新高考数学重点专题二轮复习真题演练专题二十五 新高考数学模拟卷（二）（2份，原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合.
【详解】因为或，故，
又因为，则.
故选：C.
2．已知为虚数单位，、，复数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用复数的除法以及复数相等求出、的值，即可得出结果.
【详解】因为，所以，，，
因此，.
故选：A.
3．在所在平面内，是延长线上一点且，是的中点，设，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用 、表示即可判断作答.
【详解】在所在平面内，在延长线上，且，则，又是的中点，
所以.
故选：C
4．已知函数的最小正周期为，若将其图象向右平移个单位长度后关于轴对称，则的解析式可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】先根据函数图象的平移得到平移后函数图象对应的解析式，再根据其图象关于轴对称及得到的值，进而可得函数可能的解析式．
【详解】解：由题意知．
将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，
因为其图像关于轴对称，
所以．
又，
所以．
即，
由诱导公式知，
故选：B．
【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移、三角函数图象的对称性等，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养．
5．在这个正整数中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得公差，进一步确定满足题意的可能情况数，再由古典概型概率公式计算即可．
【详解】因为三个数成递增等差数列，设为，
按题意必须满足， ，
若给定了，则可以取 ，
故三数成递增等差数列的个数为，
所以三数成递增等差数列的概率为 ，
故选：C．
6．菠萝眼常有两种剔除法：用图甲所示的去眼刀逐个挖掉菠萝眼，或者用图乙所示的三角刀沿着菠萝眼挖出一条一条的螺旋线现有一个波萝准备去眼，假设：该菠萝为圆柱体，菠萝有个菠萝眼，都均匀的错位排列在侧面上如图甲若使用去眼刀，则挖出的每一个菠萝眼可看成侧棱为，且侧棱与底面成夹角的正四棱锥若使用三角刀，可挖出根螺纹条，其侧面展开图如图丙所示，设螺纹条上两个相邻菠萝眼，的距离为若将根螺纹条看成个完全一样的直三棱柱，每个直三棱柱的高为，其底面为等腰三角形，该等腰三角形的底边长为，顶角为，则当菠萝眼的距离接近于（ ）时，两种刀法留下的菠萝果肉一样多参考数据：
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据棱锥及棱柱的体积的计算公式即可得到答案．
【详解】欲使留下的果肉一样多，只需两种刀法下削掉的菠萝果肉的体积一样大．
若用去眼刀削菠萝，削掉的每个菠萝眼视为一个正四棱锥，
该锥体的高为，底面对角线长为，
故正四棱锥的体积为，
菠萝眼共有个，故用去眼刀去掉的菠萝果肉的体积为，
若用三角刀削菠萝削掉的每根螺纹条视为一个直三棱柱，
其底面的高为，
底面积为，
直三棱柱的体积为，
故用三角刀去掉的菠萝果肉的体积为，
由题可得：，
则，
故选：B．
7．已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为函数为偶函数，则，即，①
又因为函数为奇函数，则，即，②
联立①②可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为.
故选：B.
8．已知F1，F2分别是双曲线C：的左、右焦点，点P在双曲线上，，圆O：，直线PF1与圆O相交于A，B两点，直线PF2与圆O相交于M，N两点．若四边形AMBN的面积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，有，，，由弦长公式可得，，四边形AMBN的面积为，解得，可求双曲线的离心率.
【详解】根据对称性不妨设点P在第一象限，如图所示，
圆O：，圆心为，半径为，
设，，点P在双曲线上，，则有，，可得，
过O作MN的垂线，垂足为D，O为的中点，则，，
同理，，由，
四边形AMBN的面积为，
，化简得，则有，则C的离心率.
故选：D
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 5 分，有选错得 0 分，部分选对得 2 分）
9．已知，，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】对于A利用基本不等式可判断；对于B利用不等式的基本性质以及指数函数的单调性即可判断；对于C可用特殊值法判断；对于D直接根据不等式的基本性质判断即可．
【详解】，，且，，
，
当且仅当取等号，故A正确；
，，且，
，故B正确；
则，故D正确；
取，则，故C错误.
故选：ABD．
10．如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（ ）

A．P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为
B．存在点P，使得平面平面
C．的最小值为
D．三棱锥外接球表面积最大值为
【答案】AD
【分析】连接，由三角形中位线性质和正方体性质可知，过D，P，Q三点的截面为梯形，然后计算即可得截面面积，可判断A；假设存在，然后利用面面平行性质定理推得，矛盾，可判断B；利用侧面展开图可求得最小值，判断C；利用补形法求外接球表面积即可判断D.
【详解】A选项：连接，由三角形中位线性质和正方体性质可知，，且，所以过D，P，Q三点的截面为梯形，
易知，
作，则，，
所以梯形的面积，A正确；

B选项：若存在点P，使得平面平面，则由平面平面，平面平面可知，显然不平行，故B错误；

C选项：将侧面展开如图，显然当Q、P、D三点共线时，取得最小值，最小值为，C错误；

D选项：由题知，两两垂直，所以三棱锥外接球，即为以为共顶点的三条棱的长方体的外接球，记其半径为R，
则，
显然，当点P与C重合时，取得最大值，此时外接球表面积取得最大值，D正确.
故选：AD
11．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上两个位于第一象限的动点，且有．直线与准线分别交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，延长交准线于
【答案】ACD
【分析】易得抛物线的焦点为，准线为，则，，求出的坐标即可判断A；根据即可判断B；结合B选项即可判断C；结合A选项，求出，即可判断D.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，则，
由，得，
对于A，当时，，
则，，故A正确；
对于B，当时，可得，，
则，
设直线，把代入，可得，
令，则，
同理，
则，
因为，所以，
所以，故B错误；
对于C，由B选项知，，故C正确；
对于D，当时，，则，
，
，
由选项A知，
，，
，故D正确．
故选：ACD．

【点睛】思路点睛：求三角形面积的比值可转化为边长的比值，进而可转化为相似比问题.
12．已知函数的图象是连续不间断的，函数的图象关于点对称，在区间上单调递增.若对任意恒成立，则下列选项中的可能取值有（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】根据函数的对称性和单调性得到函数为上单调递增，进而得到，利用参变分离和的取值范围求出的取值范围，进而求解.
【详解】由函数的图象关于点对称且在区间上单调递增可得，函数的图象关于对称，函数为上单调递增，
由可得，
，
也即，
则有恒成立，即
因为，所以，
当时，得到恒成立；
当时，则有，
令，则，
因为函数在上单调递增，且，
所以，则，所以BC适合题意，AD不合题意.
故选：BC.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩，成绩不低于90分为优秀，依此估计优秀的学生人数为 （结果填整数）.
附：若，则，.
【答案】23（22也可以）
【分析】根据，得出，再乘以总人数得出结果.
【详解】由每名学生的成绩，得，
则
，
则优秀的学生人数为.
故答案为：23.
14．幂函数满足：任意有，且，请写出符合上述条件的一个函数 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】取，再验证奇偶性和函数值即可.
【详解】取，则定义域为R，且，
，，满足.
故答案为：.
15．已知函数，在处取到极小值，则实数 ．
【答案】1
【分析】首先求函数的导数，并求函数的多阶导数，并分析求得的取值.
【详解】，由题意可知，，
设，，，
设，，，
若，则存在，使，
则，单调递增，即单调递增，又，
所以，，函数单调递减，
，，函数单调递增，
所以，，即，
那么，，函数单调递增，在处不能取到极小值，故不成立，
若，则存在，使，
则，单调递减，即单调递减，又，
所以，，函数单调递增，
，，函数单调递减，
所以，，即，
那么，，函数单调递减，在处不能取到极小值，故不成立，
所以，即.
故答案为：1
【点睛】思路点睛：本题表面是一道普通的根据极小值点求参数的取值问题，实际得需要求多阶导数，再分析出的取值.
16．设过双曲线左焦点的直线与交于两点，若，且（O为坐标原点），则的离心率为
【答案】
【分析】利用双曲线的定义结合向量知识建立关于、的方程即可求出离心率．
【详解】如图，

设为中点，，
由可知，，
由双曲线的定义可知， ，
由可知，
又为中点，为中点，可知，则,
从而为线段的垂直平分线，， 即 ，
所以，则为正三角形，，
在直角△中，，即，所以 ．
故答案为：．
四、解答题（本题共 6 小题，其中 17 题 10 分，18、19、20、21、22 题各 12 分， 共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题：
在中，内角的对边分别为，且满足_______________．
(1)求角的值；
(2)若的面积为，点在边上，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①：利用三角恒等变换化简整理得，即可得结果；若选②：利用正弦定理结合两角和差公式运算求解；若选③：利用正弦定理结合辅助角公式运算求解；
（2）利用面积可得，利用向量运算结合基本不等式分析求解.
【详解】（1）若选①：因为，
则
，
解得，且，所以；
若选②：因为，
由正弦定理可得：，
且，则，
可得，整理得，
且，所以；
若选③：因为，
由正弦定理可得，
且，则，可得，
即，可得，
且，则
可知，所以.
（2）因为的面积为，则，
由题意可得：，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
即，所以的最小值.
18．如图所示，在等边中，，，分别是，上的点，且，是的中点，交于点．以为折痕把折起，使点到达点的位置（），连接，，．

(1)证明：；
(2)设点在平面内的射影为点，若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件得到折叠前，折叠后由等腰三角形得到，，从而证明平面，结合线面垂直的性质即可得到；
（2）根据二面角的定义得到二面角的平面角为，结合（1）得到平面平面，从而可以确定的位置，再建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解．
【详解】（1）证明：因为是等边三角形，是的中点，
所以，
因为，所以，则，
所以折叠后，，又，
所以平面，
又平面，
所以．
（2）因为，，
且平面，平面，平面平面，
所以二面角的平面角为，
所以，则，
由（1）知，平面，平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，
所以点在平面内的射影在上，
在等边中，
所以，即，，，
过作直线交于点，
以为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，令，取，
设直线与平面所成角为
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为．
19．近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为"不喜欢网上买菜".某市社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示：
(1)是否有99.9%的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关?
(2)社区的市民李华周一、周二均在网上买菜，且周一从，两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为；如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求李华周二选择平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从社区市民中随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为，事件“”的概率为，求使取得最大值时的的值.
参考公式：，其中.
【答案】(1)有99.9%的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
(2)
(3)12
【分析】（1）根据题意，计算出的值即可求解；
（2）根据概率的乘法公式求解；
（3）利用二项分布求出，然后计算，可得结果.
【详解】（1）零假设社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关，
由题可得，
，
所以零假设不成立，
所以有99.9%的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）周二选择平台买菜的情况有：
①周一选择平台买菜，周二选择平台买菜，概率为,
②周一选择平台买菜，周二选择平台买菜，概率为,
所以李华周二选择平台买菜的概率为.
（3）由表知，喜欢网上买菜的频率为，则,
所以
设，
令，解得，；
，解得，
所以当时，最大，
所以使取得最大值时的的值为12.
20．已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意得当时，，两式相减得到，再求得，即可得到数列的通项公式；
（2）由（1）得，求得成立；当时，得到，结合裂项求和法，求得，进而证得.
【详解】（1）解：因为，
当时，，
两式相减得，可得，
令，可得，
所以数列的通项公式为.
（2）解：由（1）知，且，
当时，可得成立；
当时，，
所以
，
因为，可得，可得，
所以，
综上可得，.
21．如图，过轴左侧的一点作两条直线分别与抛物线交于和四点，并且满足，．
(1)设的中点为，证明垂直于轴
(2)若是双曲线左支上的一点，求面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）设出相关点坐标，结合向量关系，证得点、纵坐标相等，从而得证；
（2）根据向量关系得，又结合点在双曲线上表示出面积表达式，根据函数思想求出最小值．
【详解】（1）设，，，，
则由，，
，，
可得，．
由点都在抛物线上可得
化简可得，
同理可得 ，
故，可视为二次方程的两根，
由韦达定理可得，故，由此可得垂直于轴.
（2）由（1）可得，；由，知
，
又是双曲线左支上的一点，
可得且，
则，
又当时，，
因此，当时取最小值为．
22．已知函数．
(1)若函数在上单调递增，求正实数的取值范围；
(2)求证：当时，在上存在唯一极小值点，且．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，恒成立，当时，分离常数，构造函数，利用导数求的最小值即得；
（2）先利用导数判断在单调递增，无极点，在单调递增，
由得，由得，可得
，结合进而可得.
【详解】（1），
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立（且不恒为0）
当时，，
又因所以恒成立，即单调递增，
当时，恒成立
设，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，
又，
综上，的取值范围
（2）证明：，，，
当时，，，，
在上单调递增，即在上无极值点，
当时，设，恒成立，
在上单调递增，
，
由零点存在性定理，存在唯一一个，使得，即，
当时，，，在上单调递减，
当时，，，在上单调递增，
在上存在唯一极小值点，
又，，
即
喜欢网上买菜
不喜欢网上买菜
合计
年龄不超过45岁的市民
40
10
50
年龄超过45岁的市民
20
30
50
合计
60
40
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828