初中数学第十三章 三角形13.3 三角形的内角与外角13.3.1 三角形的内角获奖ppt课件

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思考 如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度?
30° + 60° = 90°
45° + 45° = 90°
是不是所有的直角三角形都是这样呢？
探究利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系.
如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，由三角形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°即∠A+∠B+90°=180°，所以∠A+∠B=90°.
由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
在Rt△ABC中，∵∠C =90°，∴∠A +∠B =90°．　
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC.
直角三角形的两个锐角互余.（直角三角形的性质定理）
例1 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点E，比较∠CAE与∠DBE的大小.
解：在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.
思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余. 反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？
在△ABC中，因为∠A +∠B +∠C=180°， 又 ∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 即△ABC是直角三角形.
有两个角互余的三角形是直角三角形.（直角三角形的判定定理）
在△ABC 中，∵∠A +∠B =90°，∴△ABC 是直角三角形．
直角三角形的判定方法(1)证明三角形中有一个内角为90°；(2)证明三角形中有两个内角互余.
例2 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AB，AC上，且∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形.理由如下：在△ABC中，∵∠A+∠C+∠2=180°，且∠C=90°，∴∠A+∠2=180°-90°=90°.∵∠1=∠2，∴∠A+∠1=90°，∴△ADE是直角三角形.
知识点1 直角三角形的性质1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝2∠B，则∠A等于(　　)A.60°　　B.30°　　C.45°　　D.90°
2.［2026重庆巴蜀中学期中］如图，AB∥DE，GF⊥BC于点F，若∠CDE＝32°，则∠FGB＝(　　)A.32°　　B.48°　　C.58°　　D.68°
3. 在Rt△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶m∶4，则m的值是　　　　.
【点拨】设∠A，∠B，∠C的度数分别为2x，mx，4x.当∠C为直角时，2x＋mx＝4x，解得m＝2；当∠B为直角时，2x＋4x＝mx，解得m＝6.故m的值为2或6.
在没有确定三角形最大内角的情况下，应分类讨论作答，做到不漏解不错解.
4.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个Rt△ABC，∠C＝90°，并画出了两锐角的平分线AD，BE及其交点F.小明发现，无论怎样改变Rt△ABC的形状和大小，∠AFB的度数是定值.这个定值为　　　　.
【解】∵在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝50°，∴∠ABC＝180°－90°－50°＝40°.∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝20°.∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.∴∠BED＝90°－20°＝70°.
5.在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC.(1)如图①，已知∠C＝50°，BE平分∠ABC，求∠BED的度数.
(2)如图②，DF⊥AC，DG⊥AB，请直接写出与∠C相等的角(不包括∠C).
【点拨】∵DF⊥AC，DG⊥AB，AD⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠CFD＝∠AGD＝∠ADB＝∠ADC＝90°＝∠BAC.∴∠C＋∠CDF＝90°，∠ADF＋∠CDF＝90°，∠C＋∠CAD＝90°，∠DAG＋∠CAD＝90°.∴∠C＝∠ADF，∠C＝∠GAD.∵∠GAD＋∠ADG＝90°，∠ADG＋∠BDG＝90°，∴∠GAD＝∠BDG.∴∠C＝∠BDG.故与∠C相等的角有∠GDB、∠ADF、∠GAD.
【解】与∠C相等的角有∠GDB，∠ADF，∠GAD.
【证明】∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°.∵∠DCM＝∠MAE，∠CMD＝∠AME，∴∠AEC＝∠ADC＝90°.∴△ACE是直角三角形.
7.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AB上一点，连接CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE，求证：△ACE是直角三角形.
8. 一个箱子静止放在斜坡上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行，若摩擦力F2与重力G的夹角β的度数为103°，则图中∠α的度数为(　　)A.23°　　B.17°　　C.15°　　D.13°
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处.若∠A＝25°，则∠CDE＝　　.
【点拨】∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处，∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED.∵∠A＝25°，∴∠B＝90°－25°＝65°，∴∠CED＝65°，∴∠CDE＝180°－45°－65°＝70°.
10.如图，在由25个边长为1的小正方形拼成的网格中以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有(　　)A.5个　　B.6个　　C.7个　　D.8个
【点拨】根据题意可得以AB为边画Rt△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共有8个，如图所示.故选D.