新高考数学二轮复习小题巩固练训练6（指数与指数函数）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习小题巩固练训练6（指数与指数函数）（2份，原卷版+解析版）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数fx=2x2−2x+1，则fx（ ）
A．在−∞,1上单调递增且值域为1,+∞
B．在−∞,1上单调递减且值域为1,+∞
C．在−∞,1上单调递增且值域为0,1
D．在−∞,1上单调递减且值域为0,1
【答案】B
【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可.
【详解】令u(x)=x2−2x+1=(x−1)2∈0,+∞，
则fx视为由y=2u(x)和u(x)=x2−2x+1构成的复合函数，
由二次函数性质得u(x)在−∞,1上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
由指数函数性质得y在R上单调递增，
由复合函数性质得fx在−∞,1上单调递减，
而u(x)∈0,+∞，故fx∈1,+∞，故B正确.
故选：B
2．已知函数fx=x32x+k⋅2−x，则“k2=1”是“函数fx是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】当函数f(x)为偶函数时，求得k=−1.结合充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】函数f(x)=x32x+k⋅2−x的定义域为R，关于原点对称，
当函数f(x)为偶函数时，f(x)=f(−x)，
即x32x+k⋅2−x=−x32−x+k⋅2x，整理，得(1+k)(2x+2−x)=0，
由2x+2−x≠0，解得k=−1.
又k2=1，得k=±1，
所以“k2=1”是“函数f(x)为偶函数”的必要不充分条件.
故选：B.
3．2021年9月24日，继上世纪60年代在世界上首次完成人工合成结晶牛胰岛素之后，中国科学家又在人工合成淀粉方面取得颠覆性､原创性突破——国际上首次在实验室实现二氧化碳到淀粉的从头合成.网友戏称这一技术让“喝西北风”活着成为可能.从能量来源看，该技术涉及“光能一电能一化学能”等多种能量形式的转化，从技术流程上，该工艺分为四个模块：第一步是利用光伏发电将光能转变为电能，通过光伏电水解产生氢气，然后通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原成甲醇，将电能转化为甲醇中储存的化学能；第二步是将甲醇转化为三碳；第三步利用三碳合成六碳；最后一步是将六碳聚合成淀粉.在这个过程中的能量转化效率超过10%，远超光合作用的能量利用效率.经过实验测试，已知通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原生成甲醇的浓度φt与其催化时间t（小时）满足的函数关系式为φt=mat(a>0，且a≠1).若催化后20小时，生成甲醇的浓度为20%，催化后30小时，生成甲醇的浓度为40%.若生成甲醇的浓度为50%，则需要催化时间约为（ ）（参考数据：lg2≈0.301）
A．23.5小时B．33.2小时C．50.2小时D．56小时
【答案】B
【分析】根据题意列方程组求得a和m的值，从而求出φt的表达式，令φt=0.5解方程即可求解.
【详解】由题意得φ20=ma20=0.2,φ30=ma30=0.4,解得a=2110,m=0.05，所以φt=0.05×2t10，
令φt=0.05×2t10=0.5，所以2t10=10，所以t10lg2=lg10，
故t=10⋅lg10lg2=100.301≈33.2小时.
故选：B.
4．已知函数gx=ax2+bx+a−b，其中a,b为常数，若函数fx= ab−x的图象如图所示，则（ ）

A．gx的图象与坐标轴有三个交点
B．gx的图象的对称轴在y轴左侧
C．关于x的方程gx=1有两个不等实根
D．gx在区间1,+∞上单调递增
【答案】D
【分析】由指数型函数的性质图象求得参数，根据二次函数的性质，结合相关函数的单调性，逐项检验即得.
【详解】因fx=ab−x=1ax−b，函数f(x)的图象在R上为减函数，则01−14+1=74>0，即gx的图象与x轴没有交点，
又gx的图象与y轴有唯一交点，即gx的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误；
对于C，关于x的方程gx=1的实根个数，等于直线y=1与曲线gx的交点个数，
由A项，因4a2+4a−14a>74>1，则直线y=1与曲线gx的交点个数为0，故C错误；
对于B，gx的图象的对称轴是直线x=12a∈0,12，在y轴右侧，故B错误；
对于D，因gx的图象对称轴：x=12a∈0,12，gx在区间1,+∞上单调递增，故D正确.
故选：D.
5．已知函数fx的定义域为R，∀x，y∈R，fxfy=fx+y，且f1=12，则（ ）
A．f0=0B．f−1=−12
C．fx+10可判断D.
【详解】对于A，令x=1,y=0，则f1f0=f1+0=f1，
又f1=12，则12f0=12，所以f0=1，故A错误；
对于B，令x=1,y=−1，则f1f−1=f1−1=f0，
又f1=12，f0=1，所以12f−1=1，则f−1=2，故B错误；
对于C，令y=1，则fxf1=fx+1，
又f1=12，则fx+1=12fx，
由上可知fxf−x=f0=1，故fx≠0，fx=fx2fx2>0，
所以fx+1=12fx0，所以−14fx>−12fx，故D错误.
故选：C.
6．已知函数f(x)是定义在R上偶函数，当x≥0时，f(x)=516x2,0≤x≤2(12)x+1,x>2，若方程f(x)−m=0仅有4个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．(1,54)B．(0,54)C．[0,54)D．(−∞,54)
【答案】A
【分析】探讨函数fx的性质并画出函数fx图象，然后把方程f(x)−m=0仅有4个不相等的实数根，转化为函数y=fx图象与直线y=m有4个交点，数形结合即可求解.
【详解】当0≤x≤2时，f(x)=516x2在[0,2]上单调递增，函数值集合为[0,54]，
当x>2时，f(x)=(12)x+1在(2,+∞)上单调递减，函数值集合为(1,54)，
又函数f(x)是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数f(x)图象：
方程f(x)−m=0仅有4个不相等的实数根，则函数y=fx图象与直线y=m有4个交点，
当10，排除BC；当x=0时，y=13，当x=2时，y=3，A不满足，排除.
故选：D
8．已知函数fx=ex−1−e1−x+4，若方程fx=kx+4−k(k>0)有三个不同的根x1,x2,x3，则x1+x2+x3=（ ）
A．4B．3C．2D．k
【答案】B
【分析】由题意，易知y=ex−e−x为奇函数，fx由函数y=ex−e−x向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，所以fx的图象关于点1,4对称，再根据直线也关于点1,4对称，即可得答案.
【详解】由题意，因为e−x−ex=−ex−e−x，所以y=ex−e−x为奇函数，
fx由函数y=ex−e−x向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，
所以fx的图象关于点1,4对称.
而fx=kx+4−k=kx−1+4所表示的直线也关于点1,4对称，
所以方程fx=kx+4−k的三个实根x1,x2,x3中必有一个为1，另外两个关于x=1对称，所以x1+x2+x3=3.
故选：B.
二、多选题
9．设a>−b>0，则下列结论正确的是（ ）
A．12a0，故f0=1，故A正确；
对于B，取y=x，则f2x=f0fx2，即f2x=fx2，故B正确，
对于C，令y=−x，则f0=f2xf−x2，即1=f0=f2xf−x2=fx2f−x2，
注意到fx>0，所以f−x=1fx>0，
所以f(x)+f(−x)=fx+1fx≥2fx·1fx=2，故C正确；
对于D，取fx=e−x，则fx+y=e−x−y,fx−yf2y=ey−x⋅e−2y=e−x−y，符合题意，但此时fx是减函数，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题
12．已知二次函数fx=ax2+x+a的值域为−∞,34，则函数gx=2x+a的值域为 ．
【答案】−14,+∞
【分析】由二次函数的值域为−∞,34，分析求出参数a，然后代入gx=2x+a中求出值域即可
【详解】由二次函数fx=ax2+x+a的值域为−∞,34得：a−14⇒g(x)>−14
所以函数gx的值域为：−14,+∞
故答案为：−14,+∞.
13．已知f(x)为R上的奇函数，当x∈[0,+∞)时，f(x)=2x−1x+1，则不等式f(3x−1)