新高考数学二轮复习重难点高分突破训练09 新高考数学挑战140冲刺模拟卷（二）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点高分突破训练09 新高考数学挑战140冲刺模拟卷（二）（2份，原卷版+解析版），共3页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解一元二次不等式求出集合，然后由可得在时，恒成立，将问题转化为求在上的最小值，从而可求出的取值范围.
【详解】由，得，解得，
所以，
因为，，
所以当时，恒成立，即恒成立，
令，，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以，
所以，即的取值范围是.
故选：B
2．已知，且为虚数单位，则的最大值是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，而表示圆上的点到的距离，由圆的图形可得的的最大值.
【详解】根据复数的几何意义，可知中对应点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.
表示圆C上的点到的距离，
的最大值是，
故选B
【点睛】本题主要考查了复数的几何意义，圆的性质，属于中档题.
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】法一：先判断充分性，根据可得，两边取对数可以得到，进而构造函数，利用导数分析函数的单调性，进而得到或，设，利用导数分析函数的单调性，进而求解判断即可；再判断必要性，根据可得，两边取对数可以得到，即，结合函数的单调性即可得到，进而判断即可；法二：构造函数，利用导数和零点存在性定理即可判断.
【详解】法一：先判断充分性，若，因为，则，即，
则，即，即，
设，则，而，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又时，，时，，且，
则或，
设，则，
令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，
即，则，
即，则，故充分性不成立；
再判断必要性，若，因为，则，即，
则，即，即，则，
由于函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，，时，，
则，此时，故必要性成立.
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
法二：若，则，即．
令函数，则.
当时，;当时，.
在上单调递增，在上单调递减．
．
令函数，则．
当时，，所以在上单调递增，，即．
因为，，所以在和上各有一个零点，所以有2个解，即有2个解，显然其中1个解为．
若，则，即．
因为函数与函数的图象只有一个交点，所以方程只有一个解，
即只有一个解，易得．故＂＂是＂＂的必要不充分条件．
故选：B.
4．设，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，可得x，y，z的表达式，取，根据对数函数的单调性，可得x最大，分别比较与和与的大小，即可判断A的正误；取，根据对数函数的单调性，分析比较，可判断B的正误；取极小正数，根据对数的运算性质，分析比较，可判断C的正误；求出成立的必要条件是，构造函数，利用导数求得的单调性，根据对数的运算性质，可得和不可能同时成立，即可判断D的正误.
【详解】令，则，，．其中．
取，此时，，
，此时x最大．
又与比较，等价于比较7与，等价于比较49与27大小，故．
同理比较与，可得，故，故．
综上，当时，．故A是可能的．
取．此时，，，故且．
比较y和z，即与，，且是增函数，
所以，又底数，所以，故．
综上，当时，．故B是可能的．
取极小正数，取，此时，，，易知x最小．
现在比较和，即比较与，即和，比较和，
易知，故．
综上，取，．故C是可能的．
下面证明D选项不可能．若，则和同时成立．
若，则．
当时，，当时，，
同理可得，故存在，使得，
所以成立的必要条件是．
若，则，设，
则，且取时，，
等价于，
又，等价于，，易知其在时成立，
已证当时，，所以在上单调递增，
因为，所以当时，，即恒成立，
故和不可能同时成立，即D不可能．
故选：D．
5．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数的和差角公式对已知角度关系进行变量代换，将复合角拆分为基本角的和差形式以便于利用已知条件，通过正切函数的商数关系将等式转化为正弦与余弦的乘积关系，结合正弦的和角公式建立方程并求解，再利用正弦的差角公式将所求角表示为已求量的代数组合，最终得出结果.
【详解】设 ，，则，
已知，即；
已知，即，
由得：，即
设，则，
又，解得，
因此，
所求，
综上，.
故选：D
6．已知正六棱柱的各个顶点都在半径为R的球面上，一个能放进该正六棱柱内部的最大的球半径为r．若，则当最小时，该正六棱柱的体积为（ ）
A．36B．42C．48D．24
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出正六棱柱底面正六边形的边心距，并设正六棱柱的高为，可得取中最小的，按，结合球的截面小圆性质分类讨论求出最小时的，再利用柱体体积公式计算得解.
【详解】设正六边形ABCDEF的中心为点M，则点M与任意一条边均构成等边三角形，
因此点M到各边的距离均为等边三角形的高，即，
不妨设该正六棱柱的高为h，则且，r取两者之中的较小者，
由点M到A，B，C，D，E，F的距离均为2，得点M是正六边形ABCDEF的外接圆圆心，
因此正六棱柱的外接球半径，
若，则，；
若，则，，
于是当时，取得最小值，正六边形的面积为，
所以该正六棱柱的体积为.
故选：A
7．已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可.
【详解】由恰有5个零点，
则关于的方程恰有5个相异实根，
令，问题转化为满足的恰有5个不同的解.
作出函数的图象，如图所示，
由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且，
此时仅有1个实根，不合题意；
当时，仅有两个相异实根，
而各仅有1个实根，不合题意；
当时，仅有3个实根，
且各仅有1个实根，
且两实根均小于，则有三个实根，必有，
所以.
又，所以，此时的5个实根互不相等，
即恰有5个零点；
当时，仅有2个相异实根，且，
此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意.
所以实数的取值范围为.
故选：C
8．已知的顶点分别为双曲线的左、右焦点，点在的右支上，且与的一条渐近线垂直，记的离心率为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据双曲线渐近线性质以及垂直关系可得斜率关系，设，可得，所以；在中利用正弦定理以及三角恒等变换可得，，再结合双曲线定义以及离心率表达式化简即可得出.
【详解】如下图所示：
可知，
双曲线的渐近线方程为，不妨取渐近线，
因为与渐近线垂直，所以直线的斜率为，
设，可得，所以；
由可得，
在中利用正弦定理可得，
可得，
；
再利用双曲线定义可得
整理可得，
因此可得.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用渐近线斜率以及垂直关系得出，再由中的正弦定理得出其边长，利用双曲线定义可得，即可求得.
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．数列是递减数列B．当时，最大
C．使得成立的最小自然数D．数列中的最小项为
【答案】ABD
【分析】由条件分析出，，，求出公差，即可判断A，B；由等差数列的前项和公式求出，即可判断C；分别判断当，，时，的正负，再结合数列的单调性确定最小项，即可判断D.
【详解】由，可得，
由，可得，即，又因为，所以.
因为数列是等差数列，所以，所以数列是递减数列，
故A正确；
由A知数列是递减数列，且，，所以当时，最大，
故B正确；
由等差数列的前项和公式可知，，
，
所以使得成立的最小自然数，故C错误；
当时，；
当时，；
当时，，
.
因为，所以，
又因为，所以， 所以，
所以，所以在时为增函数，
所以数列中的最小项为，故D正确.
故选：ABD
10．已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．4是的一个周期
C．D．的图象关于点对称
【答案】ABD
【分析】由已知及复合导数的求法、偶函数性质得，结合得、、判断A、B、D；利用周期性求函数值判断C；
【详解】因为为偶函数，所以，则，
而，故，所以，
又为偶函数，所以，即，
所以，故，且，
所以，则4是的周期，故B正确．
A：由两边求导得，
令得，解得，A正确；
C：由上知，令，则，
则，C错误；
D，因为，，则，
所以，则的图象关于对称，D正确．
故选：ABD
11．如图所示，正方体的棱长为2，点为侧面内的一个动点（含边界），点分别是线段、、的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线平面B．平面截正方体所得的截面面积为
C．的最小值为D．若，则点的运动轨迹长度为
【答案】AC
【分析】对于A,利用线面平行的判定定理，证明平行于平面内的一条线即可；对于B，判断截面为等腰梯形，然后利用梯形的面积公式求解即可；对于C，建立空间直角坐标系，设点坐标，将表示出来，利用二次函数求最值即可；对于D，利用确定点的轨迹方程，然后利用两点距离公式求长度即可.
【详解】对于A，连接,
因为点分别是线段、的中点，
所以，所以平面，
点分别是线段、的中点，故,
故四边形为平行四边形，所以且平面，
故直线平面，故A正确；
对于B，由A选项可知，平面截正方体所得的截面为梯形
且由正方体可知，,
故梯形的高,
故梯形的面积,故B错误；
对于C，以为原点，分别以为轴，轴，轴建空间直角坐标系，
则,
点为侧面内的一个动点（含边界），故设
所以，
所以，
当时，即时，等号成立，故C正确；
对于D，，若，
则，即，
因为故当时，此时，
当时，此时，
故点的运动轨迹为从点到点的一条线段，轨迹长度为，故D错误.
故选：AC
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．已知向量，，满足，，，向量与的夹角为，则的最小值是 .
【答案】1
【分析】先求出夹角为，设起点为，终点为，画出示意图，由向量与的夹角为可得，则点C在所对圆周角为的圆弧上，求出圆心半径，利用定点到圆上点的最值即可求解.
【详解】由题意，
代入，得，则夹角为，
如图所示在直角三角形中，，
，
令，则，
即为向量与的夹角为，
则点C在所对圆周角为的圆弧上，其圆心角为，
如图所示，要使得最小，显然在下方的圆弧上，
由于，则在上取，由于，由余弦定理可得，同理可求，
所以点即为圆心，半径，
则，此时共线且点C在之间，
故的最小值是1.
故答案为：1.
13．将五张标有1，2，3，4，5的卡片摆成下图，若逐一取走这些卡片时，每次取走的一张卡片与剩下的卡片中至多一张有公共边，则把这样的取卡顺序称为“和谐序”（例如按1-3-5-4-2取走卡片的顺序是“和谐序”），现依次不放回地随机抽取这5张卡片，则取卡顺序是“和谐序”的概率为 .
【答案】
【分析】对抽卡片的顺序进行分类讨论，结合分步乘法计数原理、分类加法计数原理与古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】分两种情况讨论：
（1）第一步，从1号或3号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽1号卡片，
第二步，从3号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片，
第三步，从2号或5号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽2号卡片，
第四步，从4号或5号卡片抽取一张，有2种情况，
第五步，抽最后一张卡片，
此时，不同的抽法种数为种；
（2）第一步，抽5号卡片，
第二步，从1、3、4号卡片抽取一张，有3种情况，比如先抽1号卡片，
第三步，从3、4号卡片抽取一张，有2种情况，比如先抽3号卡片，
第四步，从2、4号卡片抽取一张，有2种情况，
第五步，抽最后一张卡片，
此时，不同的抽法种数为种.
而从5张卡片随意抽取，不同的抽法种数为，
因此，取卡顺序是“和谐序”的概率为.
故答案为：.
14．已知数列满足，且是的等差中项，是数列的前项和，则 ， .
【答案】 171
【分析】先求出，分和，求出通项公式，进而分组求和，得到答案.
【详解】由题知，解得，
当是偶数，是奇数，故，
所以，因为，
故是首项为，公比为2的等比数列，
故，.
所以当时，，
所以
；
.
故答案为：171；
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.
(1)证明：；
(2)求的最值；
(3)若，，求的面积S的取值范围.
【答案】(1)证明见解析.
(2)最小值，无最大值.
(3).
【分析】(1)根据和差化积公式的证明构成做答即可.
(2)根据半角公式，题干条件化简为余弦,通过两角和差的余弦公式带入解方程,得内角三角函数关系式,带入求得最值.
(3)根据正弦面积公式,和正弦定理,将面积公式转化为函数问题,利用对钩函数单调性,求出面积范围.
【详解】（1）因为，
，
两式相加得，得证.
（2）当时，，满足.
令，，故无最大值，
因为
，
，
则，
，
，
则或，
由，有，则.
①时，，时取等号，
②时，
，
时取等号，
因为，则的最小值是，
综上，有最小值，无最大值.
（3）①时，，
则.
②时，
在中，由正弦定理有，则，，
则，
由函数在上单调递减，有，
∴
综上，的面积的取值范围是.
16．如图，在三棱台中，，，，为线段上一点，.
(1)求证：点为线段的中点；
(2)若直线与直线所成角的正切值为5，，求证：平面平面.
(3)设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为，求关于的函数表达式，并求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】 （1）过作垂足为，依题可推出平面，进而得.又因得出为中点，再结合梯形中是等腰梯形且，得到N为中点.
（2）由（1）知是二面角平面角，作，通过线段关系证四边形是平行四边形，得出，确定是直线与所成角（或补角），利用三角函数值和余弦定理求，进而判断二面角情况.
（3）利用在底面投影，找出直线与平面所成角，分为钝角、锐角、直角讨论相关线段长度，得出表达式，将其看作半圆上点与定点连线斜率，根据直线与半圆相切情况确定取值范围.
【详解】（1）过作交于点，连接.
，，平面，.
，为的中点.
在梯形中，，∴梯形为等腰梯形.
又，为线段的中点.
（2）由（1）知，为二面角的平面角，过作交于点，则，连接.
在等腰梯形中，，.
.又，∴四边形为平行四边形，
.
为直线与所成角（或补角），
，.
在中，，.
由余弦定理得：，得：
，解得，或（舍），
在中，，，，.
.
二面角为直二面角，即平面与平面所成二面角为直二面角，
平面平面.
（3）设在底面的投影分别为，，N到平面的距离为，
则，则为直线与平面所成角，.
，，.
为钝角时，在的外部，，
，
.
当为锐角时，在的内部，
，.
.
当为直角时，也符合，
综上，.
设是（上半圆，不包括与轴的交点）上任意一点，
则可看作是半圆上一点与点连线的斜率.
直线与半圆相切时，直线的斜率最小值为.
与连线的斜率的取值范围为，
的取值范围为.
17．某学校食堂共有A，B，C三个窗口分别为学生提供三种不同菜品，假设每人每餐只能选择一个窗口，某人第i次在A，B，C窗口选餐分别记为事件．已知，若某次选择A窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为；若某次选择B窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为．若某次选择C窗口，则下次选择A，B，C窗口的概率分别为．
(1)判断事件与事件是否相互独立，并说明理由；
(2)设，证明：；
(3)定义随机变量，当选择A窗口时，否则，求数学期望．
【答案】(1)相互独立，理由见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式求出，再利用概率的乘法公式，结合相互独立事件的定义判断即可.
（2）根据给定条件，求出递推公式，再借助构造法推理得证.
（3）利用数学期望的意义求得，再利用（2）中信息，按为奇偶分类求出通项公式即得.
【详解】（1），
，
所以事件与事件相互独立.
（2）依题意，，，
，
则，，
，
于是，，
所以.
（3），
由（2）知，，而，
数列中的奇数项是以为首项，为公比的等比数列，
当为奇数时，，
又，则，因此；
当为偶数时，，
，解得，
所以.
18．已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，
（i）求证：；
（ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【分析】（1）根据即可求解椭圆标准方程；
（2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可；
（ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解.
【详解】（1）由题知，，又，解得.
故椭圆的方程为.
（2）（i）记，由题意知.
设直线的方程为，代入椭圆得：.
则有，①
设与的斜率分别为，则
所以.
（ii）设满足，则
②
将代入②，并化简得
，③
将（2）中①代入③得：，
即.
又因为直线和直线的交点为.
故满足的点都在以为直径的圆上.
因为都在以为直径的圆上，
故，所以是的角平分线.
则，
所以，
即.
所以，解得，
所以.
19．已知函数.
(1)若有3个极值点，，，且，
（i）求的取值范围；
（ii）求证：；
(2)若，，求的取值范围.
【答案】(1)（i）；(ii)证明见解析；
(2)
【分析】（1）（i）有3个极值点转化为与有3个交点，求导研究单调性，结合图像即可得出的取值范围；（ii）根据（i）得出与的关系，以及的范围，利用表示，代入表达式，构造函数求导研究单调性最值即可.
（2）设，可以发现，，则根据尝试端点效应进行讨论，证明成立以及不成立即可.
【详解】（1）（i0当时，不符合题意，
当时，，
设，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
极小值，极大值，
且由指数函数与二次函数增长速度可得，当趋于时，趋于，
当趋于时，趋于，
作出图像：

则要使有3个极值点，需使与有3个交点，
则，即.
设与的3个交点横坐标从小到大分别为，，，
则由图像可得当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则极大值点为，极小值点为符合题意，
故的范围为.
(ii)证明：由（i）,,
且时，单调递增，则，
由于，则，
代入得，
设，
则，
则，即，
综上：.
（2）设，
则，
设，则，
设，则，
设，则，
由于时，，所以，则单调递增，
当时，，则单调递增，
则，则单调递增，
则，则单调递增，
则符合题意；
当时，，则存在，使得时，，
则在单调递减，则，
则在单调递减，不符合题意；
综上，.
1
2
3
4
5