数学北师大版（2024）1 确定位置优秀课后作业题

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知识点01 确定位置
在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据。
【即学即练1-1】根据下列表述，能确定具体位置的是（ ）
A．八年级教室B．北京东路
C．东偏北方向D．东经，北纬
【答案】D
【分析】本题考查位置的确定，根据确定具体位置需要两个独立的参数，如经纬度、方向与距离等，进行判断即可．
【详解】A、无法确定具体位置，不符合题意；
B、无法确定具体位置，不符合题意；
C、无法确定具体位置，不符合题意；
D、能确定具体位置，符合题意；
故选：D．
【即学即练1-2】在实际生活中，我们经常采用“角度距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以点为基准点，射线方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度，顺时针方向旋转为负角度如：方向为方向绕点逆时针旋转，点与点的距离为，因此点可以用有序数对记为，类似地，点可以记为．以下点的位置标记正确的是（ ）
A．点B．点
C．点D．点
【答案】D
【分析】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解“角度+距离”的方法是解题的关键．根据题干中的例子，分别判断每个选项即可．
【详解】解：由题意可得：
A、点D中数对位置颠倒，故不符合题意；
B、点E表示从开始逆时针，与O相距，与图中位置不符，故不合题意；
C、点F表示从开始顺时针，与O相距，与图中位置不符，故不合题意；
D、点G表示从开始逆时针，与O相距，与图中位置相符，故符合题意；
故选：D．
知识点02 平面直角坐标系
1.平面直角坐标系的定义：两条互相垂直的共原点数轴组成．水平的数轴叫做横轴（x轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫做纵轴（y轴），取向上为正方向；两轴公共的原点为坐标原点．
注意：同一数轴上的单位长度是一样的，一般情况下两轴上的单位长度也相同．
2.点的坐标：如下图，由点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足A在x轴上的坐标是a，垂足B在y轴上的坐标是b，则点P的坐标为，其中a为点P的横坐标，b为点P的纵坐标．
3.象限和坐标轴：
（1）第一象限内的点的坐标满足：，；（2）第二象限内的点的坐标满足：，；
（3）第三象限内的点的坐标满足：x＜0，；（4）第四象限内的点的坐标满足：，.
（5）x轴上的点的坐标满足：；（6）y轴上的点的坐标满足：；
注意：两条坐标轴上的点不属于任何一个象限．
4.坐标系中的特殊直线：
（1）与x轴平行的直线：所有点的纵坐标都相等，即直线为；
（2）与y轴平行的直线：所有点的横坐标都相等，即直线为．
（3）一、三象限角平分线：横坐标与纵坐标相等，且直线为；
（4）二、四象限角平分线：横坐标与纵坐标互为相反数，且直线为．
5.点到特殊直线的距离：
（1）点到x轴的距离为；到直线（m为常数）的距离为；
（2）点到y轴的距离为；到直线（n为常数）的距离为．
【即学即练2-1】下列说法不正确的是（ ）
A．点在第二象限
B．点到y轴的距离为2
C．若点中，则点P在x轴上
D．若点在x轴上，则
【答案】C
【分析】本题考查坐标系中点的位置特征及点到坐标轴的距离．需根据各选项的条件逐一判断其正确性，即可解答．
【详解】解：A． 点的横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限，正确；
B． 点到轴的距离为横坐标的绝对值，正确；
C． 若，则或，此时点可能在轴或轴上，选项中仅说明在轴上，不全面，错误；
D． 若点在轴上，则其纵坐标，正确．
故选C．
【即学即练2-2】已知平面直角坐标系内的不同点．则下列说法中正确的是（ ）
A．若点 A 在第一、三象限的角平分线上，则
B．若点 B 在第二、四象限的角平分线上，则
C．若直线 平行于 x 轴，则且
D．若直线平行于 y 轴，且，则
【答案】C
【分析】本题考查的是坐标平面内点的坐标特征，根据各选项的条件，逐一应用坐标系中的相关性质进行判断即可．
【详解】解：A、点A在第一、三象限角平分线上，则其横纵坐标相等，即，解得，故选项A错误；
B、点B在第二、四象限角平分线上，则其横纵坐标互为相反数，即，解得，故选项B错误；
C、直线平行于x轴，则两点的纵坐标相等且横坐标不等，由得；由得，条件完全满足，故选项C正确；
D、直线平行于y轴，则横坐标相等，即，解得，此时的长度为，令其等于3，解得或，选项D仅给出，未包含，故选项D错误；
故选：C．
【即学即练2-3】已知点，
(1)若点P在y轴上，求点P的坐标；
(2)若点，且轴，求a的值；
(3)若点P在第二象限，且点P到两坐标轴的距离之和为8，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了坐标与图形，点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点，在y轴上的点的坐标特点．
（1）在y轴上的点横坐标为0，据此列出方程求解即可；
（2）平行于x轴的直线上的点纵坐标相同，据此求出a的值即可；
（3）第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此求出点P到两坐标轴的距离，再根据点P到两坐标轴的距离之和为8建立方程求出a的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵在y轴上，横坐标为0，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵轴，
∴点P与点Q的纵坐标相同，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵是第二象限的点，
∴，，
∴点P到x轴的距离为：，点P到y轴的距离为：，
∴，
解得：，
∴，，
∴．
题型01 用有序数对表示位置/路线
【典例1】2025年郑州两会于2月7号-8号召开，以下最能够准确表示会议位置的是（ ）
A．平顶山东北方向B．北纬34.76°，东经113.68°
C．金水区D．距离洛阳136公里处
【答案】B
【知识点】用有序数对表示位置
【分析】本题考查了确定位置的准确表示方法，解题的关键是理解不同位置表示方式的精确程度．
要判断哪种方式能最准确表示会议位置，需分析各选项表示位置的精确性．
【详解】A、“平顶山东北方向”，这种方向描述范围很宽泛，不能精确确定会议位置，因为东北方向是一个较大的区域，无法准确找到具体点，所以A选项不符合；
B、“北纬，东经”，利用经纬度可以在地球表面精确地确定一个点的位置，是非常准确的位置表示方法，所以B选项符合；
C、“金水区”，金水区是一个行政区域，区域内范围较大，不能精确到会议的具体位置，所以C选项不符合；
D、“距离洛阳136公里处”，以洛阳为参照，距离136公里的地方是一个圆周（以洛阳为圆心，136公里为半径），有无数个点，无法准确确定会议位置，所以D选项不符合．
故选：B．
【变式1】如图是雷达探测到的6个目标，若目标A用表示，目标E用表示，那么表示的是（ ）
A．目标BB．目标CC．目标DD．目标F
【答案】B
【知识点】用有序数对表示位置
【分析】本题主要考查了用有序数对表示位置，根据题意可知有序数对第一个数表示从里到外的圈数，第二个数表示的是度数，据此可得答案．
【详解】解：∵目标A用表示，目标E用表示，
∴表示的是目标C，
故选：B．
【变式2】我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角形”，若用有序数对表示第m排从左到右第n个数，如表示正整数2，表示正整数3，则表示的正整数是（ ）
A．7B．21C．23D．35
【答案】D
【知识点】数字类规律探索、用有序数对表示位置
【分析】本题主要考查了有序实数对确定位置，根据数列的排列规律得出第7、8行的数字，再依据题干规定的有序数对的定义得出答案，熟练掌握其变化规律是解决此题的关键．
【详解】解：由题意知，第7行的数字为1、6、15、20、15、6、1，
第8行的数字为1、7、21、35、35、21、7、1，
∴表示的正整数是35，
故选：D．
【变式3】如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行规律总是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从A到B的爬行路线记为：，从B到A的爬行路线为：，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息．
(1)图中（________，________）；
(2)若甲虫的爬行路线为，计算甲虫爬行的路程；
(3)若甲虫从点A出发，爬行路线依次为，，，，最终到达点P，请在图中标出点P的位置．
【答案】(1)，
(2)10
(3)见解析
【知识点】用有序数对表示位置、用有序数对表示路线
【分析】本题考查坐标确定位置；理解正数与负数在实际问题中的意义是解题的关键.
（1）B到D向右走3个格，向下走2个格；
（2）先确定A到B，B到C，C到D的行走路线，再将所有路线长度相加即可；
（3）根据题意，画出路线图即可.
【详解】（1）解：根据题意，B到D的路线为，
故答案为：，，
（2）解：，，
甲虫爬行的路程为；
（3）解：点P如图所示．
题型02 判断点所在的象限
【典例2】在平面直角坐标系内，点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特点，掌握象限中点的符号是解题的关键．
根据各象限内点的坐标特征解答．
【详解】解：∵第一象限的点的符号为，第二象限的点的符号为，第三象限的点的符号为，第四象限的点的符号为，
∴点在第二象限．
故选：B ．
【变式1】在平面直角坐标系中，下列位于第四象限的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【知识点】判断点所在的象限
【分析】本题考查了判断点所在的象限，解题关键是熟记各象限内点的特征．
根据各象限内点的特征，判断四个点所在的象限，再作出选择．
【详解】解：在第二象限，故A不符合；
在第三象限，故B不符合；
在第四象限，故C符合；
在第一象限，故D不符合，
故选：C ．
【变式2】某公司正在开发一款基于直角坐标系的导航软件，为了测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了A，B两个关键点．若点在第四象限，则点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了坐标确定位置，根据各象限内的点的坐标的符号特征进行判断即可．熟练掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：点在第四象限，
，，
点在第二象限．
故选：B．
【变式3】若点在第一象限，则点一定在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了判断坐标轴中的点所在象限，正确判断点的横、纵坐标正负号是解题关键．先根据所在象限判断出、与零的大小关系，然后再判断的横纵坐标的正负情况即可．
【详解】解：∵在第一象限，
∴，
则，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，点在第二象限，
故选：B．
题型03 求点到坐标轴的距离
【典例3】点到轴的距离是 ，到轴的距离是 ．
【答案】 2 3
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，掌握点到坐标轴的距离的计算是关键．
根据点到轴的距离为，点到轴的距离为，由此即可求解．
【详解】解：点到轴的距离是，到轴的距离是，
故答案为：①；② ．
【变式1】已知点，则点A到x轴的距离是 ；到y轴的距离是 ．
【答案】 4 2
【知识点】求点到坐标轴的距离
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题关键．根据点的坐标即可得到点到坐标轴的距离．
【详解】解：点 到x轴的距离是4；到y轴的距离是2，
故答案为：4；2．
【变式2】点到轴的距离是 ，到坐标原点的距离是 ．
【答案】
【知识点】求点到坐标轴的距离、已知两点坐标求两点距离
【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，点到点的距离，根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值及两点间距离公式即可求解，掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】解：到轴的距离是，到坐标原点的距离是，
故答案为：，．
【变式3】点P在第四象限，且到x轴、y轴的距离分别为4、3．则点P的坐标是 ．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离
【分析】本题主要考查了象限内点的坐标特征，点到坐标轴的距离，根据点P在第四象限，得出横坐标，纵坐标，再根据到x轴、y轴的距离分别为4、3，得出点P的坐标即可．
【详解】解：设点P的坐标为，
∵点P在第四象限，
∴，，
∵点P到x轴、y轴的距离分别为4、3，
∴点P的坐标为．
故答案为：．
题型04 已知含参数的点在坐标轴上求点的坐标
【典例4】已知点在y轴上，则 ．
【答案】
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键．根据y轴上的点横坐标为0可得，然后进行计算即可解答．
【详解】解：点在y轴上，
，
解得：，
故答案为：．
【变式1】如果点在直角坐标系的x轴上，那么点M的坐标为
【答案】
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征. 根据x轴上点的纵坐标等于零，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】解：∵点在平面直角坐标系的 x 轴上
∴
∴
所以
故答案为：
【变式2】已知在第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ．
【答案】
【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了坐标与平面，点到坐标轴的距离，象限内点的坐标特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，熟练掌握各知识点是解题的关键．
根据题意可得点的横纵坐标互为相反数，据此即可建立方程求解．
【详解】解：∵第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
【变式3】在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作．
（1）若，则 ；
（2）若点在第二象限，且（为常数），则的值为 ．
【答案】 10 2
【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟知点到坐标轴的距离的定义是解题的关键．
（1）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，则，，据此代入t的值求解即可；
（2）第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正，据此可得，，再根据建立方程求解即可．
【详解】（1）∵点的坐标为，将点到轴的距离记作，到轴的距离记作，
，，
，
，，
，
故答案为：10．
（2）点在第二象限，
，，
，，
，
，
解得，
故答案为：2．
题型05 已知点所在的直线平行于坐标轴求点的坐标
【典例5】在平面直角坐标系中，已知点，．
(1)点是否可能与原点重合，请说明理由；
(2)若点在轴下方，且轴，，求和的值．
【答案】(1)点与原点可以重合，理由见解析
(2)，
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知点所在的象限求参数、坐标与图形综合
【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟知点的坐标特点是解题的关键．
（1）只需要验证同一个a值是否能使和同时成立即可；
（2）平行于y轴的直线上的点横坐标相同，据此可得，再由得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：点与原点可以重合，理由如下：
当时，解得，
当时，，
点与原点可以重合；
（2）解：轴，，，，且点在轴下方，
，，
解得，．
【变式1】已知点，试根据以下条件分别求出点A的坐标：
(1)点A的横坐标比纵坐标大2；
(2)已知点，且轴．
【答案】(1)
(2)
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查点的坐标、解一元一次方程、坐标与图形，熟练掌握相关点的坐标特征是解题的关键，
（1）根据横坐标比纵坐标大2列方程再求解即可；
（3）根据点，且轴，得出，求出m的值，再求解即可．
【详解】（1）解：∵点A的横坐标比纵坐标大2，，
∴，
解得：，
∴，，
∴点A的坐标为：；
（2）解：∵点，且轴，，
∴，
解得：，
∴，
∴点A的坐标为：．
【变式2】已知点，分别根据下列条件求出点的坐标．
(1)点在轴上；
(2)点的坐标为，直线轴．
【答案】(1)
(2)
【知识点】已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标轴上的点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据轴上的点的纵坐标为，令，即可求得，进而求得的坐标；
（2）根据，则的横坐标相同，令，即可求得，进而求得的坐标．
【详解】（1）解：点P在x轴上，
，
点P的坐标；
（2）点Q的坐标为，直线轴，
解得
点P的坐标．
【变式3】已知点的坐标为．
(1)若点的坐标为，且直线轴，求点的坐标．
(2)若点在第二象限，且到轴、轴的距离相等，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的特点，掌握平面直角坐标系的特点是解题的关键．
（1）根据平行于轴，纵坐标相等，可得，由此即可求解；
（2）根据点在第二象限，且到轴、轴的距离相等，可得，，，由此即可求解．
【详解】（1）解：直线轴，
，
解得，
，
点的坐标为；
（2）解：∵点到轴、轴的距离相等，
∴，
点在第二象限，
，，
，
解得，
，，
点的坐标为．
题型06 坐标与图形
【典例6】已知：，，
(1)在坐标系中描出各点，画出；
(2)求的面积；
(3)设点P在y轴上，且与的面积相等，直接写出点P的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)点的坐标为或
【知识点】坐标系中描点、坐标与图形
【分析】本题考查的是坐标与图形，三角形的面积的计算，清晰的分类讨论是解本题的关键；
（1）根据A，B，C的坐标描出各点，再连接即可；
（2）过点向、轴作垂线，垂足为、，再利用割补法求解面积即可；
（3）根据的面积求出，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：如图所示：为所求，
（2）解：过点向、轴作垂线，垂足为、．
四边形的面积，的面积，
的面积，的面积
的面积四边形的面积的面积的面积的面积
．
（3）解：∵点在轴上，
∴的面积，
即，解得：．
所以点的坐标为或．
所以点的坐标为或．
【变式1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，．
(1)点落在轴正半轴，且到原点的距离为3，则_， _；
(2)在（1）的条件下，在平面坐标系中画出，并求出的面积；
【答案】(1)0，3
(2)作图见解析，7
【知识点】利用网格求三角形面积、坐标与图形
【分析】本题考查了坐标与图形、割补法求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据点落在轴正半轴，且到原点的距离为3，即可得出答案；
（2）先画出，再利用割补法求三角形面积即可．
【详解】（1）解：∵点落在轴正半轴，且到原点的距离为3，
∴，，
故答案为：0，3；
（2）解：如图，就是求作的图形，
，
．
【变式2】在如图所示的平面直角坐标系中表示下面各点：A0,3；；；；；；．
(1)点到原点的距离是________．
(2)将点向轴的负方向平移个单位，它与点________重合．
(3)连接，则直线与坐标轴是什么关系？
(4)点分别到、轴的距离是多少？
【答案】(1)
(2)
(3)直线轴或轴
(4)点到轴的距离为，到轴的距离为
【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形
【分析】此题主要考查了直角坐标系中点的坐标特征以及平移的性质，根据坐标系得出各点的位置是解题关键．
（1）根据点坐标可得出点在轴上，即可得出点到原点的距离；
（2）根据点的平移的性质得出点平移后的坐标，即可求解；
（3）利用图形性质得出直线与坐标轴的位置关系；
（4）利用点的横纵坐标得出点分别到、轴的距离．
【详解】（1）解：如图，各点在坐标轴中表示为：
A0,3，
点到原点的距离是，
故答案为：；
（2），
将点向轴的负方向平移个单位，则坐标为，它与点重合，
故答案为：；
（3）由图可知，直线轴或轴；
（4），
点到轴的距离为，到轴的距离为．
【变式3】如图，平面直角坐标系中，点，，．
(1)点C到y轴的距离为______；
(2)求的面积；
(3)若点P的坐标为，
①直接写出线段的长为______；（用含m的式子表示）
②当时，求点P的坐标．
【答案】(1)1
(2)
(3)①；②或
【知识点】求点到坐标轴的距离、坐标与图形
【分析】本题考查图形与坐标，结合图形，理解题意是解决问题的关键．
（1）根据点的坐标即可求解；
（2）利用长方形减去周围三个小直角三角形的面积即可求解；
（3）①根据，两点坐标即可求解；
②根据，，，列出方程即可求解．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，
∴点到轴的距离为1，
故答案为：1；
（2）的面积为；
（3）①∵，，
∴，
故答案为：；
②∵，，，
∴，即，
∴或，
∴点的坐标为或．
题型07 建立适当的平面直角坐标系并写出点的坐标
【典例7】如图是学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．
(1)根据所给条件建立适当的平面直角坐标系，则食堂的位置是___________，图书馆的位置是___________；
(2)已知教学楼的位置是，若1个单位长度代表30m，则宿舍楼到教学楼的实际距离是___________．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】用有序数对表示位置、写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、坐标与图形综合
【分析】此题主要考查了如何在直角坐标系中根据已知点确定其他点的位置，以及利用两点间的距离公式结合单位长度进行实际距离的计算，正确得出原点的位置是解题关键．
（1）直接利用旗杆的位置是和实验室的位置，建立直角坐标系的位置进而得出答案；
（2）利用（1）中原点位置，宿舍楼和教学楼的位置即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：食堂、图书馆的位置；
故答案为：，．
（2）如图所示：宿舍楼的位置是，教学楼的位置是，1个单位长度代表．
宿舍楼与教学楼间的实际距离为，
故答案为：．
【变式1】如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分别是，．解答下列问题：
(1)请在示意图中建立平面直角坐标系；
(2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远．
【答案】(1)见解析
(2)客运中心离坐标原点更远，理由见解析
【知识点】坐标与图形、勾股定理与网格问题
【分析】本题考查了平面直角坐标系在实际生活中的应用以及基础的计算能力，找到原点是解题的关键．
（1）根据县政府和四川省武胜中学校的坐标确定出原点的位置，建立平面直角坐标系即可；
（2）根据各地点在坐标中的位置，判断出离原点最近的点和最远的点．
【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示；
（2）解：沿口古镇的坐标为，客运中心的坐标为，
∴沿口古镇到坐标原点的距离为，
客运中心到坐标原点的距离为．
∴，
∴客运中心离坐标原点更远．
【变式2】如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．
(1)根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系；
(2)用坐标表示位置：食堂________，图书馆________；
(3)已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置；
(4)如果1个单位长度表示，那么宿舍楼到教学楼的实际距离为________m．
【答案】(1)见解析
(2)；
(3)见解析
(4)240
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置
【分析】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，写出直角坐标系中点的位置，熟练掌握实际问题中用坐标表示位置是解题的关键．
（1）根据旗杆和实验室的坐标，即可建立平面直角坐标系；
（2）根据用坐标表示平面直角坐标系中的点，即得答案；
（3）根据办公室和教学楼的坐标，即可在图中找出它们的位置；
（4）由图可知，宿舍楼到教学楼相距8个单位，即可列式计算，求得答案．
【详解】（1）解：建立的平面直角坐标系如图所示；
（2）解：食堂的坐标为，图书馆的坐标为；
故答案为：；；
（3）解：办公楼和教学楼的位置如图所示；
（4）解：，
宿舍楼到教学楼的实际距离为．
故答案为：240．
【变式3】某市的局部区域示意图如图所示，其中每个小正方形的边长均为1个单位长度．
(1)请以广场为原点，以正东方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系；
(2)在（1）的前提下，
①写出博物馆的坐标；
②若公园的坐标为，请在图中标出公园的位置．
(3)若超市与图书馆所在的直线为，大剧院到直线的距离是多少个单位长度？
【答案】(1)见解析
(2)①博物馆的坐标为，②见解析
(3)大剧院到直线的距离是4个单位长度
【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、点到直线的距离、坐标与图形综合
【分析】本题主要考查了直角坐标系，直角坐标系的各个象限内的点的坐标特征及点到直线的距离，正确理解每个知识点是解题的关键．
（1）根据题目要求建立直角坐标系即可；
（2）根据直角坐标系中象限内的点的坐标特征回答问题①②即可．第一象限，第二象限，第三象限，第四象限；
（３）根据点到直线的距离定义回答即可．
【详解】（1）解：如图建立直角坐标系，
（2）①博物馆在第四象限，
博物馆的坐标为；
②公园的坐标为，
公园在第三象限，如图所示；
（3）如图，超市与图书馆所在的直线为，
大剧院到直线的距离是4个单位长度
题型08 与平面直角坐标系性质有关的新定义型问题
【典例8】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴，y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”．
(1)点的“长距”为______；
(2)若点是“完美点”，求a的值；
(3)若点的长距为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，试说明：点D是“完美点”．
【答案】(1)5
(2)或
(3)见解析
【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系，点到坐标轴的距离，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”．
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，
∴点A的“长距”为5．
故答案为：5．
（2）解：点是“完美点”，
，
或，
解得：或；
（3）解：点的长距为4，且点在第二象限内，
，解得，
，
点的坐标为，
点到轴、轴的距离都是5，
是“完美点”．
【变式1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“完美点”．
(1)点的“长距”为_____；
(2)若点是“完美点”，求的值；
(3)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，试说明：点是“完美点”．
【答案】(1)5
(2)或
(3)见解析
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”．
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得点到x轴的距离为5，到y轴的距离为3，
∴点A的“长距”为5．
故答案为：5；
（2）解：点是“完美点”，
，
或，
解得：或；
（3）解：点的长距为4，且点在第二象限内，
，解得，
，
点的坐标为，
点到轴、轴的距离都是5，
是“完美点”．
【变式2】在平面直角坐标系中，对于点，若点Q的坐标为，其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”，例如：点的“3级关联点”为，即，
(1)已知点的“2级关联点”是点B，求点B的坐标；
(2)已知点的“a级关联点”为，求的值；
(3)已知点的“级关联点”N位于坐标轴上，请直接写出点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、写出直角坐标系中点的坐标、已知点所在的象限求参数
【分析】本题考查点的坐标，“关联点”的定义，列方程计算是解题的关键
（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；
（2）根据关联点的定义，得到，，求出a，b的值代入计算解题；
（3）根据关联点的定义得到点N，然后分为点N在x轴和y轴上计算即可．
【详解】（1）解：点的“2级关联点”是，
即点B的坐标为；
（2）解：点的“a级关联点”为，
则，，
解得，，
∴；
（3）解：点的“级关联点”为，即N，
当点N在x轴上时，，解得，这是点N，
当点N在y轴上时，，解得，这是点N，
综上所述，点N的坐标为或．
【变式3】在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“优距”，较小值称为点P的“劣距”，如果点P到x轴、y轴的距离相等，那么我们称点P为“等距点”．
(1)点的“劣距”为________，这个距离是点A到________（填x或y）轴的距离；
(2)若点是“等距点”，求a的值；
(3)若点的“优距”为4，且点C在第二象限内，点D的坐标为，判断点D是否为“等距点”，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)或
(3)点D是“等距点”，理由见解析
【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于“新定义”类型题目，解题的关键是读懂题目里的定义．
（1）根据“劣距”的定义解答即可；
（2）根据“等距点”的定义解答即可；
（3）由“优距”的定义求出值，然后根据“等距点”的定义判断即可．
【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为，到轴的距离为，
点的“劣距”为，这个距离是点A到轴的距离，
故答案为：，；
（2）点是“等距点”，
，
或，
解得或；
（3）点D是“等距点”．
理由如下：
点的“优距”为4，且点C在第二象限内，
，解得，
，，
点D的坐标为，
点D到x轴、y轴的距离都是3，
点D是“等距点”．

一、单选题
1．点所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】本题考查了点的坐标所在的象限．x轴和y轴把坐标平面分成四个部分，每个部分称为象限，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限，各象限横纵坐标的符号为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．根据点的坐标所在的象限的特征，即可判断答案．
【详解】解：点所在象限为第二象限．
故选：B．
2．根据下列表述，能确定位置的是（ ）
A．航海东路B．大卫城负二层停车场
C．奥斯卡影城3号厅2排D．东经，北纬
【答案】D
【分析】本题考查了坐标确定位置，根据坐标的定义，确定位置需要两个数据，逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、航海东路，不能确定具体位置，故该选项不符合题意；
B、大卫城负二层停车场，不能确定具体位置，故该选项不符合题意；
C、奥斯卡影城3号厅2排，不能确定具体位置，故该选项不符合题意；
D、东经，北纬，能确定具体位置，故该选项符合题意；
故选：D．
3．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点，“马”位于点，则“兵”位于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了用坐标表示点的位置，建立正确的平面直角坐标系是解题的关键．
按照已知点的坐标建立平面直角坐标系，即可得到答案．
【详解】解：根据题意建立平面直角坐标系如下：
∴“兵”位于．
故选：C．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．若，则点一定在第二、四象限的角平分线上
B．点到轴的距离是2
C．若中，则点在轴上
D．点可能在第二象限
【答案】C
【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的长度对各选项分析判断即可得解．
本题考查点坐标，解题的关键是掌握点的坐标的定义和所在象限的判断方法．
【详解】解：A、若，则x、y互为相反数，点一定在第二、四象限的角平分线上，说法正确，故此选项不符合题意；
B、点到y轴的距离是2，说法正确，故此选项不符合题意；
C、若点中，则P点在x轴或y轴上，说法不正确，故此选项符合题意；
D、因为，，所以点可能在x轴上，可能在y轴上，可能在第二象限，说法正确，故此选项不符合题意．
故选：C．
5．在平面直角坐标系中，点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点，则的值为（ ）
A．1B．C．5D．
【答案】B
【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加计算即可．
【详解】解：点向右平移m个单位长度，向上平移n个单位长度得到点，
，
，
．
故选：B．
6．若点在坐标轴上，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【分析】本题考查了点的坐标，分两种情况进行计算是解题的关键，分点A在x轴上与y轴上两种情况进行讨论即可．
【详解】解：分两种情况：
当点在x轴上时，，
解得：，
∴点A的坐标为或；
当点在y轴上时，，
解得：，
∴点A的坐标为；
综上所述：点A的坐标为或，
故选：C．
二、填空题
7．平面直角坐标系中，点在第 象限．
【答案】三
【分析】本题考查点所在的象限，解答的关键是熟知点所在象限的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．据此判断可得答案．
【详解】解：∵，，
∴平面直角坐标系中，点在第三象限，
故答案为：三．
8．已知点在第二象限，则点在第 象限．
【答案】三
【分析】此题主要考查点的坐标，正确把握各象限内点的坐标符号是解题关键．
直接利用第二象限点的坐标特点得出的符号，进而得出答案．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴点在第三象限．
故答案为：三．
9．在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理．根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵点到轴的距离为2，到轴的距离为，
∴点到原点的距离是，
故答案为：．
10．以水平数轴的原点为圆心，过正半轴上的每一个刻度点画同心圆，将逆时针依次旋转得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点的坐标分别表示为，则点的坐标表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查特殊坐标确定位置，读懂题意，理解题中“圆”坐标系是解决问题的关键．数形结合，由点的坐标分别表示为，横坐标表示离圆心的半径，纵坐标表示所在的射线上对应的角度，按照这个规则写出点的坐标即可得到答案．
【详解】解：如图所示，点在第圈、在的射线上，则点的坐标表示为，
故答案为：．
11．已知平面直角坐标系中有两点、，且轴时，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知平行于轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．根据平行于轴的直线上点的坐标特征进行计算即可．
【详解】解：由题知，因为点、，且轴，
所以，
解得．
故答案为：．
12．若点，点，点P在y轴上，且三角形的面积为4，则点P的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．设，利用三角形的面积公式构建绝对值方程求出即可．
【详解】解：如图，设，
由题意：，
或，
或，
故答案为：或．
三、解答题
13．已知点．
(1)若点P在轴上，求点P的坐标；
(2)若点，轴，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查x轴上和平行于y轴上点坐标的特征，根据此特征确定点的横坐标或纵坐标是解答此题的关键．
（1）根据x轴上点的纵坐标为，得，求m值即可得P点坐标；
（2）根据题意直线，可得P、Q的横坐标均为，由此得，确定m值可得P点的横坐标，进而计算长．
【详解】（1）解：点在轴上，
，
解得，
∴，
；
（2）解：轴，
，
，
，
．
14．如下图，一个小正方形网格的边长表示．A同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走就到达学校．
(1)以学校为坐标原点，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立平面直角坐标系．
(2)若以为单位长度，请据图写出B同学家的坐标：________．
(3)在你所建的平面直角坐标系中，如果C同学家的坐标为，请你在图中描出表示C同学家的位置．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了坐标确定位置：平面内的点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．
（1）由于同学上学时从家中出发，先向东走，再向北走就到达学校，则可确定点位置，然后画出直角坐标系；
（2）利用第一象限点的坐标特征写出点坐标；
（3）根据坐标的意义描出点．
【详解】（1）解：以学校为坐标原点，向东为轴正方向，向北为轴正方向，建立平面直角坐标系如图所示．
（2）解：同学家的坐标是，
故答案为：；
（3）解：∵同学家的坐标为，
∴C同学家在平面直角坐标系中如图所示．
15．如图，在的方格（每小格边长为1）内有1只甲虫，它爬行的规律是先左右，再上下．规定：向右与向上为正，向左与向下为负．从点到点的爬行路线记为，从点到点的爬行路线记为，其中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息．
(1)填空：（（__________，________），_______（，________）．
(2)若甲虫从点开始，爬行路线依次为，，，最终到达点处．请在图中标出甲虫的爬行路线示意图及最终点P的位置．
【答案】(1)，，D，
(2)见解析
【分析】（1）根据方格中两点的位置关系，确定左右和上下移动的格数，从而得到相应的表示数.
（2）根据给定的一系列数，在方格中描出爬行路线并确定最终位置..
【详解】（1）解：：先向右移动3个单位，所以左右方向的数是+3，
再向下移动2个单位，所以上下方向的数是
：先向右移动1个单位，所以左右方向的数是+1
再向下移动个单位，所以上下方向的数是
故答案为：，，D，.
（2）解：甲虫从点开始，第一个爬行路线为：先向右1个单位，再向上3个单位；
接着(−1,+1)：先向左1个单位，再向上1个单位；
然后(+3,−5)：先向右移动3个单位，再向下移动5个单位；
最后：先向左4个单位，再向上2个单位，从而确定点P的位置.
16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为．
(1)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标；
(2)将点P先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点M，若点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，求m的值．
【答案】(1)点P的坐标为
(2)
【分析】（1）因为点P在过点且与y轴平行的直线上，所以A、P两点的横坐标相同，令P点横坐标为，解得m值并代入纵坐标的代数式中，求值即可得到答案；
（2）根据题意用含m的代数式表示点M的坐标，根据点M的位置特征，解得m的值并代入点M的坐标中，即可得到答案．
本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．也考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，平行于y轴的直线上点的坐标特征．
【详解】（1）解：∵P点在过点且与y轴平行的直线上，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为；
（2）由题意知，点M的坐标为，即，
∵点M在第三象限，且点M到y轴的距离为7，
∴，
解得．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知，，三点，其中，，满足关系式：．
(1)求，，的值；
(2)如果在第二象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形．
（1）利用绝对值和算术平方根的非负性求解即可；
（2）利用三角形的面积公式列式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，，
∴，，；
（2）解：∵，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵点的坐标为，
∴四边形的面积
．
18．已知点，根据下列条件求点P的坐标．
(1)点P在x轴上；
(2)点P的纵坐标比横坐标大5；
(3)在（2）的条件下，轴，且，请直接写出点Q坐标；
(4)点P到x轴的距离为1．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标与图形的性质特点，明确平面直角坐标系中点的坐标特点是解题的关键．
（1）根据轴上点的纵坐标为0，即可求解；
（2）根据点P的纵坐标比横坐标大5得到一元一次方程，再解方程即可；
（3）根据平行于轴的直线上的点横坐标相同，且平行于轴的直线上两点之间距离公式求解即可；
（4）根据点到轴的距离为纵坐标的绝对值求解即可．
【详解】（1）解：∵点P在x轴上，
，
，
；
（2）解：∵点P的纵坐标比横坐标大5
，
解得
∴，
，
（3）解：，直线轴，
∴或，
或；
（4）解：∵点P到x轴的距离为1，
，
或
或，
或
或
19．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点，．
(1)若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为_________．
(2)若点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点，点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或
【分析】本题考查新定义、点的平移等知识，熟记点的平移，理解“阶派生点”定义是解决问题的关键．
（1）由“阶派生点”的定义，代值求解即可得到答案；
（2）由点的平移得到点的坐标，再由“阶派生点”定义得到的坐标为，分类讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶派生点”（为常数，且），
若点的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为，即，
故答案为：；
（2）解：点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到了点，
点的坐标为．
，
点的“阶派生点”的坐标为．
分两种情况讨论：
①当点在轴上时，，
解得，
则，
点的坐标为．
②当点在轴上时，，
解得，
则，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或．
20．如图1，在平面直角坐标系中，，，且满足，过C作轴于B．
(1) ， （直接写出答案）；
(2)点P在x轴上，若三角形和三角形的面积相等，求出P点的坐标；
(3)如图2，若过B作交y轴于D，且，分别平分，，求的度数．
【答案】(1)，4
(2)或
(3)
【分析】本题是三角形的综合题，考查了坐标与图形性质，非负数的性质，三角形的面积，平行线的性质，角平分线的定义．解题的关键是掌握相关性质，利用数形结合的思想．
（1）根据非负数的性质得，，解得，即可；
（2）设P的坐标为，根据三角形的面积公式计算列式计算即可；
（3）过点E作，根据角平分线的定义、平行线的性质证明结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
解得，，
故答案为：，4；
（2）解：设P的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵轴于B．
∴，
∴，，
∴的面积为，
∴，
∴，解得，
∴点P的坐标为或；
（3）解：过点E作，
∵、平分、，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
教学目标
1. 能运用有序数对、方向和距离确定物体位置，理解其实际应用价值。
2. 掌握平面直角坐标系的构成，会在坐标系中表示点及由点写坐标。
3. 体会数形结合思想，发展空间观念与应用数学解决问题的能力。
教学重难点
1.重点
（1）用有序数对、方向和距离确定位置的方法及应用。
（2）平面直角坐标系的基本概念，点与坐标的对应关系。
2.难点
（1）灵活选择合适方式确定位置，理解不同方式的适用场景。
（2） 理解平面直角坐标系中点的坐标含义，突破数形转化的抽象性。