新高考数学二轮复习重难点高分突破训练03 立体几何（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习重难点高分突破训练03 立体几何（2份，原卷版+解析版），共3页。

异面直线所成角
=
（其中（）为异面直线所成角，分别表示异面直线的方向向量）
线面角
直线与平面所成角，(为平面的法向量).
二面角的平面角
（，为平面，的法向量）.
点到平面的距离
（为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）.
内切球体积
任意的简单n面体内切球半径为(V是简单n面体的体积，是简单n面体的表面积)
三垂线法求二面角
已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
垂面法求二面角
已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。
射影面积法求二面角
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（csθ=S射S斜=S△A′B′C′S△ABC,如图)求出二面角的大小
三余弦定理
设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为，AB与AC所成的角为，AO与AC所成的角为．则.
三射线定理
若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是,,与二面角的棱所成的角是θ，则有 ;
(当且仅当时等号成立).

长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有
.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
空间两点间的距离公式
若A，B，则
=.
异面直线上两点距离公式
.
.
（）.
(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，,,).
欧拉定理(欧拉公式)
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
（1）=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为的多边形，则面数F与棱数E的关系：；
（2）若每个顶点引出的棱数为，则顶点数V与棱数E的关系：.
球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为的正四面体的内切球的半径为,外接球的半径为.
一、单选题
1．（2025·黑龙江·二模）在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（ ）
A．5πB．10πC．28πD．56π
2．（2025·山西·一模）设为圆锥底面的一条直径，为底面圆周上异于的一点，为靠近的一个三等分点，且二面角与二面角的大小相等，则该圆锥的体积与三棱锥的体积之比是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·四川·模拟预测）在正四棱柱中，，，分别是平面和上一点，且，，记异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·广西·三模）如图，在棱长为的正方体中，点是平面内的一个动点，当时，点的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·广东·模拟预测）已知为等腰直角三角形，，D为斜边BC上一动点，将沿AD折起得到三棱锥，C的对应点为，且二面角为，当最小时，三棱锥的外接球半径为（ ）
A．B．C．D．2
6．（2025·广东广州·三模）已知棱长为2的正方体的几何中心为，平面与以为球心的球相切，若截该正方体所得多边形始终为三角形，则球表面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·四川成都·模拟预测）一个棱长为4的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．1
8．（2025·江苏南通·模拟预测）已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图一，将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图三，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（ ）
A．B．C．D．
9．（2025·云南昆明·模拟预测）已知平行四边形，，，将沿对角线折起，使以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）．
A．B．C．D．
10．（2025·浙江·一模）已知正四面体外接球的球心为，过点的平面与棱分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2025·吉林长春·模拟预测）在四面体中，，其余各棱长均为2，则该四面体的（ ）
A．表面积为B．体积为
C．外接球的半径为D．内切球的半径为
12．（25-26高二上·河北·月考）如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．三棱锥体积的最大值为
C．若，则三棱锥外接球的表面积为
D．存在，使得平面
13．（2025·江苏苏州·模拟预测）在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线与直线异面
B．当时，平面与底面所成角为定值
C．当时，有且仅有两个点P，使得
D．当时，有且仅有一个点P，使得平面
14．（2025·河北沧州·一模）已知菱形的边长为2，，将沿着折起至，连接，得到三棱锥，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥体积的最大值为1
C．若，则三棱锥外接球的表面积为
D．若二面角的余弦值为，则三棱锥内切球的体积为
15．（2025·广东·模拟预测）已知体积为的四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，记四棱锥的表面积为，则（ ）
A．点到平面的距离为2
B．的面积为2
C．
D．存在点使得四棱锥有内切球，且内切球的表面积为
16．（25-26高三上·吉林四平·月考）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（ ）
A．若为棱的中点，则平面截正方体所得截面为梯形
B．若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值
C．若为的中点，则平面
D．若为侧面的中心，则过且与垂直的平面截正方体所得截面面积为
17．（2025·云南昭通·模拟预测）正方体的棱长为2，线段上有两个动点E、F，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．三棱锥的体积为定值
C．过点A仅能作1条直线，使正方体的12条棱所在直线与此直线所成的角都相等
D．点P是平面内一点，若，则点P的轨迹长度是
18．（25-26高二上·浙江·月考）已知棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则下列正确的是（ ）

A．
B．
C．若点是正方体表面上一动点且满足，则点的轨迹长度为
D．已知平面过点且，若，且，则点的轨迹长度为
19．（2025·江苏·模拟预测）棱长为1的正方体中，M，N，P分别为棱，，的中点，Q为平面PMN上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．平面PMN截正方体表面所得截面为五边形
B．平面与平面所成锐二面角的余弦值为
C．若与的夹角为，则Q点的轨迹长度为
D．若，交于，正方形的四个顶点绕着在上底面逆时针旋转45°得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为
20．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在棱长为的正方体中，底面内（含边界）有一动点，下列说法正确的有（ ）
A．当E在线段上运动时，三棱锥体积不变
B．异面直线与成角的余弦值的取值范围是
C．当点到的距离等于点到平面的距离时，的最大值为
D．四棱锥外接球的表面积最小值为
三、填空题
21．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知正三棱锥，底面边长为，二面角的正切值为，则正三棱锥的外接球半径为 ，分别为正三棱锥内切球，外接球球面上的动点，则线段长度的最大值为 ．
22．（2025·河北·模拟预测）在三棱锥中，，点P在平面ABC上的投影O是的垂心，平面PBC，若，则三棱锥的体积的最大值为 ．
23．（2025·湖南·模拟预测）如图，圆锥的顶点为S，点A，B，C，D在底面圆O的圆周上，且，的交点为圆心O，，，，则平面与平面夹角的余弦值为 ；若P是母线上一点，且，Q是平面内一点，则周长的最小值为 .
24．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知在四棱锥中，面底面，且，，则四棱锥体积的最大值为 ．
25．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在正方体中，点分别在棱，，上，为的中点，，，记平面与平面的交线为．则直线与平面所成角的正切值为 ．
26．（2025·江西宜春·模拟预测）已知平面，异面直线与所成的角是，则线段的长为 ．
27．（2025·陕西·模拟预测）在四面体中，，，，，若异面直线与所成的角为，则 ．
28．（2025·四川成都·一模）在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为 .
29．（2025·湖北·模拟预测）已知正的边长分别为边的中点，将沿直线翻折到，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的表面积为 ，此时分别过作球的两个相切的平面，设相交所成的二面角大小为，则 .
30．（2025·北京·三模）如图，已知棱长为2的正方体中，动点M ， N， P ， Q分别在棱，， ， 上， 且满足， ， 设.给出下列四个结论：
①当时， 则四面体的表面积为8:
② 存在m、n，使得四面体的表面积为9；
③当 时，四面体的体积为
④ 四面体.的体积与m、n无关.
其中所有正确结论的序号为 .
四、解答题
31．（2025·江苏·模拟预测）在三棱锥中，，，．
(1)若平面平面，
①证明：．
②三棱锥的各个顶点都在球的表面上，求直线与平面所成角的正弦值．
(2)若二面角的正切值为，求的长．
32．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点．
(1)若F为线段BC上的动点，证明：平面平面PBC；
(2)若F为线段BC上的动点，探究是否存在点F使得平面AEF，说明理由；
(3)若F为线段DC的中点，，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥与的体积之比．
33．（2025·湖北黄冈·三模）如图，在四棱锥中，底面四面体的体积为的面积为.
(1)求点到平面的距离；
(2)若，平面平面，证明：BC⊥平面
(3)在（2）的条件下，在棱上是否存在一点N，使平面与平面 夹角为，若存在，求的长.若不存在，说明理由
34．（2025·辽宁大连·模拟预测）如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥．
(1)若为等边三角形，求四棱锥的体积；
(2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由；
(3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．
35．（2025·湖南邵阳·模拟预测）如图，在三棱台中，，，，为线段上一点，.
(1)求证：点为线段的中点；
(2)若直线与直线所成角的正切值为5，，求证：平面平面.
(3)设二面角的大小为，直线与平面所成角的大小为，求关于的函数表达式，并求的取值范围.
36．（2025·北京大兴·三模）如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，且．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：平面平面；
条件②：三棱柱的体积为；
条件③：三棱锥是正四面体．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
37．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，四边形是边长为2的正方形，点分别在线段上运动，且．将沿折起，使得点到达点的位置，此时平面平面．
(1)当时，求证：；
(2)是否存在，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由；
(3)证明：存在，使得二面角的平面角为．
38．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在多面体中，四点共面，四边形为平行四边形，，，，且，，，.

(1)求的长；
(2)求多面体的体积；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值.
39．（2025·江苏·模拟预测）如图几何体中，四边形ABCD和AEFD都是梯形，.
(1)证明：B，E，F，C四点共面；
(2)若，求该几何体的体积；
(3)求平面BDE与平面BEFC的夹角的余弦值的最大值.
40．（2025·四川成都·模拟预测）如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点．
(1)求证：平面；
(2)若平面平面，求直线与平面所成角的大小；
(3)设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值．