第三章 位置与坐标 - 初中数学八年级上册 考点梳理+题型强化练习（北师大版2024）

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第三章 位置与坐标 【知识点01】平面直角坐标系1.有序数对有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对. 2.坐标数轴上的点与实数（包括有理数与无理数）一一对应，数轴上的每一个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标.3.平面直角坐标系①在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.②水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴为y轴或纵轴，取向上方向为正方向；③两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点(坐标轴上的点不属于任何象限，原点既在x轴上，又在y轴上). 4.点的坐标有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示，a点对应x轴的数值为横坐标，b点对应y轴的数值为纵坐标，有序数对就叫做点A的坐标，记作（a,b）. 书写时先横后纵再括号，中间隔开用逗号.5.坐标平面图坐标平面图是由两条坐标轴和四个象限构成的，也可以说坐标平面内的点可以分为六个区域：x轴上，y轴上，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限.在这六个区域中，除x轴与y轴的一个公共点（原点）之外，其他区域之间都没有公共点. 6.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一对有序实数（x，y）（即点M的坐标）的坐标和它对应；反过来，对于任意一对有序实数（x，y）在坐标平面内都有唯一的一点M，即坐标为(x，y)的点和它对应，也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.7.象限平面直角坐标系把坐标平面分成四个象限，从右上部分开始，按逆时针方向分别叫第一象限(或第Ⅰ象限)、第二象限（或第Ⅱ象限）、第三象限（第Ⅲ象限）和第四象限（或第Ⅳ象限）. 注：ⅰ、坐标轴（x轴、y轴）上的点不属于任何一个象限.ⅱ、平面直角坐标系的原点发生改变，则点的坐标相应发生改变；坐标轴的单位长度发生改变，点的坐标也相应发生改变.8.坐标平面内点的位置特点①坐标原点的坐标为（0，0）；②第一象限内的点，x、y同号，均为正； ③第二象限内的点，x、y异号，x为负，y为正； ④第三象限内的点，x、y同号，均为负； ⑤第四象限内的点，x、y异号，x为正，y为负； ⑥横轴（x轴）上的点，纵坐标为0，即（x，0），所以，横轴也可写作：y=0 （表示一条直线） ⑦纵轴（y轴）上的点，横坐标为0，即（0，y）,所以，纵横也可写作：x=0 （表示一条直线）9.点到坐标轴的距离坐标平面内的点的横坐标的绝对值表示这点到纵轴（y轴）的距离，而纵坐标的绝对值表示这点到横轴（x轴）的距离.注: ①已知点的坐标求距离，只有一个结果，但已知距离求坐标，则因为点的坐标有正有负，可能有多个解的情况，应注意不要丢解.②坐标平面内任意两点A（x₁，y₁）、B(x₂，y₂)之间的距离公式为：d = 10.坐标平面内对称点坐标的特点 ①一个点A（a,b）关于x轴对称的点的坐标为A＇（a,-b）,特点为：x不变，y相反；②一个点A（a,b）关于y轴对称的点的坐标为A＇（-a,b）,特点为：y不变，x相反； ③一个点A（a,b）关于原点对称的点的坐标为A＇（-a,-b），特点为：x、y均相反.11.平行于坐标轴的直线的表示 ①平行于横轴（x轴）的直线上的任意一点，其横坐标不同，纵坐标均相等，所以，可表示为：y=a（a为纵坐标）的形式，a的绝对值表示这条直线到x轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点横坐标之差的绝对值； ②平行于纵轴（y轴）的直线上的任意一点，其纵坐标不同，横坐标均相等，所以，可表示为：x=b（b为横坐标）的形式，b的绝对值表示这条直线到y轴的距离，直线上两点之间的距离等于这两点纵坐标之差的绝对值.12.象限角平分线的特点①第一、三象限的角平分线可表示为y=x的形式，即角平分线上的点的纵坐标与横坐标相等（同号）②第二、四象限的角平分线可表示为y=-x的形式，即角平分线的点的纵坐标与横坐标互为相反数(异号)【知识点02】轴对称与坐标变化1.关于坐标轴对称的点的坐标关系2.坐标方法的简单应用 ①已知三角形的顶点坐标求三角形的面积将坐标平面上的三角形的面积转化为几个图形的面积的组合（相加）或分解（相减），即将要求的三角形面积转化为一个大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差；②已知多边形各顶点坐标求多边形的面积 将坐标平面上的多边形的面积分割成几个规则的图形组合的面积之和，或转化为一个更大的多边形（例如矩形或梯形）与一个或几个较小的三角形面积之差.题型01 定位法的应用【典例1】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）A地在地球上的位置如图所示，则A地的位置是（    ）A．东经，北纬B．东经，北纬C．东经，北纬D．东经，北纬【答案】D【分析】本题考查了写出图中点的位置，根据图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：由图可得，A地的位置是东经，北纬，故选：D．【变式1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）江西省丰城市是干将、莫邪宝剑藏地，又名“剑邑”，以下能准确表示丰城市地理位置的是（   ）A．东接抚州市B．北纬C．距离南昌60公里处D．东经，北纬【答案】D【分析】此题主要考查了确定地理位置，解答此题的关键是熟知地理上关于某点的表示方法．根据在地理上常用经纬度来表示某个点的位置，既有经度，又有纬度进行求解即可．【详解】解：根据地理上表示某个点的位置的方法可知选项D符合条件．故选：D．【变式2】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一艘船在雾中航行，某时刻雷达屏幕上出现了A，B，C三个目标．图中中央位置为这艘船的位置，目标相对于船的位置表示方法为．其中，表示目标与船的距离，表示以正东方向开始逆时针旋转的角度．例如，目标A，B相对于船的位置分别表示为，．用这种方法表示目标C相对于船的位置，其中正确的是（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了有序数对表示位置，数形结合是解题的关键．按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解．【详解】解：∵中，其中，表示目标与船的距离，表示以正东方向开始逆时针旋转的角度．∴用这种方法表示目标C的位置为．故选：B．【变式3】（24-25七年级下·湖南湘西·期末）2025年央视春晚，宇树科技的人形机器人在节目《秧》中，它们将中国传统秧歌的韵味与现代机器人技术巧妙融合，呈现出令人震撼的视觉效果．如果用表示机器人从起点向右移动、向前移动，那么机器人从起点向左移动、向前移动可以表示是（　　）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查正负数的意义，用有序数对表示位置，根据向右为正，则向左为负，再根据表示方法进行表示即可．【详解】解：∵表示机器人从起点向右移动、向前移动，∴向左移动、向前移动可以表示为；故选D．题型02 判断点所在的象限【典例2】（24-25七年级下·广西河池·期末）下列坐标中，在第四象限的点的坐标是（   ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握各象限内点的坐标特征．利用平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征，即横坐标大于0，纵坐标小于0，进行判断即可．【详解】解：平面直角坐标系中第四象限内点的坐标特征为：横坐标大于0，纵坐标小于0，符合该特征的是B选项，故选：B．【变式1】（23-24七年级下·浙江台州·期末）若，则点在（　　）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【答案】B【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限；根据，得出，再进行判断即可．【详解】解：，，∴点在第三象限，故选：B．【变式2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若，则在平面直角坐标系中，点在第（    ）象限．A．一B．二C．三D．四【答案】B【分析】本题考查了二次根式的性质，各象限点的坐标的特点，根据二次根式的性质求得的值是解题的关键．先根据二次根式的性质求出的值，然后再根据坐标的特点判定所在象限即可．【详解】解：，，点的横坐标，纵坐标，在平面直角坐标系中，横坐标为负、纵坐标为正的点位于第二象限，故选：B．【变式3】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）若点在第三象限，则点在（   ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】本题考查判断点所在的象限，根据第三象限点的坐标特征确定a、b的符号，再分析点B的坐标符号即可判断所在象限．【详解】解：点在第三象限，横坐标，纵坐标，，点在第四象限．故选D．题型03 已知点所在的象限求参数【典例3】（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）已知点在轴上，则 ．【答案】2【分析】本题考查了点在坐标轴上的特点，根据题意得到，由此即可求解．【详解】解：点在轴上，∴，解得，，故答案为：2 ．【变式1】（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）已知点的坐标为，且点在轴上，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查的是点的坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据轴上点的纵坐标等于得出关于的方程，求出的值即可．【详解】解：点的坐标为，且点在轴上，，解得，故答案为：．【变式2】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）若第四象限内的点满足，，则点P的坐标是 ．【答案】【分析】本题考查了绝对值，平方根，象限中的点坐标．解题的关键在于明确的取值范围．由在第四象限可知，，计算，求出符合要求的解即可．【详解】解：∵在第四象限∴，∵∴或（舍去）∵∴（舍去）或∴点坐标为故答案为：．【变式3】（24-25七年级下·广东云浮·期末）在平面直角坐标系中，P为第二象限内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，则点P的坐标为 ．【答案】【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，第二象限内的点的坐标特点，坐标系中，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，再结合第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正即可得到答案．【详解】解：∵点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，∴点P的横坐标的绝对值为5，纵坐标的绝对值为2，∵P为第二象限内一点，∴点P的横坐标为负，纵坐标为正，∴点P的坐标为，故答案为：．题型04 求点到坐标轴的距离【典例4】（24-25七年级下·云南玉溪·期末）已知点坐标为，点到轴距离为 ．【答案】5【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，解题的关键是：点到轴的距离等于横坐标的绝对值，到轴的距离等于纵坐标的绝对值．点到轴的距离等于横坐标的绝对值．【详解】解：点到轴的距离，故答案为：5．【变式1】（24-25七年级下·重庆梁平·期末）在平面直角坐标系内，点到x轴的距离是 ．【答案】【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，据此求解即可．【详解】解：在平面直角坐标系内，点到x轴的距离是，故答案为：．【变式2】（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）P点横坐标是，且到x轴的距离为5，则P点的坐标是 ．【答案】或【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．根据点P到轴的距离为5，可得点P的纵坐标是5或，即可求解．【详解】解：∵点P到轴的距离为5，∴点P的纵坐标是5或，∵点P的横坐标是，∴点 P的坐标为或故答案为：或．【变式3】（24-25七年级下·重庆垫江·期末）已知点，且点到两坐标轴的距离相等，则点的坐标为 【答案】或【分析】本题考查了点的坐标，根据点到两坐标轴的距离相等，列出绝对值方程，解方程即可得到答案．【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等，且点，∴，∴或，解得：或，∴点A的坐标为：或；故答案为：或．题型05 点在平面直角坐标系中的规律探究问题【典例5】（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动下去，点A第次跳动至的坐标 ．【答案】【分析】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是从一般到特殊探究规律，利用规律解决问题，仔细观察点的坐标变化规律，利用规律求解即可．【详解】解：观察点的跳动规律，奇数次跳动时，横坐标是为跳动次数），纵坐标是．当时，横坐标为，纵坐标为，所以的坐标为．故答案为：．【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ，点的坐标为 ．【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每个点为一个循环依次循环，用除以，根据商和余数的情况确定点的坐标即可．【详解】解：∵的坐标为，∴，，，，，以此类推，每4个点为一个循环依次循环，∵，∴点的坐标与的坐标相同，为，故答案为：．【变式2】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，一个动点 P 在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次从运动到，第5次从运动到……按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点 P 的坐标是 ． 【答案】【分析】先确定横坐标的规律，等于序号数；再确定纵坐标的规律，第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照循环出现，解答即可．本题考查了坐标系中坐标的规律，熟练掌握规律是解题的关键．【详解】解：先确定横坐标的规律，第一次是1，第二次是2，第三次是3，第四次是4，第五次是5，第六次是6，第七次是7，第八次是8，故第n次是n；根据题意，得纵坐标变化为：第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照循环出现，偶数为0，由，故第2025次运动后，动点的坐标是，故答案为：．【变式3】（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）在平面直角坐标系中，如图把一个点从原点开始，先向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把先向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点；把先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到点；把先向下平移4个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到点，…，按此规律依次进行下去，则点的坐标为 ．【答案】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化-平移，规律型问题，解题的关键是学会探究规律，属于中考常考题型．先根据平移规律得到第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位长度得到下一个点，然后推出每四次坐标变换为一个循环，得到点的坐标为，由此求解即可．【详解】解：把一个点从原点开始向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到点；把点向上平移2个单位，再向左平移2个单位，得到点；把点向下平移3个单位，再向左平移3个单位，得到点；把点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，得到点，第n次变换时，相当于把点的坐标向右或向左平移n个单位长度，再向下或向上平移n个单位得到下一个点，到是向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，到是向左2个单位长度，向上平移2个单位长度，到是向左平移3个单位长度，向下平移3个单位长度，到是向右平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，到是向右平移5个单位长度，向上平移5个单位长度，可以看作每四次坐标变换为一个循环，点的坐标为，，点的坐标为，点的坐标为．故答案为：．题型06 根据已知点的坐标建立平面直角坐标系【典例6】（23-24八年级下·四川广安·期末）如图是武胜县部分地点的示意图，建立平面直角坐标系后，县政府和四川省武胜中学校的坐标分别是，．解答下列问题：(1)请在示意图中建立平面直角坐标系；(2)通过计算说明在沿口古镇和客运中心这两个地点中，哪个地点离坐标原点更远．【答案】(1)见解析(2)客运中心离坐标原点更远，理由见解析【分析】本题考查了平面直角坐标系在实际生活中的应用以及基础的计算能力，找到原点是解题的关键．（1）根据县政府和四川省武胜中学校的坐标确定出原点的位置，建立平面直角坐标系即可；（2）根据各地点在坐标中的位置，判断出离原点最近的点和最远的点．【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示；（2）解：沿口古镇的坐标为，客运中心的坐标为，∴沿口古镇到坐标原点的距离为，客运中心到坐标原点的距离为．∴，∴客运中心离坐标原点更远．【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图是某单位的平面示意图，已知大门的坐标为，花坛的坐标为．(1)根据上述条件建立平面直角坐标系；(2)建筑物A的坐标为，请在图中标出点A的位置；(3)建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向，请在图中标出点B的位置并写出点B的坐标．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)图见解析，【分析】本题主要考查了建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中找出点的位置，根据点的位置写出点的坐标，解题的关键是数形结合，建立正确的平面直角坐标系．（1）根据大门的坐标为，花坛的坐标为，找出坐标原点，然后建立平面直角坐标系即可；（2）在平面直角坐标系中根据点A的坐标找出建筑物A的位置即可；（3）根据建筑物B在大门北偏东的方向，并且B在花坛的正北方向处找出点B的位置，得出点B的坐标即可．【详解】（1）解：平面直角坐标系如图所示；（2）解：点A如图所示；（3）解：点B如图所示，点．【变式2】（24-25七年级下·青海玉树·期末）如图是某植物园的平面示意图（图中每个小正方形边长均为），小兰和小佳分别描述了海棠园．小兰：“它的坐标是”小佳：“它在牡丹亭的西南方向约处．”(1)请以正东、正北方向为x轴、y轴正方向在图中建立适当的平面直角坐标系，并写出丁香园和忍冬园的坐标；(2)用方向和距离描述牡丹亭相对于海棠园的位置．【答案】(1)见解析，丁香园的坐标、忍冬园的坐标(2)牡丹亭相对于海棠园的位置是牡丹亭在海棠园的东北方向，距离约为【分析】（1）根据海棠园坐标构造平面直角坐标系即可得到结论；（2）根据“海棠园在牡丹亭的西南方向约处”即可求解．本题主要考查坐标确定位置，平面直角坐标系，方向角，掌握平面直角坐标系的知识是解题的关键．【详解】（1）解：根据海棠园坐标建立的平面直角坐标如图所示：由图可知：丁香园的坐标、忍冬园的坐标；（2）由图可知：牡丹亭相对于海棠园的位置是牡丹亭在海棠园的东北方向，距离约为【变式3】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）张明同学在做家庭暑期旅游攻略时，绘制了临夏州六个旅游景点的示意图．(1)在如图所示的正方形网格中建立平面直角坐标系，使得东公馆、红园的位置分别表示为，．(2)根据（）中建立的平面直角坐标系，写出松鸣岩和炳灵寺石窟的坐标．(3)已知刘家峡水库坐标为，和政古动物化石博物馆的坐标为，请在所建的平面直角坐标系中标出，的位置．【答案】(1)见解析；(2)松鸣岩，炳灵寺石窟；(3)见解析．【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，解决本题的关键是根据网格中点的坐标建立坐标系．根据纵坐标为的点在轴上，横坐标为的点在纵坐标上，建立平面直角坐标系；根据松鸣岩和炳灵寺石窟在平面直角坐标系中的位置和网格写出坐标即可；根据点、的坐标在平面直角坐标系标出点、即可．【详解】（1）解：东馆公路的纵坐标为，东馆公路所在的水平线是轴，红园的横坐标为，红园所在的竖直方向的线是轴，建立平面直角坐标系如下图所示；（2）解：由图可知，松鸣岩的坐标为，炳灵寺石窟的坐标为；（3）解：点，点的位置如下图所示．题型07 平面直角坐标系的性质求解【典例7】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，已知点．(1)若点M在x轴上，求点M的坐标；(2)若点M在第三象限，且到y轴的距离为3，求点M的坐标．【答案】(1)点M的坐标为(2)点M的坐标为【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，点所在的象限．对于，根据x轴上的点纵坐标为0可得：，然后进行计算即可解答；对于，根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值以及第三象限点的坐标特征可得：，然后进行计算即可解答．【详解】（1）解：∵点M在x轴上，，解得：，点M的坐标为；（2）解：∵点M在第三象限，且到y轴的距离为3，∴，解得：，点M的坐标为.【变式1】（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知点，解答下列各题：(1)若点Q的坐标为，且直线轴，求出点P的坐标；(2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求出点P的坐标．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键．（1）根据平行于轴的直线的纵坐标相等，可得关于的方程，解得的值，再求得其纵坐标即可得出答案．（2）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到轴、轴的距离相等，可得关于的方程，解得的值，再代入要求的式子计算即可．【详解】（1）解：点的坐标为，直线轴，，，，∴点的坐标为；（2）解：∵点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，，，，则点的坐标为．【变式2】（24-25七年级下·四川南充·期末）已知点P的坐标为，试分别根据下列条件，求出点P的坐标．(1)点P在x轴上；(2)点P到y轴的距离为2；(3)点P在过点，且与x轴平行的直线上．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本题考查平面直角坐标系，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是理解题意，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特点．（1）根据点P在x轴上得出，求出即可得出答案；（2）点P到y轴距离为2，则，求出m的值即可．（3）根据轴，得出，求出，即可得出答案．【详解】（1）解：∵点在x轴上，∴，解得：，∴，∴点；（2）解：∵点P到y轴距离为2，∴，解得：或， ∴当时，；当时，=；∴或；（3）解：∵，且轴，∴，解得：，∴，∴点．【变式3】（24-25七年级上·吉林·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，点到轴、轴的距离相等时，称点为“角平分线点”．(1)点的“长距”为______；(2)若点的长距为4，且点在第二象限内，点的坐标为，请判断点是否为“角平分线点”，并说明理由．【答案】(1)5；(2)点是“角平分线点”．见解析【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“角平分线点”．（1）根据“长距”的定义解答即可；（2）先根据“长距”的定义求解得到，再据“角平分线点”的定义解答即可；【详解】（1）解：由题意得：点到轴、轴的距离的较大值称为点的“长距”，∵，∴点的“长距”为5，故答案为：5；（2）解：∵点的长距为4，且点在第二象限内，∴，解得，∴，∴点的坐标为，∴点到轴、轴的距离都是5，∴点是“角平分线点”．题型08 求点在平面直角坐标系中的轴对称坐标【典例8】（24-25八年级上·江西赣州·期末）点关于x轴对称的点的坐标是 ．【答案】【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内的轴对称变换，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标变化规律是解题的关键．利用关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标变为相反数，求解即可．【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是．故答案为：．【变式1】（24-25八年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于y轴对称，则的值为 ．【答案】【分析】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m，n的值，进而可得答案， 熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．【详解】解：∵点与点关于y轴对称，∴，∴，故答案为：．【变式2】（24-25七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，若点与点关于x轴对称，则 ．【答案】【分析】本题考查了关于x轴对称的两点的坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数．根据关于x轴对称的两点的坐标特征可求得a与b的值，从而求得结果的值．【详解】解：∵点点与点关于x轴对称，∴，，∴；故答案为：．【变式3】（24-25八年级上·青海西宁·期末）已知点和点关于轴对称，则的值是 ．【答案】【分析】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标特点，代数式求值，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可列式求出a、b，再代值计算即可得到答案．【详解】解：∵点和点关于轴对称，∴，∴，∴，故答案为；．题型09 平面直角坐标系中的轴对称作图【典例9】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，．(1)若点与点关于轴对称，则点的坐标为______；(2)在平面直角坐标系中画出；(3)的面积为______．【答案】(1)(2)见解析(3)2【分析】本题主要考查平面直角坐标系，关于y轴对称的点的特征等，数形结合是解题的关键．（1）关于y轴对称，根据“横坐标互为相反数，纵坐标相等”求解即可；（2）根据点的坐标在平面直角坐标系中找到相应位置，并依次连接即可；（3）直接利用三角形面积公式求解即可；【详解】（1）若点与点关于轴对称，，点的坐标为．故答案为：．（2）如图所示：（3）由图知，．故答案为：2．【变式1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，且、、．(1)在图中画出线段关于y轴对称的线段，并直接写出点的坐标为 ；(2)在（1）的基础上，直接写出的面积为 ；(3)在x轴上有一条长度是1的运动线段（点M在点N左边），使得最小，请画出点M．（保留必要的画图的痕迹）．【答案】(1)见解析，(2)5.5(3)见解析【分析】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及最短路线问题，画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形．（1）根据轴对称的性质，得到线段的端点关于y轴对称的点，再连接即可；根据点的位置即可得出点的坐标；（2）根据割补法即可得到的面积；（3）作点B关于x轴的对称点，作轴，使得，连接交x轴于一点，则该交点即为点M．【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求，点的坐标为；故答案为：；（2）解：的面积为；故答案为：；（3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，作轴，使得，连接交x轴于一点，则该交点即为点M，连接，由，，可得四边形为平行四边形，故，由轴对称的性质，可得，故（最短），而的长为定值，故此时最小．【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)在图中作出关于x轴的对称图形；(2)请直接写出点A、B、C关于y轴的对称点、、的坐标： ； ； ；(3)求的面积．【答案】(1)见解析(2)；；(3)4【分析】本题考查作图轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．（1）根据轴对称的性质作图即可．（2）关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，由此可得出答案．（3）利用割补法求三角形的面积即可．【详解】（1）解：如图，即为所求．（2）解：∵点、，关于y轴的对称点、、，∴，，．故答案为：；；．（3）解：的面积为．【变式3】（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为____________(3)求的面积；(4)已知点P为x轴上的一点，若时，则点P的坐标为_______．【答案】(1)见解析(2)(3)(4)或【分析】本题考查了点的坐标与轴对称变换，三角形的面积等知识点，熟练掌握点的坐标变换规律是解题的关键．（1）先根据点的坐标描出点A，B，C，再顺次连接即可；（2）根据点的坐标关于y轴对称的变换规律即可；（3）利用割补法求的面积；（4）设点，则，利用三角形的面积公式可得一个关于m的绝对值方程，解方程即可．【详解】（1）如图所示：（2）点D与点C关于y轴对称，，点D的坐标为．（3），．的面积等于11．（4）设，则，由得，解得或．点P的坐标为或．题型10 在平面直角坐标系中求图形的面积【典例10】（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）如图，过点作轴，作轴，垂足分别为，．为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且，满足．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路向终点运动．(1)求点的坐标．(2)在点的运动过程中，当三角形的面积是12时，求点的运动时间的值．(3)在点的运动过程中，，和之间有什么数量关系？请说明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由见解析【分析】本题考查了平行线的性质，非负数的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．（1）由非负数的性质求出，，则可得出答案；（2）由三角形面积可得出答案；（3）过点作于点．证出．同理，，得出．则可得出结论．【详解】（1）解：，满足，，，解得，，∵点的坐标为，点的坐标为，，，又轴，轴，点的坐标为；（2）解：三角形的面积是12，，即，解得，；（3），理由：如图，过点作于点．轴，，，．同理，，．，【点睛】．【变式1】（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的m，n满足，点C在x轴的负半轴上，且．(1)写出点A的坐标为___________；点B的坐标为___________；点C的坐标为___________；(2)已知点P的坐标为，连接，请用含t的式子来表示三角形的面积S；(3)在（2）的条件下，，点Q在线段上且，当三角形的面积等于三角形的面积时，求点P的坐标．【答案】(1)；；(2)(3)或【分析】本题主要考查了非负数的性质，坐标与图形，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键．（1）根据非负数的性质可得m，n的值，即可求解；（2）根据题意可得轴，然后分两种情况，结合三角形的面积公式解答即可；（3）设三角形边边上的高为h，结合三角形的面积公式，可得出，进而得到，由（2）得，根据，得到关于t的方程，即可求解．【详解】（1）解：∵，∴，解得：，∵点，∴点，∴，∵，∴，∴点；故答案为：；；；（2）解：，轴，①当时，如图，；②当时，如图，；综上所述，三角形的面积；（3）解：∵，，，，，设三角形边边上的高为h，则，即，，，，，，由（2）得，即，，，解得，或．【变式2】（24-25七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴交于，点是直线上且不与A、B两点重合的动点．(1)求三角形的面积；(2)如图1，点D、点E分别是线段、x轴负半轴上的动点，过E作，连接．若，请探究与之间的数量关系；（可用含x的代数式表示，并说明理由）(3)若三角形的面积不小于三角形的面积的2倍，求m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)且【分析】（1）根据，得，，根据求解即可；（2）过点D作，则，推出得，据此可得 ；（3）分三种情况：①当点C在第一象限时，②当点在第二象限时，③ 当点C在第四象限时，分别得到的长，然后利用列出不等式求解，即可得到结果．【详解】（1）解：∵，∴，，∴；（2）解：如图1所示，过点D作，则，∴，∴；（3）解：分三种情况：①当点C在第一象限时，作轴于点，则，如下图所示：∴，∴，若，则，解这个不等式得，又∵点在第一象限且不与、重合，则，∴；②当点在第二象限时，如下图所示，则，∴，∴，若，则，解这个不等式得，又∵点在第二象限且不与、重合，则，∴不存在点，使得；③ 当点C在第四象限时，则，∴，∴若，则，解这个不等式得，又∵点C在第四象限且不与A、B重合，则，∴；综上所述，若，的取值范围是且．【点睛】本题考查了坐标与图形，平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用特殊点解决问题．【变式3】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，点、点同时出发，点从点出发沿轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．(1)和位置关系是_______；(2)如图（1）当、分别在线段，上时，连接，，设此时点、点的运动时间为．①请分别用含t的式子表示和的面积；②若，求出点P的坐标；(3)在、的运动过程中，当时，请直接写出和的数量关系．【答案】(1)平行；(2)①；②；(3)或【分析】本题考查的是三角形综合题，涉及到坐标与图形性质、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握非负数的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键；（1）根据非负数的性质分别求出、，得到点、、的坐标，根据坐标与图形性质判断和位置关系；（2）①过点作于，设时间经过秒，，则，，，，，根据，，代入即可求解；②根据，由①得，求解得，即可求得、值，从而得出点坐标；（3）分点在点的上方、点在点的下方两种情况，根据平行线的性质解答即可．【详解】（1）解：，，，，，，，，．故答案为：；（2）解：①过点作于，设时间经过秒，，则，，，，，，，②，解得，，，，点的坐标为；（3）解：或．理由如下：①当点在点的上方时，过点作，如图2所示，，，，，，，即；②当点在点的下方时；过点作如图3所示，，，，，，，，即，综上所述，或． 一、单选题1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征．根据各象限内的点坐标的符号特征：在第三象限即可解答．【详解】解：，，点所在的象限是第三象限，故选：C．2．（24-25七年级下·河南三门峡·期末）根据下列表述，能确定某地点位置的是（   ）A．万达影院第2排B．黄河东路C．北偏东25°D．【答案】D【分析】本题主要考查了位置的表示方式，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据在平面内，要有两个有序数据才能清楚地表示出一个点的位置即可得出答案．【详解】A、仅给出排数，未说明具体座位号，无法确定唯一位置，不符合题意；B、仅给出道路名称，未说明门牌号或交叉路口，无法精确定位，不符合题意；C、仅给出方向，未提供距离，无法确定具体点不符合题意；D、经纬度（东经，北纬）是地理坐标的两个参数，可唯一对应地球上的一个点符合题意；故选：D．3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，将直角坐标系中点坐标为，点与点关于轴对称．则点的坐标是（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了根据点的坐标确定平面直角坐标系，关于x轴对称点的坐标特征，先由点A的坐标，画出平面直角坐标系，从而得到点B的坐标，再根据关于x轴对称点的坐标特征确定出点C的坐标即可．【详解】解：如图，根据点坐标为，建立直角坐标系，点与点关于轴对称，，故选：C4．（24-25七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点P在x轴上方，y轴左侧，到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度，则点P的坐标是（     ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查求点的坐标，根据描述，得到点P在第二象限，根据点到坐标轴的距离等于横纵坐标的绝对值，进行求解即可．【详解】解：∵点P在x轴上方，y轴左侧，∴点P在第二象限，∵点P到x轴的距离是3个单位长度，到y轴的距离是2个单位长度，∴，∴；故选：A．5．（24-25七年级下·甘肃定西·期末）如图，平面直角坐标系中有若干个横、纵坐标都是整数的点，其顺序按图中“”方向排列，即．根据这个规律，第2025个点的坐标为（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据规律得出从第二个点开始，每3个点为一组求解是解题的关键，也是本题的难点．从第二个点开始，每3个点为一组，第奇数组第一个点在y轴，第三个点在x轴，第二个点为相应的横坐表和纵坐标，第偶数组，第一个点在x轴，第三个点在y轴，第二个点为相应的横坐表和纵坐标，用，根据商的情况确定点的位置和坐标即可．【详解】解：∵，∴第2025个点是第675组的第二个点， ∴坐标为．故选A．二、填空题6．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）如图，棋盘中，若“帅”位于点，“相”位于点，则“炮”位于点 ．【答案】【分析】本题考查了写出平面直角坐标系中点的坐标，根据“帅”位于点，“相”位于点，建立平面直角坐标系，再根据平面直角坐标系即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：∵“帅”位于点，“相”位于点，∴建立平面直角坐标系如图所示：，∴“炮”位于点，故答案为：．7．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则点的坐标为 ．【答案】【分析】本题考查了点在坐标轴上的特点，根据点在轴上，纵坐标为，由此列式求解即可．【详解】解：已知点在轴上，∴，解得，，∴，∴，故答案为： ．8．（24-25七年级下·陕西·期末）已知点，，点A在x轴上，轴，点B到x轴的距离是4，且，则点B的坐标是 ．【答案】【分析】此题考查了坐标与图形的性质，正确掌握平面内点的坐标特点是解题的关键．直接利用x轴上点的坐标特点得出a的值，根据轴求出b的值，根据点B到x轴的距离是4求出m的值，进而可求出点B的坐标．【详解】解：∵点A在x轴上，∴，∴，∴，∵轴，∴，∵点B到x轴的距离是4，∴，∴，∵，∴，∴点B的坐标是，故答案为：.9．（24-25七年级下·湖北襄阳·期末）已知点，点A在轴上，且，求点A的坐标为 ．【答案】或【分析】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：根据题意，得，解得，∵点在轴上，∴点的坐标为或，故答案为：或．10．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知平面直角坐标系内不同的两点和到轴的距离相等，则的值为 ．【答案】1或【分析】考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：两点到y轴的距离相等的点的横坐标相等或互为相反数，根据题意则有，解出方程即可．【详解】解：点和到轴的距离相等，，解得，故答案为：1或．三、解答题11．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）某湿地公园是一处集自然风光和休闲娱乐于一体的国家4A级旅游景区，右图是该湿地公园的部分简图，在图中建立平面直角坐标系，使曲桥的坐标为，南北主题广场的坐标为．(1)画出平面直角坐标系；(2)分别写出：人工湖、垂钓池、景观长廊、莲花池的坐标．【答案】(1)画图见解析(2)人工湖：，垂钓地：，景观长廊：，莲花池：【分析】本题考查了建立平面直角坐标系，坐标，会根据已知坐标建立平面直角坐标系是解题的关键．（1）由曲桥的坐标为，南北主题广场的坐标为确定平面直角坐标系，即可求解；（2）根据人工湖、垂钓池、景观长廊、莲花池的位置写出坐标即可求解．【详解】（1）解：如图，；（2）解：由上图得：人工湖：，垂钓地：，景观长廊：，莲花池：．12．（25-26八年级上·全国·期末）如图，点A在射线上，．如果绕点O按逆时针方向旋转（）到，那么点的位置可以用表示．(1)按上述表示方法，若，，则点的位置可以表示为 ；(2)在（1）的条件下，点B的位置用表示，连接，．求证：．【答案】(1)(2)详见解析【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，新定义题目，旋转的性质，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）根据点的位置定义，即可得出答案；（2）画出图形，证明，即可由全等三角形的性质，得出结论．【详解】（1）解：由题意，得，∵，，∴，故答案为：；（2）证明：如图：∵，，∴，∴，∵，∴，∴．13．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，点、、．(1)若点与点关于轴对称，则点的坐标为___________；(2)在平面直角坐标系中画出，则的面积是________；(3)已知为轴上一点，若的面积为4，直接写出点的坐标．【答案】(1)(2)见解析；4(3)或【分析】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的面积．（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征求解； （2）根据点A、B、C的坐标描点即可得到；用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积；（3）设，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出t，从而得到P点坐标．【详解】（1）解：∵点D与点C关于y轴对称，而，∴点D的坐标为；故答案为：；（2）解：如图，即为所作；的面积；故答案为：4．（3）解：设，根据题意得：，解得：或，所以，点的坐标为或．14．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知点A的坐标为．(1)若点A在x轴上，求点A的坐标．(2)若点A在过点且与y轴平行的直线上，求点A的坐标．(3)若将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，求x的值．【答案】(1)点A的坐标为(2)点A的坐标为(3)或【分析】本题考查了平移的性质，平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面内点的坐标特征，平移的性质是解题的关键．（1）根据x轴上点的特征进行解答，即可得出答案；（2）根据点A在过点且与y轴平行的直线上，得到A，B两点的横坐标相同，求出x的值，则可得出答案；（3）由题意得出，解方程可得出答案．【详解】（1）∵点A在x轴上，∴∴，∴，∴点A的坐标为．（2）∵点A在过点且与y轴平行的直线上，∴，∴，∴，∴点A的坐标为（3）∵将点A沿与y轴平行的直线平移2个单位长度后，点A恰好落在x轴上，∴，∴或．15．（24-25七年级下·云南文山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，当点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速运动（点P不与点A重合），同时点从点出发沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．(1)和的位置关系是 ；(2)如图，当点在线段上运动，点在线段上运动时，连接，，使的面积是面积的3倍，求出点的坐标；(3)在点，的运动过程中，当（）时，请探究和的数量关系，并说明理由．【答案】(1)AOBC(2)P点的坐标为(3)当P在线段上，Q在线段上时，；当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时， ，理由见解析【分析】本题考查了坐标与图形的性质，一元一次方程的应用，平行线的判定与性质．（1）根据点B与点C的纵坐标相同即可判断；（2）设当P运动t秒时，得出求解即可；（3）分①当P在线段上，Q在线段上时和②当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时两种情况求解即可．【详解】（1）∵，，∴点B与点C的纵坐标相同，∴．（2）设当P运动t秒时          由题可得，   ∴   解得 ∴ ∴P点的坐标为（3）①当P在线段上，Q在线段上时，如图，过Q点作的平行线  ∵ ∴由（1）可得   ∴∴  ∴∵∴    ②当P在线段的延长线上，Q在线段的延长线上时， 如图，过Q点作的平行线∵ ∴  ∴由（1）可得∴∴   ∴∴教学目标1. 能结合生活情境用多种方式确定物体位置，理解平面内确定位置需两个数据，发展空间观念。2. 认识平面直角坐标系，掌握其相关概念，能在坐标系中由点写坐标、由坐标描点。3. 能建立适当坐标系描述物体位置，探究并掌握坐标变化与图形轴对称的关系，建立数形结合意识。教学重难点1.重点（1）平面直角坐标系的相关概念，以及在坐标系中进行点与坐标的互化操作。（2）掌握坐标变化与图形轴对称之间的对应规律，理解二者内在联系。2.难点（1）难以灵活根据实际问题需求，建立合适的平面直角坐标系来描述物体或图形位置。（2）对坐标变化引发图形轴对称变换的原理理解不透彻，难以灵活运用该规律解决问题。