新高考数学二轮复习高分突破练习01 平面向量（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习高分突破练习01 平面向量（2份，原卷版+解析版），共26页。
结论1：极化恒等式
1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设，，则，
（1）
（2）
（1）（2）两式相加得：
2、极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
（1）平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
（2）三角形模式：（M为BD的中点）
结论2：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等．
已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：．
【证明】（坐标法）设，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xy，
则，设，则
结论3：三点共线的充要条件
设、、是三个不共线向量，则A、B、P共线存在使．
特别地，当P为线段AB的中点时，．
结论4：等和线
【基本定理】
（一）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然．
（二）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线．
（1）当等和线恰为直线时，；
（2）当等和线在点和直线之间时，；
（3）当直线在点和等和线之间时，；
（4）当等和线过点时，；
（5）若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
结论5：奔驰定理
【奔驰定理】若O为内任一点，且，则
【典型例题】
例1．在中，是的中点，，则____．
．
例2．（2024·江西新余·高三统考期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则M为的重心
B．若M为的内心，则
C．若M为的垂心，，则
D．若，，M为的外心，则
例3．正三角形内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则的取值范围是 ．
例4．已知圆与，定点，A、B分别在圆和圆上，满足，则线段AB的取值范围是 ．
的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
，
．
例5．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·山东·高三山东省实验中学校联考开学考试）已知向量满足，，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·北京西城·高三北京师大附中校考开学考试）如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（ ）

A．10B．13C．18D．26
3．（2024·云南保山·高三统考期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·全国·校联考模拟预测）在等腰中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，，，P是外接圆上一点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·北京通州·高三统考期末）在菱形中，是的中点，是上一点（不与，重合），与交于，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·全国·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知，，动点P满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．P的轨迹为圆B．P到原点最短距离为1
C．P点轨迹是一个菱形D．点P的轨迹所围成的图形面积为4
7．（2024·全国·统考模拟预测）键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知与为全等的正六边形，且，点为该图形边界（包括顶点）上的一点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2024·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知直线，圆，且圆过点，直线与圆交于两点，下列结论中正确的是（ ）
A．圆的半径为2
B．直线过定点
C．的最小值是
D．的最大值是0
12．（2024·贵州·校联考模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ）
A．若，且，则为直角三角形
B．若，，，要使满足条件的三角形有且只有两个，则
C．若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形
D．若，则为钝角三角形
13．（2024·安徽淮北·统考一模）如图，边长为2的正六边形，点是内部（包括边界）的动点，，，.（ ）

A．B．存在点，使
C．若，则点的轨迹长度为2D．的最小值为
14．（2024·黑龙江·高三校联考期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若，为的外心，则
D．若为的垂心，，则
15．（2024·山东菏泽·高三统考期末）如图，顺次连接正五边形的不相邻的顶点，得到五角星形状，则以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
16．（2024·全国·校联考模拟预测）已知平面向量满足，，且对任意的实数，都有恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．与垂直B．
C．的最小值为D．的最大值为
三、填空题
17．（2024·天津红桥·统考一模）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
18．（2024·天津·高三校联考期末）在梯形中，分别为线段和线段上的动点，且，则的取值范围为 ．
19．（2024·全国·校联考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是 .
20．（2024·四川·高三校联考期末）过圆外一点作圆的两条切线，切点为，则的最小值为 ，此时， ．
21．（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知是边长为3的等边三角形，为上一点，为的中心，为内一点（包括边界），且，则的最大值为 .
22．（2024·天津宁河·高三统考期末）在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为 ；若的面积为，则的最小值为 ．
23．（2024·广东惠州·统考一模）已知为函数图象上一动点，则的最大值为 ．