新高考数学二轮专题重难点突破训练09 证明不等式问题（十三大题型）（2份，原卷版+解析版）

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\l "_Tc169197490" 01方法技巧与总结 PAGEREF _Tc169197490 \h 2
\l "_Tc169197491" 02题型归纳总结 PAGEREF _Tc169197491 \h 2
\l "_Tc169197492" 题型一：直接法 PAGEREF _Tc169197492 \h 2
\l "_Tc169197493" 题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造） PAGEREF _Tc169197493 \h 6
\l "_Tc169197494" 题型三：分析法 PAGEREF _Tc169197494 \h 11
\l "_Tc169197495" 题型四：凹凸反转、拆分函数 PAGEREF _Tc169197495 \h 14
\l "_Tc169197496" 题型五：对数单身狗，指数找朋友 PAGEREF _Tc169197496 \h 20
\l "_Tc169197497" 题型六：放缩法 PAGEREF _Tc169197497 \h 24
\l "_Tc169197498" 题型七：虚设零点 PAGEREF _Tc169197498 \h 31
\l "_Tc169197499" 题型八：同构法 PAGEREF _Tc169197499 \h 37
\l "_Tc169197500" 题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理 PAGEREF _Tc169197500 \h 43
\l "_Tc169197501" 题型十：分段分析法、主元法、估算法 PAGEREF _Tc169197501 \h 50
\l "_Tc169197502" 题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值 PAGEREF _Tc169197502 \h 55
\l "_Tc169197503" 题型十二：函数与数列不等式问题 PAGEREF _Tc169197503 \h 60
\l "_Tc169197504" 题型十三：三角函数 PAGEREF _Tc169197504 \h 67
\l "_Tc169197505" 03过关测试 PAGEREF _Tc169197505 \h 72
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
题型一：直接法
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．（参考数据：）
【解析】（1）由题意得，
当时，在上恒成立，在上单调递减，
当时，令，解得．
当时，，当，．
所以在上单调递减，在上单调递增；
综合得：当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知，当时，的最小值为．
要证成立，需成立，
即证．
令，则．
令，得（负值舍去）．
当时，；当时，．
因此在上单调递减，在，上单调递增．
所以当时，取得最小值，，
故当时，．
【典例1-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【解析】（1）的定义域为，．
若，则，在上单调递减：
若，则由得，当时，；当时，；
故在上单调递减，在上单调递增；
故当时，在上单调递减：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）方法1，当时，由（1）知，当时，取得最小值．
所以，从而．
设，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
故当时，，即；
方法2：当时，由（1）知，当时，取得最小值，
所以，从而，
令，，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，当等号成立；
所以，当时，，
即.
【变式1-1】（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)若有3个极值点，求a的取值范围；
(2)若，，证明：．
【解析】（1）由有3个极值点，
可得到具有3个变号零点，
当时不是的零点，
则可得在有3个交点，
构造函数，，
则，令，解得，
所以当，，单调递增，
当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以，
而当时，，当时，，当时，,
所以,
则的取值范围为.
（2）构造函数
则，且，
构造函数，则，
再令，则，
因为时，则，在单调递增，
而，所以在单调递增，
所以，所以在单调递增，
故，即.
【变式1-2】已知函数，．
(1)求的最小值；
(2)证明：．
【解析】（1）的定义域为，，
令解得，又因为当时，为增函数，
故当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
故，故．
（2），，则，
故当时，，则在单调递增；
当时，，则在单调递减；
故．
又因为，所以（当且仅当时，取“”），
所以．
【变式1-3】（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
【解析】（1）由题意知，
当时，，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增
（2）由（1）得，
要证，即证，即证，
令，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则恒成立，
所以当时，.
题型二：构造函数（差构造、变形构造、换元构造、递推构造）
【典例2-1】（2024·河北沧州·模拟预测）对于函数和，设，若存在使得，则称和互为“零点相邻函数”.设，，且和互为“零点相邻函数”.
(1)求的取值范围；
(2)令（为的导函数），分析与是否互为“零点相邻函数”；
(3)若，证明：.
【解析】（1）令，得，
令，得，
①，解得，
②，解得，
所以的取值范围为.
（2），则，
令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
又，
当时，无零点，
所以与不互.为“零点相邻函数”；
当时，，函数的零点为，
所以与互为“零点相邻函数”；
当时，，又因为，
所以此时在区间内存在零点，所以与互为“零点相邻函数”；
当时，，又因为，
所以在区间内存在零点，所以与互为“零点相邻函数”.
综上，当时，与不互为“零点相邻函数”，
当时，与互为“零点相邻函数”.
（3）当时，，
设，则，
则，
设，则，
令，
则，
所以在上单调递减，
又，所以，即，所以在上单调递减，
又，所以，得证.
【典例2-2】（2024·湖北荆州·三模）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求证：函数的图象位于直线的下方；
【解析】（1），则，
又，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）因为，所以，要证明，只需要证明，
即证，
令，则，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，
故在取极大值也是最大值，故，
所以恒成立，即原不等式成立，
所以函数的图象位于直线的下方.
【变式2-1】已知函数有且只有一个零点，其中．
(1)求的值；
(2)若对任意的，有成立，求实数的最大值；
(3)设，对任意，证明：不等式恒成立．
【解析】（1）的定义域为，．
由，得．
∵ 当时，则在区间上是增函数，
当时，，在区间上是减函数，
∴ 在处取得极大值也为最大值．
由题意知，解得．
（2）由（1）知，
当时，取得，，知不合题意．
当时，设．
则．
令，得，．
①若≤0，即≤时，在上恒成立，
∴ 在上是增函数，从而总有，
即在上恒成立．
②若，即时，对于，，
∴ 在上单调递减．
于是，当取时，，即不成立．
故不合题意．
综上，的最大值为．
（3）由．不妨设，
则要证明，
只需证明，
即，
即证．
设，则只需证明，化简得．
设，则， ∴ 在上单调递增，
∴ ，即，得证．
故原不等式恒成立．
【变式2-2】设，当时，求证：．
【解析】要证时，，只需证，
记，则，
当时，，所以在上单调递增，故，
所以，
要证时，，只需证，
记，则，
当时，，
所以在上单调递增，故，
所以，
综上，，
【变式2-3】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的单调区间;
(2)若，证明:．
【解析】（1），
令，所以，
由可得，由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以.
又因为，所以，即，且至多在一个点处取到.
所以在上单调递减，没有单调递增区间.
（2）证明，
只需证：，
即证：，
令，所以，
只需证：，
即证：，
由（1）知，当时，在上单调递减，
所以当时，，
即，
所以.
题型三：分析法
【典例3-1】已知函数，当时，证明：.
【解析】当时，有，
所以，要证，只需证，
即证，,
设，则，令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
所以，得证.
【典例3-2】已知函数，．
(1)若直线是函数的图象的切线，求实数的值；
(2)当时，证明：对于任意的，不等式恒成立．
【解析】（1）直线是函数的图象的切线，设切点为，
，，得．
切点在函数的图象上，，
代入得，解得或．
再代入解得或，
∴实数的值为1或．
（2）证明：要证，即，
，，又由知即证，
设，则．
令，则，由，得，
当时，；当时，，
在单调递增，在单调递减，
在上，，即，
令，则，设，则．
令，得，当时，，当时，，
在单调递减，在单调递增，在上有最小值，为．
的最小值为，原不等式得证．
【变式3-1】（2024·山东·模拟预测）已知函数，其中.
(1)求曲线在点处切线的倾斜角；
(2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围；
(3)证明：.
【解析】（1）由，
所以，
设曲线在点处切线的倾斜角为，则，
又因为，所以，
所以曲线在点处切线的倾斜角为0.
（2）由（1）知，且，解得：或，
当时，，，，，，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，
所以；
当时，，，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即此时极小值不可能小于0，所以当时不符合题意；
当时，恒成立，
所以在上单调递增，即函数无极值，不满足题意，
所以当时不符合题意；
当时，，，，，，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，
所以；
综上可知实数的取值范围为或.
（3）由（2）知，当时，在上单调递增，在上单调递减，
，即，即，两边取自然对数得：，则.
要证成立，只需证，.
两边同除得：，即.
只需证：，即证，
令，，，解得：，
当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
所以，即，
经检验，当时，成立.
综上可知不等式得证.
题型四：凹凸反转、拆分函数
【典例4-1】已知函数，证明：当时，.
【解析】由题意等价于，
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
【典例4-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)求的最大值；
(2)证明：当时，．
【解析】（1）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数递增，当时，，函数递减，
所以当时，函数取得最大值.
（2）令函数，求导得，即函数在上单调递增，
因此，，由（1）知，恒成立，
所以，即当时，.
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若函数的最小值与的最小值之和为，求的值．
(2)若，，证明：．
【解析】（1）因为，所以．
令，解得．
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以．
因为，，所以．
令，解得．
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以．
由题意可得，解得．
（2）证明：方法一 当时，，，则．
要证，即证，．
令，，则．
令，，则，
所以当时，，所以在上单调递增．
因为，，
所以在上存在唯一零点，且当时，；当时，．
所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以．
由，得，所以．
两边取对数，得，所以，
所以，即．
因为，所以，即．
方法二 要证，即证，即证．
令，，，．
易得，则令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
易得．
令，得；令，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，故．
【变式4-2】已知，，，求证：．
【解析】令，，则，则，只需证明，即证；
，，故只需证明，即证，
记，则，
当时，；当时，；
即在上递减，在上递增，
①，当且仅当时等号成立，
再记，则，
当时，；当时，；
在上递增，在上递减．
②，当且仅当时等号成立．
由①②等号不同时取到，得，于是．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在处的切线方程为，求的值及的单调区间．
(2)若的极大值为，求的取值范围．
(3)当时，求证：．
【解析】（1）由题意，得，所以．
因为曲线在处的切线方程为，
又，所以，所以．
所以．
令，得；令，得．
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）由题意得．
当时，令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，此时只有极小值，不符合题意．
当时，令，得，．
因为的极大值为，所以，解得．
综上，的取值范围为．
（3）当时，．
要证，即证，
只需证．
先证：，．
设，，则．
设，，则．
所以函数在上单调递增，则，即，
所以函数在上单调递增，则，所以．
再证：，，即证．
设，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．所以．
设，，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以．所以，即．
综上，得证．
故．
【变式4-4】已知函数，求证：.
【解析】由题意，当时，由，
则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以.
设，当时，，
当时，设，则，
所以在上是增函数，
所以，即，，所以，
而，所以，
综上，当时，．
【变式4-5】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，求证：.
【解析】（1）因为，所以，
当时，，则恒成立，所以在上单调递增；
当时，，
令，解得或（舍去），
令，解得；令，解得；
故在上单调递增，在上单调递减；
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）即，也即，也即.
设，则，令，解得，
又在上单调递增，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
设，则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，所以，
所以，
由题意，所以，
所以，得证.
题型五：对数单身狗，指数找朋友
【典例5-1】（2024·陕西榆林·三模）已知函数的导函数为.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明：.
【解析】（1），
当，即时，此时，，故在上单调递增.
当，即时，令，
则.
①当时，在上单调递增，在上单调递减.
②当时，，在上单调递减，在上单调递增.
（2）证明：当时，，
证原不等式等价于证，令，
则，且，故只需证，即证
令，则，
令，则，
由于，令则，
在上单调递增，在上单调递减.又，
当时，，即，当,时，，即，
在上单调递增，在上单调递减，
，
所以，当时，1.
【典例5-2】（2024·青海·模拟预测）已知质数，且曲线在点处的切线方程为．
(1)求m的值；
(2)证明：对一切，都有．
【解析】（1），，，
则有，，
解得；
（2）由，故，
要证对一切，都有，
即证对一切恒成立，
即证对一切恒成立，
令，
，
则当时，，则当时，，
即在、上单调递减，在上单调递增，
又，，
故对一切恒成立，即得证.
【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为（其中为自然对数的底数）．
(1)求实数的值．
(2)当时，证明：对，都有．
【解析】（1）由，
得．
所以．
又，所以曲线在点处的切线方程为．
由切线方程为，得．
（2）方法一
当时，设，
则．
设，
则．
设，
则．
令，则．
当时，；当时，．
所以函数即在上单调递减，在上单调递增．
又，
所以存在唯一的，使，且当时，，
当时，，故函数即在上单调递减，在上单调递增．
又，所以，
所以存在唯一的，使，且当时，，当时，，
故函数在上分别单调递增，在上单调递减．
因为，所以在上恒成立，当且仅当或时取等号，
即对，都有．
方法二 当时，记，
则要证，即证．
记，
则．
令，得．
因为，
所以当时，，当时，．
所以在上分别单调递减，在上单调递增．
又，所以在上恒成立，当且仅当或时取等号，
即对，都有．
【变式5-2】（2024·广西·模拟预测）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)证明：．
【解析】（1）函数的定义域为，
将代入，解得，即，
由切线方程，可知切线斜率，
故，
解得；
（2）由（1）知，
要证，即证．
设，
则，
令，解得，或（舍去），
当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，
所以，即．
【变式5-3】（2024·河北保定·三模）已知函数，为的极值点.
(1)求a；
(2)证明：.
【解析】（1），
依题意，，解得，
经检验符合题意，所以；
（2）由（1）可知，，
要证，即证，
设，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，
因为，，
所以.
题型六：放缩法
【典例6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最值．
(2)证明：（其中为自然对数的底数）．
【解析】（1）由题意知，定义域为，
从而．
所以当时，；当时，．
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
所以函数的最大值为，无最小值．
（2）欲证，只需证．
由（1）知，从而，当且仅当时取等号．
下面证明：．
设，则．
设，则．
设，则，
故当时，；当时，．
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
由于，
故设存在唯一的，使，
且当时，，当时，．
故函数在上单调递减，在上单调递增．
又，
所以存在唯一的，使，
故当时，；当时，．
从而函数在上分别单调递增，在上单调递减．
因为，
所以在上恒成立，当且仅当时取等号．
因为取等条件不相同，所以恒成立，
即成立．
【典例6-2】已知函数，为的导函数．
(1)求函数的零点个数；
(2)证明：．
【解析】（1）由题知，，令，
而恒成立，故在单调递增．
又，，故，
由零点存在性定理可知一定存在，使得，
综合函数单调性可知，函数有且仅有1个零点．
（2）当时，，
令，而，当时，恒成立，
故在上单调递增，且，故，成立
令，而，令，，
令，，故在上单调递增，在上单调递减，
故最大值为，且，故，即，
故得证，∴，不等式得证；
当时，即证．
令，，
则当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
则①，
令，，
则当时，单调递减；时，单调递增．
则②．
由①②可知，，故不等式得证．
【变式6-1】（2024·江苏徐州·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：.
【解析】（1）当时，，，
则，又因为，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）当时，有，所以，
因为，
所以.
令，
则，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以.
故.
【变式6-2】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数，为的导数
(1)讨论的单调性；
(2)若是的极大值点，求的取值范围；
(3)若，证明：．
【解析】（1）由题知，
令，则，
当时，在区间单调递增，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
（2）当时，，
由（1）知，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
所以是函数的极小值点，不符合题意；
当时，，且，
由（1）知，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
所以是函数的极小值点，不符合题意；
当时，，则当时，在上单调递增，
所以无极值点，不合题意；
当时，，且；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
所以是函数的极大值点，符合题意；
综上所述，的取值范围是.
（3）要证，
只要证，
只要证，，
因为，则，
所以只要证对任意，有，
只要证对任意，有（※），
因为由（2）知：当时，若，则，
所以，即①，
令函数，则，
所以当时，所以在单调递增；
则，即，
由①②得，
所以（※）成立，
所以成立.
【变式6-3】（2024·辽宁大连·模拟预测）定义：若曲线或函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为曲线或函数的图象的“自公切线”.
(1)设曲线C：，在直角坐标系中作出曲线C的图象，并判断C是否存在“自公切线”？（给出结论即可，不必说明理由）
(2)证明：当时，函数不存在“自公切线”；
(3)证明：当，时，.
【解析】（1）曲线C：，当时，，表示以点为圆心，半径为的部分圆弧，当时，，表示以点为圆心，半径为的半圆圆，从而图象如下：
由图象可知，存在“自公切线”；
（2）由题意，，下面只需证明在上单调即可，
令，则，
当时，，此时单调递减，即单调递减；
当时，，此时单调递减，即单调递减；
综上所述，当时，在上单调递减，
所以在不同点处的切线斜率不同，所以图象不存在“自公切线”，得证.
（3），，
故只需证明，
即只需证明，
构造函数，则，
当时，，从而在上单调递减，
所以，即，
故只需证，
设，注意到，
，注意到，
令，则由（2）知，，
且由（2）知，在上单调递减，所以，
从而在上单调递减，所以，
所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，即，
从而，当，时，.
【变式6-4】已知函数，证明：当时，.
【解析】因为，所以，解得，即函数的定义域为，
令，可得，
所以在单调递增，所以，即，
要证不等式，
只需证明，
又由函数，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，即，即，当且仅当时，等号成立，
所以，当时，，只需证明：，即，
即，即，令，可得，
设，可得，令，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，所以，所以，当且仅当时，等号成立，
易知在单调递增，故方程有唯一解.
又由以上不等式的等号不能同时成立，所以.
题型七：虚设零点
【典例7-1】（2024·山东济南·二模）已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)证明：.
【解析】（1）由题意可得：的定义域为，，
当时，则在上恒成立，
可知在上单调递减；
当时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）构建，
则，
由可知，
构建，
因为在上单调递增，则在上单调递增，
且，
可知在上存在唯一零点，
当，则，即；
当，则，即；
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，
又因为，则，，
可得，
即，所以.
【典例7-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若，讨论的单调性．
(2)若，，求证：．
【解析】（1）当时，，定义域为，
则．
设，则，
所以在上单调递增，且，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为，
所以．
因为，所以在上单调递增，且．
①若，则，
所以当时，恒成立，单调递增．
又，
所以；
②若，则，，
所以存在，使得，即．
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以．
因为在上单调递减，
所以，
所以．
综上所述，当，时，．
【变式7-1】已知函数.
(1)若在定义域内不单调，求a的取值范围；
(2)证明：若，且，则.
【解析】（1）的定义域为，.
若，则，所以在上单调递增；
若，则当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在定义域内不单调时，a的取值范围为.
（2）记，则，
因为是上的减函数，且，，
由正切函数的性质可知，当时，为增函数，
当时，为减函数，所以是的极大值点.
令，则，所以是上的增函数，
故，所以当时，，
令，则，由，得，
时，是减函数，时，是增函数，
所以，即，
所以，
下面证明，令，即证，即，
设，则，所以是上的增函数，
所以时，，成立，命题得证.
【变式7-2】（2024·高三·辽宁丹东·开学考试）已知函数.
(1)求函数的最小值；
(2)求证：.
【解析】（1）因为函数，所以，
记，，
所以在上单调递增，且，
所以当时，，即，所以在单调递减；
当时，，即，所以在单调递增，且，
所以.
（2）要证，
只需证明：对于恒成立，
令，则，
当时，令，
则，在上单调递增，
即在上为增函数，
又因为，，
所以存在使得，由，
得即即即，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以，
即.
【变式7-3】（2024·河北张家口·三模）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)证明：．
【解析】（1）的定义域为，
因为，所以曲线在点处的切线斜率为，
又，所以切线方程为，即.
（2），
令，则，
因为，
所以存在，使得，即，
易知在上单调递增，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
所以当时，取得最小值：
，
由二次函数性质可知，在上单调递减，
所以，即，
所以.
【变式7-4】（2024·山东威海·二模）已知函数．
(1)求的极值；
(2)证明：．
【解析】（1）由题意得的定义域为，
则，
当时，，在上单调递增，无极值；
当时，令，则，令，则，
即在上单调递增，在上单调递减，
故为函数的极大值点，函数极大值为，无极小值；
（2）证明：设，
，令，
则，即在上单调递增，
，
故，使得，即，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故
即，即，则.
题型八：同构法
【典例8-1】已知函数，．
（1）讨论的单调区间；
（2）当时，证明．
【解析】解：（1）的定义域为，
，
①当时，，此时在上单调递减，
②当时，由可得，由，可得，
在上单调递减，在，上单调递增，
③当时，由可得，由，可得，
在上单调递增，在，上单调递减，
证明（2）设，则，
由（1）可得在上单调递增，
（1），
当时，，
当时，，
在上单调递减，
当时，，
，
，
．
【典例8-2】已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：在上恒成立；
（3）求证：当时，．
【解析】（1）解：函数的定义域为，，
令，即，△，解得或，
若，此时△，在恒成立，
所以在单调递增．
若，此时△，方程的两根为：
，且，，
所以在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增．
若，此时△，方程的两根为：
，且，，
所以在上单调递增．
综上所述：若，在单调递增；
若，在，上单调递增，
在上单调递减．
（2）证明：由（1）可知当时，函数在上单调递增，
所以（1），所以在上恒成立．
（3）证明：由（2）可知在恒成立，
所以在恒成立，
下面证，即证2 ，
设，，
设，，
易知在恒成立，
所以在单调递增，
所以，
所以在单调递增，
所以，
所以，即当时，．
法二：，即，
令，则原不等式等价于，
，令，则，递减，
故，，递减，
又，故，原结论成立．
【变式8-1】（2024·甘肃定西·一模）设函数，
(1)证明：.
(2)当时，证明：.
【解析】（1）因为，其定义域为，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，证毕.
（2）当时，，
而，
要证，即证，即证，
设，则，
当时，，则在上单调递增，
且，
当时，，故只需证明，
由（1）知，在上成立，
故，即成立.
【变式8-2】（2024·甘肃白银·三模）设函数，．
(1)讨论的单调性．
(2)证明：．
(3)当时，证明：．
【解析】（1）因为，易知定义域为，，
由，得到，由，得到或，
所以的增区间为，减区间为，.
（2）因为，易知定义域为，，
当时，，当时，，
即在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以.
（3）由（2）知，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，
要证明，即证明，
令，则在区间上恒成立，
又，所以，所以，命题得证.
【变式8-3】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数（）.
(1)求在区间上的最大值与最小值；
(2)当时，求证：.
【解析】（1）（）（），
令，则，
当时，，所以在区间上恒成立，在区间上单调递增，
所以，.
当时，，则当时，，在区间上单调递减；
当时，，在区间上单调递增，
所以，
而，.所以
综上所述，当时，，；
当时，所以，.
（2）方法一：隐零点法
因为，，所以，欲证，只需证明，
设，（），，
令，易知在上单调递增，
而，，
所以由零点的存在性定理可知，存在唯一的使得，
即，因此，，
当时，，，在上单调递减；
当时，，，在上单调递增；
所以
所以，因此.
方法二：（同构）
因为，，所以，欲证，只需证明，
只需证明，
因此构造函数（），
，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增：
所以，所以，
所以，
因此.
【变式8-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的方程；
(2)若，求证：当时，．
【解析】（1）由题意知，，则，即．
因为切线与直线垂直，
所以直线的斜率为1，得，
则，
故的方程为，即．
（2）解法一 由题知，
当时，，故只需证．
令，则，
，在上单调递增，且，，
所以在上有唯一零点，
设该零点为，则，且，
所以．
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增．
所以，
所以，故当时，．
解法二 由题知，
当时，，
故只需证，
即证．令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以，即，当且仅当时取等号．
易知函数的值域为，
所以，
当且仅当时取等号，
故当时，．
题型九：泰勒展式和拉格朗日中值定理
【典例9-1】证明不等式：．
【解析】设，则，
，
代入的二阶泰勒公式，有，
．
所以原题得证．
【典例9-2】已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若，对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时．若正实数，满足，，，，证明：．
【解析】解：（1），，△，
①时，恒成立，
故函数在递增，无递减区间，
②时，或，
故函数在，，递增，在，递减，
综上，时，函数在递增，无递减区间，
时，函数在，，递增，在，递减，
（2），对，恒成立，
即，时，恒成立，
令，，则，
令，
则，在递减且（1），
时，，，递增，
当，，，递减，
（1），
综上，的范围是，．
（3）证明：当时，，
，不妨设，
下先证：存在，，使得，
构造函数，
显然，且，
则由导数的几何意义可知，存在，，使得，
即存在，，使得，
又为增函数，
，即，
设，则，，
①，
②，
由①②得，，
即．
【变式9-1】（2024·河南周口·模拟预测）已知函数．
(1)求函数在区间上的极值点的个数．
(2)“”是一个求和符号，例如，，等等．英国数学家布鲁克·泰勒发现，当时，，这就是麦克劳林展开式在三角函数上的一个经典应用．
证明：（i）当时，对，都有；
（ii）．
【解析】（1），
令，则，
当时，，，则在上恒成立，
故在上单调递减，即有在上单调递减，
则，
故函数在区间上没有极值点；
（2）（i）令，其中，，
则，
又当时，，
则
，
即，
令，
则，
令，
则，
由，故，又，
故恒成立，即在上单调递增，
故，即在上恒成立，
即在上单调递增，故，
即在上恒成立，故在上单调递增，
则，即；
（ii）由，，
故要证，即证，
即证，只需证，
由（1）知，当时，，
则可令，此时，
则，即，
即，即，
故只需证，
令，，则，
由（i）知，当时，，
即，即，故在上单调递增，
故，即，即得证.
【变式9-2】英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式.
(1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
(2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）；
(3)设，证明：.
【解析】（1）令，则，，
，，
故，，，，，
由麦克劳林公式可得，
故．
（2）结论：，证明如下：
令，，则
令，则，
故在上单调递增，，则
故在上单调递增，，
即证得，故．
（3）由（2）可得当时，，
且由得，当且仅当时取等号，
故当时，，，
，
而
，
即有
故
而，
即证得．
【变式9-3】阅读材料一：“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利（Jhann Bernulli，1667～1748）的儿子丹尼尔·伯努利提出来的，大意如下：一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封，他把这封信都装错了信封，问都装错信封的这一情况有多少种？后来瑞士数学家欧拉（Lenhard Euler，1707～1783）给出了解答：记都装错封信的情况为种，可以用全排列减去有装正确的情况种数，结合容斥原理可得公式：，其中．
阅读材料二：英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处阶可导，则有：，注表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．阅读以上材料后请完成以下问题：
(1)求出的值；
(2)估算的大小（保留小数点后2位），并给出用和表示的估计公式；
(3)求证：，其中．
【解析】（1）因为，
所以，
，
，
所以．
（2）由麦克劳林公式，令，有
再取，可得，
所以估算值为．
在中，取，可得.
（3）证明：由麦克劳林公式，当时，令，有，猜想：
令，有，猜想：
令，由，所以，即．
令，由，
再令，则恒成立，
所以在上为增函数，且，
所以在上为增函数，
所以，即．
又时，，，所以.
令， 当，有，
则，命题得证．
题型十：分段分析法、主元法、估算法
【典例10-1】已知函数．
（1）讨论函数的导函数的单调性；
（2）若，求证：对，恒成立．
【解析】（1）由已知可得，，设，
则．
当时，有恒成立，所以，即在R上单调递增；
当时，由可得，．
由可得，，所以，即在上单调递减；
由可得，，所以，即在上单调递增．
综上所述，当时，在R上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）因为，所以对，有．
设，则．
解可得，或或．
由可得，，所以，函数在上单调递增；
由可得，或，所以，函数在上单调递减，在上单调递减．
所以，在处取得极大值，在处取得极小值．
又，所以，即．
所以，有，
整理可得，，
所以，有，恒成立．
【典例10-2】已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当，且时，．
【解析】（1），，
①当，即时，，在区间单调递增．
②当，即时，
令，得，令，得，
所以在区间单调递增；在区间单调递减．
③当，即时，
若，则，在区间单调递增．
若，令，得，令，得，
所以在区间单调递减；在区间单调递增．
综上，时，在区间单调递增；在区间单调递减；
时，在区间单调递增
时，在区间单调递减、在区间单调递增．
（2）证明：要证，即证，
即证．
令，，则，
所以在区间单调递增，所以时，，
即时，．
令，，则在时恒成立，
所以，且时，单调递增，
因为时，，，且，
所以，且时，，即．
所以，且时，．
【变式10-1】若定义在上的函数满足，，．
（Ⅰ）求函数解析式；
（Ⅱ）求函数单调区间；
（Ⅲ）若、、满足，则称比更接近．当且时，试比较和哪个更接近，并说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）根据题意，得（1），
所以（1）（1），即．
又（1），
所以．
（Ⅱ），
，
①时，，函数在上单调递增；
②当时，由得，
时，，单调递减；
时，，单调递增．
综上，当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（Ⅲ）解：设，，
，
在，上为减函数，又（e），
当时，；当时，．
，，
在，上为增函数，又（1），
，时，，
在，上为增函数，
（1）．
①当时，，
设，
则，
在，上为减函数，
（1），
当，
，
，
比更接近．
②当时，，
设，则，，
在时为减函数，
（e），
在时为减函数，
（e），
，
比更接近．
综上：在且时时，比更接近．
【变式10-2】已知函数，其中，为自然对数的底数．
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，，．
【解析】解：（1）当时，，
则，
，
故
则在上单调递减．
（2）当时，，
要证明对任意的，，．
则只需要证明对任意的，，．
设（a），
看作以为变量的一次函数，
要使，
则，即，
恒成立，①恒成立，
对于②，令，
则，
设时，，即．
，，
在上，，单调递增，在上，，单调递减，
则当时，函数取得最大值
，
故④式成立，
综上对任意的，，．
题型十一：割线法证明零点差大于某值，切线法证明零点差小于某值
【典例11-1】（2024·河南·模拟预测）已知，函数的图象在点处的切线方程为.
(1)求a，b的值;
(2)若方程（e为自然对数的底数）有两个实数根，且，证明：
【解析】（1）因为，所以，
由题意知，所以，
联立方程组，解得.
（2）由（1）可知，，
，设，
，
所以即在上单调递增.
又，所以存在，使得，
且时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
设，令，
则，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增.
又，所以当时， ，当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
故，即，当且仅当时，等号成立.
因为方程有两个实数根，且，
也就是，且注意到在上单调递增，
所以，
所以，即 .
设 的根为：，则 ，
又在上单调递增，所以 ，
故①.
易知的图象在坐标原点处的切线方程为，
令，
则 ，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增.
又 ，
所以当时， ，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，，当且仅当时，等号成立.
因为，所以，即.
设的根为，则，
又在上单调递减，
所以，所以，
从而②.
由①②可知：.
【典例11-2】已知函数.
(1)求函数的单调性；
(2)若有两个不相等的零点，且.
①证明：随的增大而增大；
②证明：.
【解析】（1）由可得，
令，故在单调递增，
令，故在单调递减，
故在单调递增，在单调递减
（2）①由于有两个不相等的零点，且.
所以是的两个实数根，
由（1）知，在单调递增，在单调递减，且，
当时，，当时，，
故，
对任意的，设，
则其中
其中
由于在单调递减，，故，所以，
在单调递增，，故，所以，
又，所以，
所以，故随的增大而增大；
②设，
令，则；
令在单调递增，
在单调递减，
故，故在恒成立，
此时恒成立，
由①知所以，即，
令，
记，则，
当时，，在单调递减，
时，，在单调递增，
故，进而，
因此，
所以，故，即，进而，
又因为，
所以，得证
【变式11-1】（2024·重庆·模拟预测）已知函数．
(1)求证：；
(2)若是的两个相异零点，求证：．
【解析】（1）令，则．
令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，所以．
（2）易知函数的定义域是．
由，可得．
令得；令得．
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
①当，即时，至多有1个零点，故不满足题意．
②当，即时，．
因为在上单调递增，且．所以，
所以在上有且只有1个零点，不妨记为，且．
由（1）知，所以．
因为在上单调递减，，
所以在上有且只有1个零点，记为，且．
所以，所以．
同理，若记
则有，
综上所述，．
题型十二：函数与数列不等式问题
【典例12-1】（2024·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数．
(1)证明：时，；
(2)证明：．
【解析】（1）证明：要证，只要证，
即证时，，
令，
则，
所以在上单调递增，
所以，所以时，，
所以时，．
（2）证明：由（1）知，
令得，即，
所以，
，
，
……，
，
所以
，
即．
【典例12-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数
(1)若函数在内点处的切线斜率为，求点的坐标；
(2)①当时，求在上的最小值；
②证明：．
【解析】（1）设点.
由于，则，得，
则，且，所以点的坐标为.
（2）①，
则，记，
则
易知在上单调递减，且,
，即，
所以，当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
因为，
所以时，，在单调递增，
所以，当时，取得最小值.
②由①可知，时恒成立，即恒成立.
设，则，
当时，，在上单调递增，
所以，所以，
又，所以，
取，则，
，得证.
【变式12-1】（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数，且在上的最小值为0.
(1)求实数的取值范围；
(2)设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质.
（i）求证：函数在上具有性质；
（ii）记，其中，求证：.
【解析】（1），，，
，，令
，等号不同时取，
所以当时，，在上单调递增，
①若，即，，在上单调递增，
所以在上的最小值为，符合题意.
②若，即，此时，
，
又函数在的图象不间断，
据零点存在性定理可知，存在，使得，
且当时，，在上单调递减，
所以，与题意矛盾，舍去.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）（i）由（1）可知，当时，.
要证函数在上具有性质.
即证：当时，.
即证：当时，.
令，，则，
即，，，
所以在上单调递增，.
即当时，，得证.
（ii）法一：由（i）得，当时，，
所以当时，.
下面先证明两个不等式：①，其中；②，其中.
①令，，则，在上单调递增，所以，即当时，.
②令，，则，
所以在上单调递增，故，
即当时，，故，得.
据不等式②可知，当时，，
所以当时，.
结合不等式①可得，当时，
.
所以当时，
当，时，，有.
所以.
又，
所以
法二：要证：.
显然，当时，，结论成立.
只要证：当，时，.
即证：当，时，.
令，.
所以，，
所以，在上单调递减，
所以，在上单调递增，
所以，在上单调递增，
所以，即当时，.
所以当，时，，有，
所以当，时，.
所以
【变式12-2】（2024·天津·模拟预测）已知函数．
(1)求在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：．
【解析】（1），有，
因为，所以，
则曲线在点处的切线方程为．
（2）因为，的定义域为，
所以是的极大值点，因为，
所以，所以，
需验证，当时，恒成立即可，
因为，
令，则，
①当时，，则在上单调递减，
所以在上单调递增，，
②当时，，则在上单调递减，所以，
综上，符合题意．
所以恒成立时，.
（3）由（2）可知，，当且仅当时取等号，
当时，，所以，
，
因为
，
所以即证，
令，则，当时，，，
所以即证：，
令，则，
所以时，单调递减，
所以，即，
综上，.
【变式12-3】（2024·湖南衡阳·三模）已知正项数列的前项和为，首项.
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若函数，正项数列满足：.
（i）证明：；
（ii）证明：.
【解析】（1）正项数列中，，，，当时，，
两式相减得，即，
而，则，因此数列是首项为1，公差为2的等差数列，
所以数列的通项公式为.
（2）（i）令，求导得，当时，，当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增，则，即，
于是，
即，即，
当时，，
当时，因此，
所以
（ii）由已知，所以，得，
当时，，于是，
当时，，
又，所以，恒有，当时，，
由，得当时，，
则当时，，
从而
，
于是，
所以.
题型十三：三角函数
【典例13-1】（2024·全国·三模）已知函数在处的切线方程为.
(1)求a的值；
(2)证明：.
【解析】（1）由题意可得函数的定义域为，
又，函数在处的切线方程为，其斜率为，
得：，解得.
（2）注意到，且，
则，，
令，则.
令，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增.
因为，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，即，
所以在上单调递增.
因为，所以当时，；当时，，
所以.
【典例13-2】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数，
(1)求的最小值；
(2)证明：.
【解析】（1）令，由可知，
构建，
则在内恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以的最小值为1.
（2）由（1）可知：，即，
又因为，则，
可得，则，
构建，，则在内恒成立，
可知在内单调递增，则，
即，可得，
注意到，则，
所以.
【变式13-1】（2024·四川广安·二模）已知函数.
(1)若存在极值，求的取值范围；
(2)若，，证明：.
【解析】（1）由，，得，
当时，，则单调递增，不存在极值；
当时，令，则，
当，则，即在上单调递减，
当，则，即在上单调递增.
所以是的极小值点，
所以当时，存在极值，
综上所述，存在极值时，的取值范围是.
（2）欲证不等式在时恒成立，
只需证明在时恒成立.
设，，
则，
令，，
则.
当时，，所以，
所以即在上单调递增，
所以，
因为，所以，
故，所以在上单调递增，
所以，
即当，时，不等式恒成立.
【变式13-2】已知函数，（为自然对数的底数）．
(1)求曲线在处的切线方程
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的最大值；
(3)证明：．
【解析】（1）函数，，，
，，
所以曲线在处的切点坐标为，切线斜率为0，
切线方程为.
（2）
，
因为，所以，
则，，所以函数在上单调递减.
，，
所以函数的值域为.
若不等式对任意恒成立，
则实数的最小值为，所以实数的最大值为.
（3），
设，则，
令，则，所以在上单调递增，
，，
则有，，
故存在，使得，即，
所以当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，
故函数，
，，
故，
所以
即.
【变式13-3】（2024·广东湛江·二模）已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，，且，证明：.
【解析】（1）由，得，
则，，.
故曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）证明：由，，且，不妨设，，，
则证明等价于证明，，
即证，从而构造函数，利用其调性证明结论.
令，则，当时，，在单调递减，
故，，即，，
则
，
要证，
只需证.
令，则，
令，得.
令，，则，
令，，则在上恒成立，
则，则在上恒成立，则在上单调递增.
当时，，则，
则，在单调递减，
当时，，则，
则，在单调递增.
因为，所以，即在上恒成立，
从而.
1．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数，其中．
(1)若，证明：时，；
(2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的值；
(3)已知数列的通项公式为，求证：．
【解析】（1）由题意可知：等价于，其中．
构建，
则，
可知在上单调递减，则时，，
所以时，．
（2）由题意可知：，
则
①若，则，由可得，
可知在上单调递减，不合题意；
②若，则，
可知上为增函数，符合题意；
③若，则，由可得，
可知在上单调递减，不合题意；
综上所述：．
（3）由（2）知：在上单调递增，
所以时，，即，
由（1）知：时，，
则，
所以时，，
令得：，
即，
因为，
所以，
由知：，又因为，
所以，
所以．
2．（2024·湖南长沙·三模）已知函数．
(1)判断并证明的零点个数
(2)记在上的零点为，求证;
（i）是一个递减数列
（ii）．
【解析】（1）当为奇数时，有1个零点；当为偶数时，有2个零点.
证明如下：
当时，由，得，
所以函数在上单调递增，又，，
所以函数在内有唯一零点；
当时，，
若为奇数，，则，此时在内无零点；
若为偶数，设，
则，方程有一个解，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
且，此时在内有1个零点.
综上，当为奇数时，有1个零点；当为偶数时，有2个零点.
（2）（i）由（1）知，当时，在在内的零点，
当时，，，
则，
故，所以数列是一个递减数列；
（ii）由（i）知，当时，，
当时，，
有，所以，求和可得
，当且仅当时等号成立；
当时，，
故，则，得，
即，即，即，
即，即，
即，当时，，
所以当时，均有成立，求和可得
.
综上，.
3．（2024·山东·模拟预测）已知函数，其中．
(1)当时，判断的单调性；
(2)若存在两个极值点．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：时，．
【解析】（1）函数的定义域为，
则，
令，，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即最小值，所以，
所以在上恒成立，
所以在上单调递增；
（2）（ⅰ）由（1）可知在上的最小值为，
当时，当时，
若存在两个极值点，则有两个不相等的实数根，
所以，解得，
又，所以，
且当时，即，则单调递增，
当时，即，则单调递减，
当时，即，则单调递增，
所以为的极大值点，为的极小值点，
因为，所以，
要证，即证，又，
只需证，
即证，即证，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即成立，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
且当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，
令，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，
所以.
4．已知，.
(1)若，判断函数在的单调性；
(2)设，对，，有恒成立，求k的最小值；
(3)证明：..
【解析】（1）由题意，函数，.
则，又，故，而，
所以，故在上单调递增.
（2）由题意知，，对，，有恒成立.
，设，则，
由于，故，时，单调递增，
又，，因此在内存在唯一零点，使，即，且当，，，单调递减；
，，，单调递增.
故，
故，由于，则，
故，即，
设，，，
又设，故在上单调递增，
因此，即，在上单调递增，
，又，所以，故所求k的最小值为2.
（3）由（1）可知时，，即，
设，则，
因此，
即，得证.
5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求实数的值；
(2)求证：．
【解析】（1）由题意，得，
由函数在上单调递增，得在上恒成立，
令，则，
当时，因为，所以恒成立，
则在上单调递增，又，所以恒大于等于0不成立.
当时，由得，
所以当，当，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
若恒成立，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时，.
综上，若函数在上单调递增，则.
（2）由（1）得，当时，恒成立，
即，当且仅当时等号成立，
令，则，
所以
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，
故当时，，即，
所以，
所以 ，
故得证.
6．（2024·河北·三模）已知函数．
(1)若在恒成立，求实数a的取值范围；
(2)证明：．
【解析】（1）在恒成立．
构造函数，则在恒成立．
当时，，所以在递增，
所以，矛盾，故舍去
当时，由得，所以在递增，
故，均有，矛盾，故舍去
当时，，所以在递减，
所以，满足题意；
综上，实数a的取值范围为
（2）由（1）知当时，恒成立，
即在恒成立
且当且仅当时取等号．
所以当时，可得
同理，，，
两边分别累加得：
即
即
7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数．
(1)求的值域；
(2)求证：当时，．
【解析】（1），，
令，则，，
则，
令，，则，
所以函数在上单调递增，所以，即，
故的值域为．
（2）令函数，，则，
所以在上单调递增，所以，
故当时，，所以．
由（1）知，当1时，
所以当时，，
所以，
令，其中，，2，3，，n，
则，
所以，，
，，，
以上n个式子相加得
，
即当时，．
8．已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
【解析】（1）当时，，，
则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以在处取到极大值，无极小值.
（2）因为，恒成立，所以恒成立，
令，则，
令，则恒成立，
即在区间上单调递减，
所以，即，所以时，，
所以在区间上单调递减，故，所以，
所以实数的取值范围为.
（3）由（2）可知，取，当时，，所以，
取，则有，即，
所以
将上述式子相加得
即
9．已知，函数，．
(1)若函数的最小值是0，求实数m的值；
(2)已知曲线在点处切线的纵截距为正数．
（ⅰ）证明：函数恰有两个零点；
（ⅱ）证明：．
【解析】（1）因为，则，且，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则的最小值为，解得.
（2）由（1）可知：，，
可得，，
即切点坐标为，斜率，
则切线方程为，令，可得，
由题意可得：，且，解得；
（i）因为，
可知的定义域为，，
设，则在内恒成立，
可知函数在上递增，
由（1）可知：当时，，
即，当且仅当时，等号成立，
则，
可得，
又因，由零点的存在性定理可得，
存在，使得，即，（*）
当时，，即，为减函数，
当时，，即，为增函数，
又因为，，
设，则，
所以函数在上递增，
所以，即，
因为，所以，即，所以，
则，
所以，且，
当时，，
所以由的单调性可知，且，
所以当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
所以由零点的存在性定理可知，在区间上存在唯一的零点，
，且，
所以由零点的存在性定理可知，在区间上存在唯一的零点，
所以函数恰有两个零点，
（ii）因为，即，
则，
所以，
有基本不等式可得，
当且仅当，即时，取等号，
由，由可得，这与矛盾，所以，
所以，
要证，即证，
设，
则
所以函数在上递减，
所以当时，，
因为，所以，
所以，
又，所以.
10．（2024·河北邢台·二模）已知函数，
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：.
【解析】（1）此时，故.
所以，，故所求切线经过点，斜率为.
故该切线的方程为，即.
（2）结论即为.
设，则.
故当即时，当即时.
所以在上递增，在上递减，从而的最大值就是，且恰在时取到.
所以的取值范围是.
（3）由（2）的结论，知当正数时，有，故.
从而
.
11．（2024·广东广州·三模）已知函数．
(1)求的极值；
(2)已知，证明：．
【解析】（1）由题意知：定义域为，；
①当时，，，
在上单调递增，无极值；
②当时，令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.
（2）令，则，
由（1）知：，，即，
令，则且，，，
取，则，即，
令，则，
在上单调递增，，即，
，
即.
12．已知函数．
(1)证明：．
(2)已知，证明：．
【解析】（1）函数的定义域为R，，
由得，由得，
故在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故的最小值是，所以．
（2）由（1）得，．令，其中，则，即，
令，则，
所以，．
令，则且不恒为零，
所以函数在上单调递增，故，则．
所以，．
所以
，问题得证．
13．已知函数．
(1)求函数的最大值．
(2)证明：当且时，．
【解析】（1）易知函数的定义域为．
因为，所以．
因为，所以当时，．
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减．
所以当时，．
（2）由（1）得，变形得，
当时等号成立．所以令，得，即；
令，得，即；
令，得，即．
所以当且时，．
由（1）得，变形得，当等号成立．
所以令，得，即；
令，得，即．
令，得，即．
所以当且时，．
又因为，所以当且时，．
14．（2024·贵州黔东南·二模）已知函数在处的切线为轴.
(1)求实数的值；
(2)若，证明：.
【解析】（1）由题可得，，
，
.
（2）证明：由（1）可知：，
函数在上单调递增，
当时，，
，，，
，即，
，
.
15．（2024·福建莆田·三模）已知函数，其中.
(1)当时，，求的取值范围.
(2)若，证明：有三个零点，，（），且，，成等比数列.
(3)证明：（）.
【解析】（1）（解法一）由题意可知的定义域为，
，
设，其中.
①当，即时，，所以，单调递增，
所以当时，，故满足题意；
②当，且，即时，，
所以，单调递增，
所以当时，，故满足题意；
③当，且，即时，
设的两根为，，
解得，，
则当时，，所以，单调递减，
则，故不满足题意 .
综上，的取值范围是 .
（解法二）由题意可知的定义域为，
，
因为，，所以，解得，
以下证明满足题意.
由可知，，所以当时，，
设，，所以为递增函数，
所以，所以，
综上，a的取值范围是.
（2）由（1）可知，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，，
取，，
（其中，所以，即），
取，.
（其中，所以，即），
所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且，
所以，，
又，所以也是函数的零点，
显然且，所以，即，所以，所以，，成等比数列.
（3）由（1）可知当时，为单调递增函数，
所以当时，，即，
整理得，即，
所以（），
则（），
故（）.
16．（2024·广东揭阳·二模）已知函数.
(1)当时，证明：是增函数.
(2)若恒成立，求的取值范围.
(3)证明：（，）.
【解析】（1）当时，，定义域为，
则.
令，则在上恒成立，
则在上单调递增，
则，故在上恒成立，是增函数.
（2）当时，等价于，
令，则，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以.
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，所以，即，故的取值范围为.
（3）证明：由（2）可知，当时，有，则，
所以，…，，
故.
17．已知函数.
(1)证明：，总有成立；
(2)设，证明：．
【解析】（1）令，则因为，，
令，则，
又令，则，
当时，在上单调递减，所以，
所以时，在上单调递减，
所以，即，总有成立；
（2）由（1）知即对任意的恒成立.
所以对任意的，有，整理得到：，
故，
故不等式成立.
18．求证：．
【解析】令，由于，
因此在上单调递减，
不妨令，于是，即，
即，所以，
又，所以，
可得，
所以，
令，，则，
所以，
所以
，
即．
19．（2024·河南·二模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意恒成立，求的取值范围；
(3)证明：.
【解析】（1）由，有.
当时，，
所以在上单调递减；
当时，有，
故当时，当时.
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）先证明一个结论：对任意实数都有，且不等号两边取等当且仅当.
证明：设，则，
从而当时有，当时有.
从而在上递减，在上递增，
故，即，且等号只在时成立，这就证明了结论.
回到原题.
代入的表达式，将题目中的不等式等价变形为.
整理得到，故我们要求的取值范围使得对恒成立.
一方面，若该不等式恒成立，则特别地对于成立，即，从而；
另一方面，若，则对，利用之前证明的结论可以得到，再取对数又能得到，
所以，故原不等式对任意恒成立.
综上，的取值范围是.
（3）对，由于，故由（2）证明的结论，有，再取对数得到.
所以
，这就证明了结论.
20．已知函数 （），.
(1)求函数的极值；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
(3)求证：时，.
【解析】（1），
当，恒成立，无极值；
当时，令，解得，
所以在单调递减；在上单调递增；
所以极小值为；
因为恒成立，所以在上单调递增，
所以无极值.
（2）因为对任意的恒成立，
即对任意的恒成立.
设，注意到，
，令，
则在为增函数，且，
所以恒成立，即单调递增，
其中，
若，则恒成立，此时单调递增，又，
所以恒成立，
即在上恒成立，即结论成立；
若，则，
又，
故由零点存在性定理可知，在内存在，使得，
当时，，所以单调递减，又，
所以当时，，即，不合题意，舍去；
综上：实数的取值范围是.
（3）构造函数，，
，
令，
则，
当时，恒成立，
所以在上单调递增，
所以，故在单调递增，
，即，
构造函数，，
，
所以在上为单调递增，
所以，即，
所以，
即时，，证毕.
21．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若函数有两个极值点，求的取值范围；
(2)若曲线在点处的切线与轴垂直，求证：．
【解析】（1）由题，，
函数的定义域为，
，
因为有两个极值点，
所以方程有两个不相等的正实根，
设为，且，得，
且，得．
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减．
所以在处有极小值，在处有极大值，
因此的取值范围是．
（2）因为，则，
由题意知，得，
故，所以，
即，
即．
令，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以．
令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以．
显然与不同时为0，
所以，故.