数学九年级上册（2024）4. 一元二次方程根的判别式课文内容ppt课件

这是一份数学九年级上册（2024）4. 一元二次方程根的判别式课文内容ppt课件，共27页。PPT课件主要包含了有两个相等的实数根，没有实数根等内容，欢迎下载使用。
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 的求根公式是什么？
公式中哪个部分决定了方程根的情况？为什么？
问题：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
(1)x2－5x＋6＝0；(2)x2－4x＋4＝0；(3)x2＋2x＋3＝0.
我们在用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
当 b2 – 4ac ≥ 0时，直接开平方，得
也就是说，只有当一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的系数 a、b、c 满足条件 b2 – 4ac ≥ 0 时才有实数根.
因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况.
我们发现有如下三种情况：（1）当 b2 – 4ac > 0 时，方程 （✻）的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根：
（2）当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （✻）的右边是 0，因此方程有两个相等的实数根：
计算“情境引入”三个方程的 b2－4ac的值：
解：(1)Δ＝25－24＝1>0；
(2)Δ＝16－16＝0；
(3)Δ＝4－12＝－8 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
解 （1）原方程可变形为 3x2 – 5x + 2 = 0.
因为 Δ = (– 5)2 – 4×3×2 = 25 – 24 = 1 > 0，
所以方程有两个不相等的实数根.
（2）因为 Δ = _______________________，所以方程________________________.
（3）原方程可变形为_________________.因为 Δ =_____________________________，所以方程________________________________.
4y2 – y + 4 = 0
(– 1)2 – 4×4×4 = 1 – 64= – 63＜0
变例：求证：关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总有两个不相等的实数根．
∴关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总有两个不相等的实数根．
已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0.当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？当 k 取何值时，方程没有实数根？
解 因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k) = 16k + 9.
已知根的情况，利用根的判别式求参数的取值范围时，应注意什么？
遇到含参方程，首先要判断是否一定是一元二次方程．
如果二次项系数含参数，必须讨论参数是否为0.
仿例：若关于x的方程x2－4x＋m＝0不存在实数根，则m的取值范围是 ( )A．m＞4 B．m≥4 C．m≤4 D．m＜4
变例：若关于x的一元二次方程(k－1)x2－4x＋2＝0有两个相等实数根，则k的取值为 ( )A．k＝3 B．k＝1 C．k＝3且k≠1 D．k＝－3
1.不解方程，判断下列方程的根的情况:(1) 3x2＋5x =4; (2)2x－x2－2=0;(3)4(y2－y)＋1=0; (4)2(x＋1)2=5x.
解：(1)先化为一般形式: 3x2＋5x－ 4 =0，
这里a＝3， b＝5， c＝－4
∴Δ＝52－4×3×(－4) ＝25＋48 ＝ 73>0；
∴这个方程有两个不相等的实数根.
(2)先化为一般形式: x2－2x＋2 =0，
这里a＝1， b＝－2， c＝2
∴Δ＝(－2) 2－4×1×2 ＝4－8 ＝ －4＜0；
∴这个方程没有实数根.
(3)先化为一般形式: 4y2－4y＋1 =0，
这里a＝4， b＝－4， c＝1
∴Δ＝(－4) 2－4×1×1 ＝16－16 ＝ 0；
∴这个方程有两个相等的实数根.
(4)先化为一般形式: 2x2－x＋2 =0，
这里a＝2， b＝－1， c＝2
∴Δ＝(－1) 2－4×2×2 ＝1－16 ＝ －15 ＜0 ；
2.小明告诉同学，他发现了一种简便方法，可以判断一类方程必有实数根:若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的系数a、c异号(即两数为一正一负)，那么这个方程一定有两个不相等的实数根.他的说法是否正确?为什么?