2023高考数学二轮专题 微专题4 平面向量的基本运算和应用

这是一份2023高考数学二轮专题 微专题4 平面向量的基本运算和应用，共21页。
微专题4　平面向量的基本运算和应用高考定位　1.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义，难度中低档.1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝(　　)A.3m－2n  B.－2m＋3nC.3m＋2n  D.2m＋3n答案　B解析　因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n.故选B.2.(2022·全国乙卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝，|a－2b|＝3，则a·b＝(　　)A.－2  B.－1  C.1  D.2答案　C解析　由|a－2b|＝3，可得|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又|a|＝1，|b|＝，所以a·b＝1，故选C.3.(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t＝(　　)A.－6  B.－5  C.5  D.6答案　C解析　由题意，得c＝a＋tb＝( 3＋t，4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，即＝3＋t，解得t＝5，故选C.4.(2021·全国乙卷)已知向量a＝(2，5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________.答案　解析　法一(定义法)　因为a∥b，所以存在实数k，使a＝kb，即(2，5)＝k(λ，4)，得解得法二(结论法)　因为a∥b，所以2×4－5λ＝0，解得λ＝.热点一　平面向量的线性运算1.平面向量加减求解的关键是：对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”；对平面向量减法抓住“共起点，连两终点，指向被减向量的终点”，再观察图形对向量进行等价转化.2.在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作一个字母看待，其运算方法类似于代数中合并同类项的运算，在计算时可以进行类比.例1 (1)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)A.－  B.－C.＋  D.＋(2)已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于D，AC于E，若＝λ，＝μ，则＋＝________.答案　(1)A　(2)3解析　(1)作出示意图如图所示.＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.(2)如图，设F为BC中点，则＝＝(＋)，又＝，＝，∴＝＋，又G，D，E三点共线，∴＋＝1，即＋＝3.易错提醒　在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，不能盲目转化.训练1 (1)(2022·广州模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4CD，M为AD的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　)A.  B.  C.  D.(2)在△ABC中，AB＝5，AC＝2，BC边上的高AD＝4，且垂足D在线段BC上，H为△ABC的垂心，且＝x＋y(x，y∈R)，则＝________.答案　(1)A　(2)解析　(1)如图，连接BD，因为M为AD的中点，所以＝＋，因为＝＋＝＋，所以＝＋＝＋，所以λ＋μ＝＋＝.(2)因为AB＝5，AC＝2，AD＝4，AD⊥BC于D，由勾股定理得BD＝3，CD＝2，则＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，又因为点H为△ABC的垂心，AD为三角形的高，所以点H在AD上，则存在实数λ，使得＝λ＝λ＋λ＝x＋y，则x＝λ，y＝λ，所以＝.热点二　平面向量的数量积1.数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义、坐标运算和数量积的几何意义.2.可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中已知的向量模和夹角进行计算.例2 (1)已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝|b|＝2，则|2a－b|＝(　　)A.0  B.2  C.  D.20(2)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos 〈a，a＋b〉＝(　　)A.－  B.－  C.  D.(3)已知正三角形的边长为2，P是边AB上一点，且＝2，则·(＋)＝(　　)A.1  B.2  C.4  D.6答案　(1)B　(2)D　(3)D解析　(1)|2a－b|＝＝＝＝2.故选B.(2)∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.故选D.(3)法一(基底法)　由题意可得，P是边AB上靠近点A的三等分点，故＝＋.显然·＝2.因此，·(＋)＝·(＋)＝2＋2＋·＝6，故选D.法二(坐标法)　以AB的中点O为原点，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，0)，B(1，0)，C(0，)，P，则＝，＝(－1，－)，＝(1，－).因此，·(＋)＝·(0，－2)＝6，故选D.易错提醒　两个向量的夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，而且不能反向共线.训练2 (1)(2022·长沙模拟)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，则·等于(　　)A.  B.  C.  D.(2)(2022·苏锡常镇调研)已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，若(a＋3b)⊥(2a＋λb)，则实数λ＝________.答案　(1)D　(2)－1解析　(1)建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，1)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，1)，设E(x，y)，所以＝(x，y－1)，＝(x，y)，＝(2，1)，∵⊥，且∥，∴解得∴E，＝，＝，∴·＝×＋×＝.(2)因为向量a，b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝1，且(a＋3b)⊥(2a＋λb)，所以(a＋3b)·(2a＋λb)＝0，即2a2＋(6＋λ)a·b＋3λb2＝8＋(6＋λ)×2×1×＋3λ＝0，解得λ＝－1.热点三　平面向量的综合应用三角函数和平面向量是高中数学的两个重要分支，内容繁杂，且平面向量与三角函数交汇点较多，如向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都可以与三角函数进行交汇.例3 已知ω＞0，a＝(sin ωx，－cos ωx)，b＝(cos ωx，cos ωx)，f(x)＝a·b，x1，x2是y＝f(x)－的两个零点，且|x1－x2|min＝π.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α∈，f＝，求sin 2α的值.解　(1)f(x)＝sin ωxcos ωx－cos2ωx＝sin 2ωx－＝sin 2ωx－cos 2ωx－＝sin－.∵x1，x2是函数y＝f(x)－＝sin－1的两个零点，即x1，x2是方程sin＝1的两个实根，且|x1－x2|min＝π，∴T＝＝π，∴ω＝1.∴f(x)＝sin－.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(2)f＝sin－＝，∴sin＝.∵0＜α＜，∴－＜α－＜，∴cos＝.∵sin α＝sin＝sincos ＋cossin ＝，cos α＝cos＝coscos －sinsin ＝，∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.规律方法　对于此类问题的解决方法就是利用向量的知识将条件“脱去外衣”转化为三角函数中的“数量关系”，再利用三角函数的相关知识进行求解.训练3 △ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行. (1)求A的大小； (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.解　(1)因为m∥n，所以asin B－bcos A＝0，由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，又sin B≠0，从而tan A＝，由于0＜A＜π，所以A＝.(2)法一　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c＞0，所以c＝3，故△ABC的面积为S＝bcsin A＝.法二　由正弦定理，得＝，从而sin B＝，又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝，故sin C＝sin(A＋B)＝sin＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.所以△ABC的面积为S＝absin C＝.一、基本技能练1.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A.4  B.3  C.2  D.0答案　B解析　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.2.(2022·青岛模拟)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，则2a－b在a方向上的投影向量为(　　)A.a  B.a  C.b  D.b答案　A解析　∵向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝6，∴(2a－b)·a＝2|a|2－a·b＝2×22－2×6×＝2，∴2a－b在a方向上的投影向量为a.3.设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4，若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)A.20  B.15  C.9  D.6答案　C解析　＝＋，＝－＝－＋，∴·＝·＝2－2＝×36－×16＝9，选C.4.如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n等于(　　)A.0  B.1  C.2  D.3答案　C解析　如图，连接AO，由O为BC的中点可得，＝(＋)＝＋，∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.∴m＋n＝2.5.(多选)(2022·广州模拟)设向量a＝(－1，1)，b＝(0，2), 则(　　)A.|a|＝|b|  B.(a－b)∥bC.(a－b)⊥a  D.a与b的夹角为答案　CD解析　∵a＝(－1，1)，b＝(0，2)，a－b＝(－1，－1)，对于A，|a|＝，|b|＝2，∴|a|≠|b|，故A错误；对于B，－1×2－(－1)×0≠0，∴a－b与b不平行，故B错误；对于C，(a－b)·a＝－1×(－1)＋(－1)×1＝0，∴(a－b)⊥a，故C正确；对于D，cos〈a，b〉＝＝＝，又a与b的夹角范围是[0，π]，∴a与b的夹角为，故D正确.6.(2022·九江模拟)我国东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若＝a，＝b，＝3，则＝(　　)A.a＋b  B.a＋bC.a＋b  D.a＋b答案　B解析　＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝－＋，解得＝＋，即＝a＋b，故选B.7.(2022·全国乙卷改编)已知向量a＝(2，1)，b＝(－2，4)，则|a－b|＝________.答案　5解析　由题意知a－b＝(2，1)－(－2，4)＝(4，－3)，所以|a－b|＝＝5.8.(2022·泰安模拟)已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，2).若向量a与向量kb＋c共线，则实数k＝________.答案　1解析　已知向量a＝(1，3)，b＝(－2，1)，c＝(3，2)，所以kb＋c＝(－2k＋3，k＋2)，因为向量a与向量kb＋c共线，所以k＋2＝3×(－2k＋3)，解得k＝1.9.已知非零向量a，b满足|b|＝2|a|，且(a＋b)⊥a，则a与b的夹角为________.答案　π解析　设a与b的夹角为θ，由(a＋b)⊥a，得(a＋b)·a＝0，即a·b＝－a2，又cos θ＝＝＝＝－，且0≤θ≤π，则θ＝π.10.在同一平面中，＝，＝2.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.答案　解析　由题意得，＝，＝，故＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋，所以m＝，n＝，故m＋n＝.11.已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－，)，x∈[0，π].(1)若a⊥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解　(1)由题意，得－cos x＋sin x＝0，所以tan x＝，又x∈[0，π]，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝－cos x＋sin x＝2sin，因为x∈[0，π]，所以x－∈，所以sin∈，所以f(x)∈[－，2]，即f(x)的最大值为2，此时x－＝，则x＝；f(x)的最小值为－，此时x－＝－，则x＝0.12.在平面四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，对角线AC与BD交于点E，E是BD的中点，且＝2.(1)若∠ABD＝，求BC的长；(2)若AC＝3，求cos∠BAD.解　(1)在△ABD中，AB＝4，AD＝2，∠ABD＝，由正弦定理得＝，所以sin∠ADB＝＝1，因为0<∠ADB<π，所以∠ADB＝.所以BD＝2，所以DE＝BE＝，AE＝.所以cos∠AED＝cos∠BEC＝.因为＝2，所以EC＝.由余弦定理得BC2＝BE2＋EC2－2BE·EC·cos∠BEC＝2＋－2×××＝，所以BC＝.(2)法一　因为AC＝3，＝2，所以AE＝2.设DE＝BE＝x，在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB＝.在△AED中，由余弦定理得cos∠ADB＝，所以＝，解得x＝2，所以BD＝4.在△ABD中，由余弦定理得cos∠BAD＝＝＝－.法二　因为AC＝3，＝2，所以||＝2，在△ABD中，E为BD的中点，所以＋＝2，平方得||2＋||2＋2·＝4||2，即16＋8＋2×4×2×cos∠BAD＝16，解得cos∠BAD＝－.二、创新拓展练13.(多选)(2022·湖州调研)四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则(　　)A.＝2  B.－＝C.＋＝  D.·＝1答案　BD解析　由题意得＝＝2＝－2，故选项A错误；－＝－＝＋＝，故选项B正确；＋＝＋＝，故选项C错误；·＝(＋)·＝·＋·＝1＋0＝1，故选项D正确.综上所述，故选BD.14.(多选)(2022·武汉质检)已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的两点，且＝，＝2，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是(　　)A.·＝－1 B.＋＝0C.|＋＋|＝ D.在方向上的投影向量的长度为答案　BCD解析　因为＝，△ABC是等边三角形，所以CE⊥AB，所以·＝0，选项A错误；以E为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示，所以E(0，0)，A(1，0)，B(－1，0)，C(0，)，D，设O(0，y)，y∈(0，)，则＝(1，y)，＝，又∥，所以y－＝－y，解得y＝，即O是CE的中点，＋＝0，所以选项B正确；|＋＋|＝|2＋|＝||＝.所以选项C正确；＝，＝(1，)，在方向上的投影向量的长度为＝＝，所以选项D正确.15.(多选)(2022·苏州模拟)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，则下列命题为真命题的有(　　)A.若|a|>|b|，则sin A>sin BB.若a·b>0，则△ABC为锐角三角形C.若a·b＝0，则△ABC为直角三角形D.若(b＋c－a)·(b＋a－c)＝0，则△ABC为直角三角形答案　ACD解析　对于A，若|a|>|b|，由正弦定理得2Rsin A>2Rsin B，∴sin A>sin B，则A正确；对于B，若a·b>0，则cos(π－∠ACB)>0，∴cos∠ACB<0，即∠ACB为钝角，∴△ABC为钝角三角形，故B错误；对于C，若a·b＝0，则AC⊥BC，∴△ABC为直角三角形，故C正确；对于D，若(b＋c－a)·(b＋a－c)＝0，则b2－(a－c)2＝0，∴a2＋c2－b2＝2a·c，即＝－cos B，由余弦定理知＝cos B，∴cos B＝－cos B，则cos B＝0，∵B∈(0，π)，∴B＝，△ABC为直角三角形，故D正确.故选ACD.16.在平面凸四边形ABCD中，AB＝2，点M，N分别是边AD，BC的中点，且MN＝，若·(－)＝，则·＝________.答案　－2解析　因为点M，N分别是AD，BC的中点，所以＝＋＝(－)，则有·(－)＝(－)·(－)＝(－)·(＋－)＝(－)·(＋)＝.又因为AB＝2，所以CD＝1，则由＝(－)两边平方化简得5＝||2－2·，即·＝＝－2.17.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且C＝，a＋b＝λc(其中λ>1).(1)若λ＝，证明：△ABC为直角三角形；(2)若·＝λ2，且c＝3，求λ的值.(1)证明　∵λ＝，∴a＋b＝c，由正弦定理得sin A＋sin B＝sin C，∵C＝，∴sin B＋sin＝，即sin B＋cos B＋sin B＝，∴sin B＋cos B＝，即sin B＋cos B＝，则sin＝，又B∈(0，π)，从而B＋＝或B＋＝，解得B＝或B＝.若B＝，则A＝，△ABC为直角三角形；若B＝，△ABC也为直角三角形.所以△ABC为直角三角形.(2)解　若·＝λ2，即||||cos C＝λ2，又C＝，则ab＝λ2，∴ab＝λ2.由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcos C，即a2＋b2－ab＝c2＝9，即(a＋b)2－3ab＝9，又a＋b＝3λ，故9λ2－λ2＝9，解得λ2＝4，又λ>1，∴λ＝2.