(α﹣eq \f(π,6))＋sin2(α＋eq \f(π,6))﹣sin2α的结果是________.
1.设a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin 56°﹣cs 56°)，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)，则a，b，c的大小关系是( )
A.a＞b＞c B.b＞a＞c
C.c＞a＞b D.a＞c＞b
2.eq \r(3)cs 15°﹣4sin215°cs 15°＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.1 D.eq \r(2)
3.已知α＋β＝eq \f(π,4)，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝________.
4.已知sin αcs β＝eq \f(1,2)，则cs αsin β的取值范围________.
考点3 公式的灵活运用
三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路
(1)角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α﹣β)，α＝(α＋β)﹣β＝(α﹣β)＋β，40°＝60°﹣20°，(eq \f(π,4)＋α)＋(eq \f(π,4)﹣α)＝eq \f(π,2)，eq \f(α,2)＝2×eq \f(α,4)等.
(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.
三角公式中角的变换
(1)设α，β都是锐角，且cs α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq \f(3,5)，则cs β＝________.
(2)已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，则cs(30°﹣2α)的值为________.
(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差关系.
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α﹣β)，α＝(α＋β)﹣β，β＝eq \f(α＋β,2)﹣eq \f(α－β,2)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝(α＋eq \f(β,2))﹣(eq \f(α,2)＋β)等.
三角公式中名的变换
(1)化简：eq \f(（1＋sin θ＋cs θ）（sin \f(θ,2)－cs \f(θ,2)）,\r(2＋2cs θ))(0＜θ＜π)；
(2)求值：eq \f(1＋cs 20°,2sin 20°)﹣sin 10°(eq \f(1,tan 5°)﹣tan 5°).
1.已知tan θ＋eq \f(1,tan θ)＝4，则cs2(θ＋eq \f(π,4))＝( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,4) D.eq \f(1,5)
2.已知α∈(0，eq \f(π,2))，β∈(0，eq \f(π,2))，且cs α＝eq \f(1,7)，cs(α＋β)＝﹣eq \f(11,14)，则sin β＝________.
3.eq \f(cs 10°－\r(3)cs（－100°）,\r(1－sin 10°))＝________.(用数字作答)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式
一、选择题
1.sin 45°cs 15°＋cs 225°sin 165°＝( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(\r(3),2) D.﹣eq \f(1,2)
2.若2sin x＋cs(eq \f(π,2)﹣x)＝1，则cs 2x＝( )
A.﹣eq \f(8,9) B.﹣eq \f(7,9) C.eq \f(7,9) D.﹣eq \f(7,25)
3.若cs(α﹣eq \f(π,6))＝﹣eq \f(\r(3),3)，则cs(α﹣eq \f(π,3))＋cs α＝( )
A.﹣eq \f(2\r(2),3) B.±eq \f(2\r(2),3) C.﹣1 D.±1
4.tan 18°＋tan 12°＋eq \f(\r(3),3)tan 18°tan 12°＝( )
A.eq \r(3) B.eq \r(2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
5.若α∈(eq \f(π,2)，π)，且3cs 2α＝sin(eq \f(π,4)﹣α)，则sin 2α的值为( )
A.﹣eq \f(1,18) B.eq \f(1,18) C.﹣eq \f(17,18) D.eq \f(17,18)
二、填空题
6.已知sin(eq \f(π,2)＋α)＝eq \f(1,2)，α∈(﹣eq \f(π,2)，0)，则cs(α﹣eq \f(π,3))的值为________.
7.已知sin(α＋β)＝eq \f(1,2)，sin(α﹣β)＝eq \f(1,3)，则eq \f(tan α,tan β)＝________.
8.化简：eq \f(sin235°－\f(1,2),cs 10°cs 80°)＝________.
三、解答题
9.已知tan α＝2.
(1)求tan(α＋eq \f(π,4))的值；
(2)求eq \f(sin 2α,sin2α＋sin αcs α－cs 2α－1)的值.
10.已知α，β均为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，tan(α﹣β)＝﹣eq \f(1,3).
(1)求sin(α﹣β)的值；
(2)求cs β的值.
1.若sin(A＋eq \f(π,4))＝eq \f(7\r(2),10)，A∈(eq \f(π,4)，π)，则sin A的值为( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,5)或eq \f(4,5) D.eq \f(3,4)
2.已知sin α＝﹣eq \f(4,5)，α∈[eq \f(3π,2)，2π]，若eq \f(sin（α＋β）,cs β)＝2，则tan(α＋β)＝( )
A.eq \f(6,13) B.eq \f(13,6) C.﹣eq \f(6,13) D.﹣eq \f(13,6)
3.已知cs(eq \f(π,4)＋θ)cs(eq \f(π,4)﹣θ)＝eq \f(1,4)，则cs 2θ＝________，sin4θ＋cs4θ＝________.
4.已知函数f(x)＝sin(x＋eq \f(π,12))，x∈R.
(1)求f(﹣eq \f(π,4))的值；
(2)若cs θ＝eq \f(4,5)，θ∈(0，eq \f(π,2))，求f(2θ﹣eq \f(π,3))的值.
1.已知eq \f(tan α,tan（α＋\f(π,4)）)＝﹣eq \f(2,3)，则tan α＝________，sin(2α＋eq \f(π,4))＝________.
2.已知函数f(x)＝(2cs2x﹣1)·sin 2x＋eq \f(1,2)cs 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)若α∈(0，π)，且f(eq \f(α,4)﹣eq \f(π,8))＝eq \f(\r(2),2)，求tan(α＋eq \f(π,3))的值.