新高考高考数学一轮复习巩固练习2.7第12练《指数与指数函数》（2份打包，解析版+原卷版）

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考点一 指数幂的运算
1．(多选)下列各式中一定成立的有( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))7＝
B.eq \r(12,－34)＝eq \r(3,3)
C.eq \r(4,x3＋y3)＝
D.eq \r(\r(3,9))＝eq \r(3,3)
答案 BD
解析 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))7＝n7m－7，A错误；
eq \r(12,－34)＝＝eq \r(3,3)，B正确；
eq \r(4,x3＋y3)＝，C错误；
eq \r(\r(3,9))＝＝＝eq \r(3,3)，D正确．
2．计算：
(1)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,7)))－2＋－(eq \r(2)－1)0＝________.
答案 －45
解析 原式＝－72＋－1
＝0.3－1－49＋eq \f(5,3)－1
＝eq \f(10,3)－50＋eq \f(5,3)
＝－45.
(2)2eq \r(5)×eq \r(3,2.5)×eq \r(6,20)＝____________.
答案 10
解析 2eq \r(5)×eq \r(3,2.5)×eq \r(6,20)＝
＝＝10.
3．已知x＋x－1＝3，则的值为________．
答案 2eq \r(5)
解析 由题意得，x>0且＝x＋2＋x－1＝5，
∴＝eq \r(5)，
∴＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1＋x－1))
＝eq \r(5)×(3－1)＝2eq \r(5).
考点二 指数函数的图象及应用
4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图象是( )
答案 C
解析 由函数f(x)的图象可知，－11，则g(x)＝ax＋b为增函数，g(0)＝1＋b>0，C正确．
5．(多选)若函数y＝ax－(b＋1)(a>0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则必有( )
A．01
C．b>0 D．b<0
答案 BC
解析 若00且a≠1)的图象过第一、三、四象限，
所以a>1.
当a>1时，要使y＝ax－(b＋1)的图象过第一、三、四象限，则b＋1>1，即b>0.
6．若直线y＝2a与函数y＝|ax－1|＋1(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是____________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
解析 当a>1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，
图1 图2
由图可知1<2a<2，
即eq \f(1,2)1矛盾；
当0由图可知1<2a<2，即eq \f(1,2)综上所述，a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).
考点三 指数函数的性质及应用
7．函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x＋1在区间[－2,2]上的最小值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(3,4) C.eq \f(13,16) D．13
答案 B
解析 令t＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))，
则原函数f(x)等价于g(t)＝t2－t＋1，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))，
又二次函数g(t)的对称轴为t＝eq \f(1,2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，4))，
故最小值是geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(3,4)，
即f(x)的最小值为eq \f(3,4).
8．若a＝0.50.6，b＝0.60.5，c＝20.5，则下列结论正确的是( )
A．b>c>a B．c>a>b
C．a>b>c D．c>b>a
答案 D
解析 由指数函数和幂函数的性质，可得1>0.60.5>0.50.5>0.50.6>0，
即1>b>a>0，
又由c＝20.5>1，所以c>b>a.
9．已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则ab＝____________.
答案 4
解析 当a>1时，函数f(x)单调递增，
所以函数f(x)过点(－1，－1)和点(0,0)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝－1，,a0＋b＝0，))无解；
当0所以函数f(x)过点(－1,0)和点(0，－1)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1＋b＝0，,a0＋b＝－1，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,2)，,b＝－2.))
所以ab＝4.
10．若函数f(x)＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－a))(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于____________．
答案 1
解析 根据f(1＋x)＝f(1－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，可知a＝1，从而可以确定函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，从而有[m，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m≥1，故m的最小值等于1.
11．已知函数f(x)＝ax＋1－eq \f(1,4)(a>0，且a≠1)的图象过定点(m，n)，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81)))mn等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(2,3)
C.eq \f(8,27) D.eq \f(27,8)
答案 D
解析 函数f(x)＝ax＋1－eq \f(1,4)(a>0，且a≠1)，
令x＋1＝0，得x＝－1，
所以f(－1)＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，
所以f(x)的图象过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,4)))，
所以m＝－1，n＝eq \f(3,4)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,81)))mn＝＝eq \f(27,8).
12．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))aA．aa>ab>bb B．aa>bb>ab
C．bb>aa>ab D．ab>bb>aa
答案 A
解析 因为函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在R上单调递减，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a所以a>b>1，
由于函数y＝axeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a>1))和函数y＝xbeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b>1))在第一象限单调递增，
所以aa>ab，ab>bb，
故aa>ab>bb.
13．(多选)已知函数f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)，下面说法正确的有( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))
D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0
答案 AC
解析 对于选项A，f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)，定义域为R，
由于f(－x)＝－f(x)，则f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故A正确；B错误；
对于选项C，f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)＝1－eq \f(2,1＋2x)，
令1＋2x＝t，t∈(1，＋∞)，y＝1－eq \f(2,t)，
易知1－eq \f(2,t)∈(－1,1)，
故f(x)的值域为(－1,1)，故C正确；
对于选项D，f(x)＝eq \f(2x－1,2x＋1)＝1－eq \f(2,1＋2x)，
令1＋2x＝t，t∈(1，＋∞)，y＝1－eq \f(2,t)，
函数t＝1＋2x在R上单调递增，
且y＝1－eq \f(2,t)在t∈(1，＋∞)上单调递增，
根据复合函数的单调性，可知f(x)＝1－eq \f(2,1＋2x)在R上单调递增，
故∀x1，x2∈R，
且x1≠x2，eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0不成立，故D错误．
14．已知函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,ex＋e－x)，若f(a)＋f(a－2)>0，则实数a的取值范围是____________．
答案 (1，＋∞)
解析 函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,ex＋e－x)，定义域为R，
∴f(－x)＝eq \f(e－x－ex,ex＋e－x)＝－eq \f(ex－e－x,ex＋e－x)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数；
函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,ex＋e－x)＝eq \f(ex＋e－x－2e－x,ex＋e－x)＝1－eq \f(2e－x,ex＋e－x)
＝1－eq \f(2,\f(ex,e－x)＋1)＝1－eq \f(2,e2x＋1)，
∵函数y＝eq \f(2,e2x＋1)在R上单调递减，
∴函数f(x)＝eq \f(ex－e－x,ex＋e－x)在R上为增函数，
∵f(a)＋f(a－2)>0，
即f(a)>－f(a－2)＝f(2－a)，
∴a>2－a，∴a>1.