新高考数学二轮复习举一反三强化训练微专题11 导数中的极值点偏移问题讲义（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习举一反三强化训练微专题11 导数中的极值点偏移问题讲义（2份，原卷版+解析版）试卷主要包含了 若函数存在两个零点且，求证， 若函数中存在且满足，求证， 若函数中存在且满足，令，求证等内容，欢迎下载使用。
微专题教学内容
极值点偏移的含义
众所周知，函数满足定义域内任意自变量都有，则函数关于直线对称；可以理解为函数在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若为单峰函数，则必为的极值点. 如二次函数的顶点就是极值点，若的两根的中点为，则刚好有，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移.

若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数的极值点为，且函数满足定义域内左侧的任意自变量都有或，则函数极值点左右侧变化快慢不同. 故单峰函数定义域内任意不同的实数满足，则与极值点必有确定的大小关系：
若，则称为极值点左偏；若，则称为极值点右偏.
如函数的极值点刚好在方程的两根中点的左边，我们称之为极值点左偏.
极值点偏移问题的一般题设形式
1. 若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）；
2. 若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）；
3. 若函数存在两个零点且，令，求证：；
4. 若函数中存在且满足，令，求证：.
极值点偏移的判定定理
对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，
（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；
（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.
证明：（1）因为对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，则函数的单调递增（减）区间为，单调递减（增）区间为，由于，有，且，又，故，所以，即函数极（小）大值点右（左）偏；
（2）证明略.
左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）
左快右慢（极值点左偏） 左慢右快（极值点右偏）
对数平均不等式
两个正数和的对数平均定义：
对数平均与算术平均､几何平均的大小关系：
（此式记为对数平均不等式）
取等条件：当且仅当时，等号成立．
只证：当时，．不失一般性，可设．
证明如下：
（I）先证：……①
不等式①（其中）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递减，
故，从而不等式①成立；
（II）再证：……②
不等式②（其中）
构造函数，则．
因为时，，所以函数在上单调递增，
故，从而不等式成立；
综合（I）（II）知，对，都有对数平均不等式成立，
当且仅当时，等号成立．
运用判定定理判定极值点偏移的方法
1、方法概述：
（1）求出函数的极值点；
（2）构造一元差函数；
（3）确定函数的单调性；
（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.
典例精讲
【典例1】
已知是函数的两个零点，且，求证：．
会一题通一类
已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，若函数有2个不同的零点，．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明：．
【典例2】
已知函数有两个不同的零点，且满足，求证：．
会一题通一类
已知，是函数的两个零点，且，求证：
(1)；
(2)．
【典例3】
已知函数.
(1)讨论导函数的零点个数情况；
(2)若有两个不同极值点、.当时，证明：.
会一题通一类
已知函数．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若有2个不同的零点，求证：．
【典例4】
已知函数．
(1)求函数的最值；
(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：．
会一题通一类
已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个零点；
（i）求的取值范围；
（ii）证明．
学后测评
1．已知函数.
(1)当时，求证：；
(2)若对于恒成立，求的取值范围；
(3)若存在，使得，求证：.
2．已知函数.
(1)若有两个零点，求的取值范围；
(2)若方程有两个实数根，且，证明：.
3．已知函数.
(1)若，当与的极小值之和为0时，求正实数的值；
(2)若，求证：.
4．已知函数.
(1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围；
(2)若有两个不同极值点.
①求的取值范围；
②当时，证明：.
5．已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若有两个零点，，且，求证：．
6．已知函数，.
(1)当时，讨论方程解的个数；
(2)当时，有两个极值点，，且，若，证明：
（i）；
（ii）.
7．已知函数．
(1)求函数的单调区间和最大值；
(2)设函数有两个零点，证明：．
8．已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有两个不同的根．
（i）求的取值范围；
（ii）证明：．
9．已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
(2)若函数恰有两个极值点，且的最大值为，求证：．
10．已知曲线在点处的切线为．
(1)求直线的方程；
(2)证明：除点外，曲线在直线的下方；
(3)设，求证：．