新高考数学二轮复习专题突破练习微专题8 极化恒等式与等和线（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题突破练习微专题8 极化恒等式与等和线（2份，原卷版+解析版）试卷主要包含了基础知识，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1.极化恒等式:a·b=14[(a+b)2-(a-b)2].
(1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.
(2)模式:在平行四边形ABCD中,O是对角线交点,则:
①AB·AD=14(|AC|2-|BD|2)(平行四边形模式);
②AB·AD=|AO|2-14|BD|2(三角形模式).
2.平面向量共线定理
已知平面内一组基向量OA,OB及任一向量OP,且OP=λOA+μOB(λ,μ∈R),若λ+μ=1,则A,B,P三点共线;反之亦然.
3.平面向量等和线定理
平面内一组基底OA,OB及任一向量OP,且OP=λOA+μOB(λ,μ∈R),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,且k=|OP||OF|=OB1||OB|=OA1||OA|,则λ+μ=k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时,k=1;
(2)当等和线在O点和直线AB之间时,k∈(0,1);
(3)当直线AB在O点和等和线之间时,k∈(1,+∞);
(4)当等和线过O点时,k=0.
二．典型例题
1.利用极化恒等式求向量的数量积
例1 (1)(2023·全国乙卷)已知正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,则EC·ED= .
(2)(2025·宁波调研)在平面直角坐标系中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,则点P横坐标的取值范围是 .
训练1 (1)(2025·武汉质检)已知△ABC是边长为4的等边三角形,P为△ABC所在平面内一点,则PA·(PB+PC)的最小值为 .
(2)(2025·重庆诊断)如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5.若AB·AD=-7,则BC·DC= .
2.利用等和线求基底系数和的值
例2 (1)如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O,E为线段AO的中点.若BE=λBA+μBD(λ,μ∈R),则λ+μ=( )
A.1B.34
C.23D.12
(2)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=12AB,BE=23BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 .
训练2 在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,AN=λAB+μAC,则λ+μ的值为( )
A.12B.13
C.14D.1
【精准强化练】
一、单选题
1.设向量a,b满足|a+b|=10,|a-b|=6,则a·b=( )
A.1B.2
C.3D.4
2.如图,在四边形MNPQ中,若NO=OQ,|OM|=6,|OP|=10,MN·MQ=-28,则NP·QP=( )
A.64B.42
C.36D.28
3.在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,点E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若AC=a,BD=b,且AF=λa+μb,则λ+μ=( )
A.1B.34
C.23D.12
4.(2025·泉州质检)已知半径为2的圆O上有三点A,B,C,满足OA+AB+AC=0,点P是圆内一点,则PA·PO+PB·PC的取值范围是( )
A.[-4,14)B.(-4,14]
C.[-4,4)D.(-4,4]
5.(2025·沧州模拟)如图,△BCD与△ABC的面积之比为2,点P是区域ABDC内(含边界)任意一点,且AP=λAB+μAC(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是( )
A.[0,1]B.[0,2]
C.[0,3]D.[0,4]
6.AB为☉C:(x-2)2+(y-4)2=25的一条弦,|AB|=6,若点P为☉C上一动点,则PA·PB的取值范围是( )
A.[0,100]B.[-12,48]
C.[-9,64]D.[-8,72]
7.(2025·广州调研)如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心Q在线段CD(含端点)上运动,P是圆Q上及内部的动点.若向量AP=mAB+nAF(m,n∈R),则m+n的取值范围是( )
A.(1,2]B.[5,6]
C.[2,5]D.[3,5]
二、多选题
8.在△ABC中,A=30°,BC=2,则AB·AC的值可能是( )
A.0B.2
C.4D.13
9.阅读以下材料,解决本题:我们知道①(a+b)2=a2+2a·b+b2;②(a-b)2=a2-2a·b+b2.由①-②得(a+b)2-(a-b)2=4a·b⇔a·b=(a+b)2−(a−b)24,我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”,它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD中,BD=8,AB·AD=48,E为BD中点,且EC=2AE,则( )
A.AE=8B.AE=4
C.CB·CD=240D.CB·CD=120
三、填空题
10.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为2π3,如图所示,点C在以O为圆心的弧AB上运动,若OC=xOA+yOB(x,y∈R),则x+y的最大值是 .
11.(2025·长沙模拟)已知点C为扇形AOB的弧AB上任意一点,且∠AOB=60°,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围是 .
12.(2025·安庆调研)四边形ABCD中,点E,F分别是AB,CD的中点,AB=2,CD=22,EF=1,点P满足PA·PB=0,则PC·PD的最大值为 .